Angle

“ AIGU, POINTU, ou TRANCHANT, adj. m. ce qui se termine en pointe ou en tranchant, dont la forme est propre à percer ou à couper.
Ce mot pris en ce sens, est ordinairement opposé à ce que l’on appelle obtus. Voyez Obtus.
Angle aigu en Géometrie, est celui qui est plus petit qu’un angle droit, ou qui n’est pas assez grand pour être mesuré par un arc de 90 degrés. Voyez Angle. Tel est l’angle A E C. (Pl. Géom. fig. 86.) ”

“ À l’égard des grandeurs et des distances, voici ce que les mathématiques nous en apprendront. Plus un objet fera dans votre œil un grand angle, plus l’objet vous paraîtra grand : rien n’est plus simple. ”

“ Cela ne prouve-t-il pas manifestement que nous ne connaissons point, que nous n’apercevons point les distances par le moyen des angles qui se forment dans nos yeux ? Je vois souvent l’objet très-près et très-gros, quoique l’angle soit très-petit. ”

“ Les angles semblables sont des angles égaux. Dans les angles solides, lorsque les plans sous lesquels ils sont contenus sont égaux en nombre & en grandeur, & sont arrangés dans le même ordre, les angles solides sont semblables & par conséquent égaux. Voyez Angle.
Les rectangles semblables sont ceux dont les côtés, qui forment des angles égaux, sont proportionnels. Voyez Rectangle. ”

“ III. Si, sur le plan d’un angle fixe donné, on fait tourner autour d’un point arbitraire et fixe, pris pour sommet, un angle quelconque, invariable de grandeur ; et qu’on trace ensuite, pour chacune de ses positions, les deux droites qui soutendent à la fois l’angle fixe et l’angle mobile ; chacune des deux séries formées par ces droites, enveloppera, en particulier, une seule et même section conique, ayant précisément pour foyer le sommet fixe de l’angle mobile ; et les deux côtés de l’angle fixe pour tangentes. ”

“ « Tout angle plus petit qu'un droit est un angle aigu. »
Tracer un angle a-igu, fig. 6. La seule attention de l'élève, dans le tracé de cette figure, doit être de tirer des lignes bien droites ; quant à l'inclinaison, il est libre de la faire plus ou moins grande. ”

“ Espace compris entre deux lignes qui se rencontrent. — Les lignes qui forment un angle se nomment côtés de l'angle, et le point de rencontre sommet de l'angle. — La grandeur d'un angle dépend de l'écartement de ses côtés et non de leur longueur. ”

“ On divise la circonférence en 360 parties égales nommées degrés, chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes.
LES ANGLES ET LEUR MESURE.
SOMMAIRE. —Angle, sommet, côtés. — Angles adjacents. — Perpendiculaire; angle droit, angle aigu, angle obtus. — Angles opposés par le sommet. —
Conséquences. — Exemples. — Mesure des angles. — Remarque. — Faire un angle égal à un angle donné. — Valeur de quelques angles. — Rapporteur. — Résumé.
Angle sommet, côtés. — Quand une rue change brusquement de direction, on dit qu'elle fait un coude, ou, plus exactement, un angle. ”

“ Donc la quantité d’un angle demeure toûjours la même, soit que l’on prolonge ses côtés, soit qu’on les racourcisse. Ainsi dans des figures semblables, les angles homologues ou correspondans sont égaux. Voyez Semblable, Figure, &c.
L’art de prendre la valeur des angles est une opération d’un grand usage & d’une grande étendue dans l’Arpentage, la Navigation, la Géographie, l’Astronomie, &c. ”

“ Un angle est rectiligne, quand il est formé par des droites; mixtiligne, quand il est compris entre une droite et une courbe, et curviligne, lorsqu'il résulte de la rencontre de deux arcs ou de deux courbes. ”

“ SOUSTENDANTE, s. f. en Géométrie, est une ligne droite opposée à un angle, & que l’on suppose tirée entre les deux extrémités de l’arc qui mesure cet angle. Voyez Angle & Arc.
Ce mot est formé du latin sub, sous, & tendo, je tends. ”

“ La mesure d’un angle sphérique est l’arc d’un grand cercle de la sphere, intercepté entre les deux plans, dont la rencontre forme cet angle, & coupant à angles droits ces deux mêmes plans. Pour les propriétés des angles sphériques, voyez Sphérique.
L’angle solide est l’inclinaison mutuelle de plus de deux plans, ou d’angles plans, qui se rencontrent en un point, & qui ne sont pas dans un seul & même plan. Quant à la mesure, aux propriétés, &c. des angles solides, voyez Solide. ”

“ Tout angle, formé par deux sécantes qui se rencontrent à l'intérieur du cercle, a pour mesure la moitié de la somme des arcs compris entre ses côtés et leurs prolongements.
2. Tout angle, formé par deux droites sécantes ou tan- gentes qui se rencontrent hors du cercle, a pour mesure la moitié de la différence des arcs compris entre les côtés. ”

“ PROGRAMME. — Ligne droite et plan. — Ligne brisée. — Ligne courbe.
Lorsque deux droites partent d'un même point suivant des directions différentes, elles forment une figure qu'on appelle angle. -Génération des angles par la rotation d'une droite autour d'un de ses points.
Angles droit, aigu, obtus.—Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite.
DÉFINITIONS.
1. On appelle corps une portion limitée de l'étendue.
Tout corps a trois dimensions : la longueur, la largeur et la profondeur ou la hauteur. ”

“ Prenez un corps sollicité par deux forces dont les directions font un angle, il se meut suivant la diagonale ; chaque partie, chaque moment, chaque position, chaque élément de son mouvement est l’effet combiné des deux forces sollicitantes. ”

“ Les lignes, soitdroites, soitcourbes, terminent les surfaces et en sont les côtés. Le TRILATÈRE a trois côtés ; le QUADRILATÈRE en a quatre. Mais on dénomme mieux les surfaces par le nombre et la nature des angles qu'on y remarque. Un angle
est l'ouverture de deux lignes qui se rencontrent en un point. ”

“ Tout angle plus petit que l'angle droit, est dit aigu; un angle plus grand que le droit, est dit obtus, et les droites qui forment entre elles un angle de l'une de ces deux espèces, sont obliques l'une par rapport à l'autre. ”

“ Il sépare la partie visible ou supérieure du ciel d’avec la partie inférieure de la terre qui nous est invisible, à cause de la rondeur de la terre ; il détermine le lever & le coucher apparent du soleil, de la lune, des étoiles. Voyez Horison.
☞ La grandeur apparente d’un objet est mesurée par l’angle optique sous lequel il est vû ; & l’angle optique est formé par les deux rayons qui partent des extrémités d’un objet & qui se rencontrent au centre de la prunelle. ”

“ « Quand un angle est circonscrit à une conique, les deux droites, dont l'une divise en » deux également cet angle, et l'autre son supplément, vont rencontrer chacun des deux » axes principaux de la courbe en deux points, qui sont conjugués harmoniques par » rapport aux deux foyers situés sur cet axe. »
1 J'emploierai la première de ces deux expressions, quoique j'eusse préféré la seconde, à cause de sa plus parfaite analogie avec les foyers des coniques et les lignes focales des cônes. ”

“ Si nous apercevions toutes les dimensions des objets sous leur véritable mesure, nous ne verrions aucun espace, & tout nous paroîtroit sur notre œil.
Le sens de la vue n’a, pour juger la grandeur des objets & leur distance, qu’une même mesure, savoir, l’ouverture de l’angle qu’ils font dans notre œil ”

“ Tableau des lectures successives d'un angle observé douze fois par le procédé de réitération, et des valeurs du même angle calculées jusqu'aux centièmes de seconde.-Approximation fournie par la moyenne des douze lectures. — Précision sur laquelle il est permis de compter. 571 Exemples de la réduction des angles aux centres des stations.
378-381. Triangles dans lesquels on prendra ces exemples. —
Exemple 1 : deux angles ont été mesurés directement, il faut réduire le troisième. — Exemple II : un angle a été mesuré directement, il faut réduire les deux autres. ”

“ Les angles sont donc différens les uns des autres, suivant les rapports que les arcs décrits de leurs sommets, & compris entre leurs côtes, ont aux circonférences, dont ces arcs font respectivement partie ; & par conséquent ce sont ces arcs qui distinguent les angles, & les rapports des arcs à leur circonférence distinguent les arcs : ainsi l’angle lac est dit du même nombre de degrés que l’arc fd. Voyez au mot Degré la raison pourquoi ces arcs sont la mesure des angles. Voyez aussi Angle. ”

“ Pour la trouver ou à peu près, M. de la Hire mène par le point où est l’observateur, une ligne droite, qui fait en-dessous avec la ligne horizontale, ou avec la tangente de la courbe à son extrémité, un angle de 32’qui est l’angle de la réfraction. ”

“ Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. Les extrémités d’une surface sont des lignes. La surface plane est celle qui est également placée aux droites qui sont en elle. Un angle plan est lʼinclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction. ”

“ F. 2.- C'est sur cette ligne d'horizon que se placent les points de concours de toutes les droites parallèles horizontales qui font un angle quelconque avec le tableau.
Avant d'aller plus loin, faisons remarquer qu'en géométrie deux parallèles ne doivent jamais se rencontrer; mais en perspective, au contraire, elles se rencontrent toujours par l'effet de la vision : de là les points de concours dont nous venons de parler. Deux cas cependant sont exceptés : le premier, quand les lignes sont verticales elles restent verticales en perspective ”

“ QUESTIONNAIRE. — Par un point 0 menez une parallèle à une droite donnée. — Indiquez les divers procédés pour la solution de oe problème. —Trouvez le milieu d'un arc de cercle. — Trouvez la bissectrice d'un angle, ou divisez un angle en 2,4, 8, 46. parties égales. - Construisez un angle égal à un angle donné. — Comment trouve-t-on la somme de plusieurs angles ? — Comment obtient-on la différence de deux angles? —Menez une tangente à un cercle par un point pris soit sur la circonférence soit au dehors. ”

“ XV par (lettres dont nous nous servirons ici aussi) , de sorte que, pour un point quelconque de la surface, soit la plus courte distance à un point déterminé, et l’angle en ce point entre le premier élément de et une direction fixe. ”

“ QUESTIONNAIRE. — Qu'est-ce qu'un angle? — Qu'appelîe-t-cwi sommet?—.côtés d'un angle?—Comment désigne-t-on un angle?—Qu'appelle-t-on angles adjacents? - Qu'est-ce qu'un angle droit ? Qu'appelle-t-on perpendiculaire? - Qu'est-ce qu'une oblique?Construisez les figures ci-dessus.
CHAPITRE IL
DES PARALLÈLES.
31. PARALLELES. — On appelle parallèles deux lignes (fig, 10) qui étant tracées sur le même plan, ne peuvent jamais se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'une et l'autre. ”

“ Quand une droite forme avec une autre droite deux angles adjacents égaux, ces deux angles s'appellent des Angles droits, et la première est dite perpendiculaire sur la seconde; un angle est dit obtus ou aigu suivant qu'il est plus grand ou plus petit qu'un angle droit. ”

“ En général, on suppose les corps entièrement situés dans l'angle antérieur supérieur.
3. On rapporte les objets aux plans de projections, en abaissant de tous leurs points des perpendiculaires sur chacun d'eux; ces perpendiculaires s'appellent projetantes des points; chaque pied est la projection d'un point ; l'ensemble des pieds, ou mieux le lieu des pieds, forme deux figures qui sont dites l'une projection horizontale, l'autre projection verticale de l'objet. ”

“ Un objet plus grand donnera un angle plus grand, un objet moindre un angle plus petit. La grandeur apparente d'un objet dépendra donc de l'angle visuel ainsi formé. Si un objet très petit, CD, s'interpose dans le rayon visuel, il peut se trouver placé de manière à sous-tendre précisément le même angle. ”

“ N'Y ayant égalité que dans les sinus, le plus grand trayon donne le plus petit angle, & le plus petit angle a le plus grand ra yon. 5TM Lemme.
TROISIEME CAS.
N'Y ayant égalité que dans les angles, le plus grand L I¡ rayon donne le plus grand sinus , & le plus grand finus donne le plus grand rayon.
DES ANGLES FAITS PAR LES LIGNES ENTRE PARALLELES.
COMME les perperpendiculaires entre les paralleles font des angles droits sur l'une & sur l'autre (ce qui est toûjours la mesme chose ) il n'y a que les angles que font les obliques à considerer. ”

“ Triangle dont l'un des angles est droit. — Dans un triangle il ne peut y avoir qu'un angle droit. 23. — VERTICALE : Ligne droite qui est dans la direction du fil-à-plomb. — La verticale est perpendiculaire à l'horizontale.
— Dans un dessin, les lignes des côtés du cadre qui vont de bas en haut, sont, ainsi que leurs parallèles, considérées comme verticales. — En dessin comme en géométrie, toutes les verticales sont considérées comme étant parallèles entre elles. ”