Pôle (géométrie)

“ S'il y avait une étoile qui fût précisément placée dans la direction de l'axe , c'est-à-dire au pôle, elle seule resterait immobile , quand toutes les autres se mouvraient. Celle qu'on appelle étoile polaire est très-près de notre pôle , et pour cette raison décrit un très-petit cercle.
Tous les astres varient de position par rapport à nous. Les astronomes mesurent le nombre de degrés, en latitude et en longitude, qui marquent cette position à certaines heures du jour, et pour chaque jour. ”

“ Imaginons maintenant que les côtés du premier polygone diminuent indéfiniment, les côtés du second diminue-
ront aussi indéfiniment. Les deux polygones tendront vers deux courbes dont les points se correspondent deux à deux, de telle sorte que chacun d'eux est le pôle de l'arc de grand cercle tangent à l'autre courbe au point correspondant. Ainsi le point B
est le pôle du côté B'A', et réciproquement le point B' est le pôle du côté BC ”

“ Car l'équation (2) fait connaître le rapport (~) : (~) , qui lui-même détermine la position du plan mené par la droite d'intersection des deux plans A,B, et par le pôle c du troisième plan C.
162. Nous conclurons de là, d'abord, ce théorème : Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles, que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces; les pâles d'un plan transversal, mené arbitrairement, seront sur un même plan qui passera par la droite d'intersection des plans donnés.
163. Si le plan transversal est à l'infini, ses pôles seront les centres des surfaces ”

“ La distance de chaque astre à ces pôles étant invariable, chaque étoile, quoique paraissant monter ou descendre par rapport à l'horizon des divers points de la terre, sera toujours sur un rayon visuel faisant le même angle avec celui qu'on dirige vers le pôle, et qui représente l'axe du monde, Donc chaque étoile va nous sembler encore se mouvoir sur le même cône de rayons visuels ”

“ Car les triangles polaires des triangles proposés, ayant leurs côtés égaux
chacun à chacun, sont égaux ou symétriques; les triangles proposés, qui sont les polaires de ceux-ci., sont eux-mêmes égaux ou symétriques.
REMARQUE. Les propriétés des triangles polaires peuvent être étendues aux polygones sphériques d'un nombre quelconque
Fig. 343.
de côtés. Soit le polygone convexe ABGDE (fig. 343) ; du sommet A comme pôle, décrivons l'arc de grand cercle E'A', du sommet B l'arc de grand cercle A'B', etc. ”

“ Si, des différents points d'une droite perpendiculaire au grand axe d'une ellipse, on mène des tangentes à cette courbe, et que l'on trace les droites qui joignent les deux points de contact des tangentes partant d'un même point, toutes ces droites passent par UN MÊME POINT sur le grand axe.
On donne le nom de pôle au point de concours I, et celui de polaire à la droite donnée LL'.
A2 Il résulte d'ailleurs de l'inspection de la valeur x' = —? que, si l'abcc
scisse a de la polaire est plus grande que A, c'est-à-dire si la polaire est extérieure à la courbe, le pôle lui est intérieur ”

“ L'angle A a pour mesure l'arc de grand cercle DE, décrit du sommet A comme pôle et compris entre ses côtés ; le point B' étant le pôle du grand cércle ACE, l'arc B'E est égal à un qua- drant, c'est-à-dire au quart d'une circonférence de grand cercle ”

“ Depuis que l’on sait que l’axe de la Terre n’est qu’une ligne idéale et immatérielle, les pôles n’ont pas perdu pour cela de leur attrait scientifique, le lieu qu’ils marquent n’en est pas moins plein de singularités. Au pôle, par exemple, il n’y a pas d’heure, ou plutôt il est midi toute la journée, puisque tous les méridiens convergent en ce point et, de quelque côté qu’il soit, le Soleil est toujours au méridien. ”

“ Ces douze preuves, tirées de différentes harmonies de la nature, s'accordent mutuellement à démontrer que les pôles sont allongés. Elles sont appuyées d'une multitude de faits, dont je pourrais augmenter le nombre; tandis que les académiciens ne peuvent appliquer à aucun phénomène de la terre, de la mer ou de l'atmosphère, leur résultat de l'aplatissement des pôles, sans en reconnaître aussitôt l'erreur. D'ailleurs la géométrie seule suffit pour les en convaincre. ”

“ On appelle axe le diamètre ou ligne imaginaire autour de laquelle la terre fait sa rotation.
Les pôles sont les deux points extrêmes de l'axe. On distingue le pôle nord ou boréal, et le pôle sud ou austral.
10*. On appelle grands cercles de la sphère les cercles qui la partagent en deux parties égales : tels sont le méridien et l'équateur. — On appelle petits cercles de la sphère les cercles qui divisent sa surface en deux parties inégales : tels sont les deux tropiques et les deux cercles polaires. ”

“ THÉORÈME. Le pôle d’un arc de grand cercle est la commune section des arcs de grands cercles joignant les points de contact de tous les angles sphériques circonscrits qui ont leur sommet sur cet arc ; et réciproquement, l’arc polaire d’un point est le lieu géométrique des sommets des angles sphériques circonscrits, de manière que les arcs de grands cercles qui joignent leurs points de contacts, passent par ce point. ”

“ Hauteur du pôle. La hauteur du pôle au-dessus de l'horizon d'un lieu est l'angle que fait l'axe du monde avec le plan horizontal, ou bien c'est l'angle aigu de cet axe avec la méridienne du lieu. C'est l'angle POH, fig. 16, ci-après.
Dans les observatoires où il y a un mural, cette hauteur se trouve indiquée sur le limbe; c'est l'arc qui sépare l'extrémité de la méridienne (horizontale du mural) de l'extrémité de la ligne des pôles (axe du monde) .
La hauteur du pôle, à l'Observatoire de Paris, est de 48° 50' 11" 5 (d'après MM. Mauvais et Laugier) . ”

“ Les pôles font les deux points de la sphère , ou globe, sur lesquels toute la machine du monde paroît tourner : le pôle arctique, par rapport à nous, se trouve en haut, c'est-à-dire, au dessous de l'horison ; & le pôle antarctique est le point opposé.
2. o. L'horizon est un grand cercle large & plat qui tient au pied de la machine, & qui est censé partager la partie visible du ciel d'avec celle qui est invisible ; il est différent pour tous les points de la terre où l'on peut se trouver. Il a pour pôle deux points, dont celui qui est au dessus de notre tête s'appele Zénith ”

“ Les pôles d'un cercle sont les extrémités du diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle et passant par son centre. Ils sont à égale distance de tous les points de la circonférence du cercle.
Un plan est dit tangent à la sphère lorsqu'il a avec la sphère un seul point commun nommé point de contact; ce plan est perpendiculaire à l'extrémité du rayon en ce point.Les sphères peuvent être extérieures, tangentes ou sécantes. ”

“ La hauteur du pôle c’est à cela que se réduit le calcul de l’angle horaire fondé sur ce qu’à chaque minute de rotation, cet angle augmente de ou de des qui en font la différence, dans une journée entière. ”

“ Si on divise son contour en portions égales, et si on joint de deux en deux les points de division, on formera ainsi un polygone régulier inscrit, dont l'apothème, le contour et la surface différeront d'autant moins du rayon du cercle, de son contour, et de sa surface , que la circonférence aura été partagée en un plus grand nombre de parties égales ; et on peut
toujours rendre aussi petites qu'on le veut les différences qui subsistent entre ces quantités, en partageant le cercle en un nombre suffisamment grand de parties égales. ”

“ THÉORÈME. Si une droite, tracée sur le plan d’une ligne du second ordre, se meut autour d’un point fixe, pris comme on voudra, sur sa direction, son pôle sera mû suivant une parallèle au conjugué du diamètre mené à la courbe par ce point fixe ”

“ PROBLÈME VI. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée sur le centre de la sphère, par la surface du triangle sphérique mixtiligne isocèle compris entre deux grands cercles et le petit cercle ayant leur intersection pour pôle ?
Solution. Supposons que les deux grands cercles dont il s’agit soient deux méridiens formant entre eux un angle et soit la distante polaire du petit cercle ; il suffira évidemment, pour résoudre le problème proposé, de supposer dans les formules (I, II) , lesquelles deviendront ainsi
Corollaire. ”

“ Soit f (t) une fonction uniforme qui ne contient pas z et ayant un nombre fini ou infini de pôles. Si l'on pose
vous voyez qu'à chaque pôle correspond une cou pure représentée par un segment de droite parallèle à l'axe des abscisses, ou par cette parallèle tout entière si les limites sont - oo et + ∞. Cela étant, la formule générale
s'applique seulement dans le cas des pôles simples. Désignons l'un quelconque d'entre eux par p, l'affixe Ç du point M de la coupure se détermine en posant a + = p; nous observons ensuite que si l'on fait
on aura pet, z) = G' (t + z) , Q ( t, z) = G' (t + z) ”

“ Comme ce cercle coupe l'axe et tous les méridiens en deux parties égales et perpendiculairement, chacun de ses points se trouve à 90 degrés des pôles. L'angle formé par la verticale du pôle boréal et celle d'un point de 1 équateur est donc de gjo0, et telle est aussi alors la différence entre les angles donnés par une même étoile et deux horizontales. Or, si l'étoile visée est la polaire, la ligne de mire PE dirigée du pôle P (F. 11) est le prolongement de l'axe du globe. Elle est donc verticale et fait
un angle droit avec l'horizontale PH'. ”

“ Nous ajouterons qu’au nombre des polygones réguliers on doit encore comprendre le cercle, considéré comme polygone régulier d’une infinité de côtés infiniment petits, et pour lequel, comme pour le point, les cercles inscrit et circonscrit se confondent.
Nous dirons que deux polygones sont conjugués l’un à l’autre, lorsque chacun d’eux aura autant de sommets que l’autre aura de côtés ; et comme, dans tout polygone, le nombre des sommets est égal au nombre des côtés ; il s’ensuit que tout polygone est conjugué à lui-même. ”

“ Il est aisé de voir (28) que l’un quelconque de ces pôles, pour l’une quelconque des quatre sphères, est toujours l’intersection de trois plans polaires de similitude obtenus pour cette sphère ; en la comparant tour à tour aux trois autres. Ces plans polaires sont au nombre de six, parallèles deux à deux, et forment ainsi un parallélépipède dont les sommets sont les huit pôles dont il s’agit. Le pôle de similitude externe est l’intersection des trois plans polaires de similitude externes ; le pôle de similitude interne est l’intersection des trois plans polaires de similitude internes ”

“ Elle est placée dans le ciel juste au-dessus de notre pôle, le pôle boréal. Un homme qui parviendrait à mettre le pied sur le point de la Terre qui est le pôle boréal la verrait juste sur sa tête. Celui qui la regarde de l'équateur la voit à l'extrémité de l'horizon (fig. 21) .
Du pôle à l'équateur, il y a un quart de la circonférence de la sphère terrestre, correspondant exactement à un quart de la circonférence de la voûte cél este, et un quart de circonférence, quelle qu'elle soit, se partage, tu viens de le voir, en 90 degrés. ”

“ Si l'on inscrit dans un demi-cercle un demi-polygone régulier d'un nombre pair de côtés et qu'on lui circonscrive un demi-polygone semblable, la surface de la sphère engendrée par le demi-cercle tournant autour de son diamètre est moyenne proportionnelle entre les surfaces engendrées par les polygones.
2. Toute zone à une base est équivalente à un cercle ayant pour rayon la corde de l'arc qui engendre la zone. Ce théorème est-il applicable à une zone à deux bases ?
3. Exprimer la surface d'une sphère en fonction de la circonférence d'un grand cercle. ”

“ MANIÈRE SIMPLE DE DÉTERMINER EXACTEMENT LE PÔLE.
Comme nous l'avons dit ci-dessus, il y a vers le nord un grand nombre d'étoiles qui ne se couchent jamais et qui décrivent un cercle en 24 heures : le pôle est le centre de tous ces cercles. Or, lorsqu'on a la circonférence d'un cercle, il est très-facile de trouver son centre ; il suffit, par exemple, de couper cette circonférence en 4 parties égales et de tirer des lignes par ces divisions ; le point où elles se couperont sera le centre cher-
ché ”

“ De son point de départ au Pôle, la distance à vol d'oiseau était de 740 kilomètres; grâce à des circonstances particulièrement favorables, elle fut couverte en vingt-sept étapes, et, le 7 avril 1909, l'explorateur avait la joie de déployer le pavillon des États-Unis sur la fraction de la banquise mobile qui, à ce moment, occupait le gisement de l'extrémité septentrionale de l'axe terrestre.
Le Pôle est un point mathématique dont la position ne peut être déterminée que par des observations astronomiques. ”

“ En effet, à mesure qu'on divise la circonférence en plus de parties égales, l'angle de deux cordes consécutives a pour mesure la moitié d'un plus grand arc. Donc l'angle d'un polygone régulier, qui a plus de six côtés, est plus grand que l'angle de l'hexagone régulier, ou que le tiers de quatre angles droits ; il faudrait donc assembler moins de trois carreaux autour du point A, s'ils avaient plus de six côtés ; or on ne peut pas en assembler moins de trois. ”

“ La polaire réciproque d’une courbe donnée, sur le plan d’une section conique, est à la fois le lieu des pôles de toutes les tangentes à cette courbe, et l’enveloppe de l’espace parcouru par les polaires des points de cette même courbe. ”

“ Le plan comprend un polygone régulier ABCDEF semblable ou égal à celui de la base (P. IV, F. 55) ; le centre S de ce polygone représente le sommet de la pyramide, sur le plan horizontal, r. les rayons SA, SB, etc., y représentent les arêtes concourantes.
Pour faire l'élévation, abaissez de S et de tous les sommets A, B, C, etc., du polygone, des perpendiculaires sur la ligne de terre ; prenez S'S" égale à la hauteur ou à l'axe, et joignez le point S" aux points A', B', etc. Si le rayon AS est parallèle à YZ, la droite A'S" donnera la longueur de chaque arête. ”