“ II. Quel est le lieu du sommet d’un angle mobile, de grandeur constante, perpétuellement circonscrit à une même section conique ? Quelle est la courbe qu’enveloppe dans son mouvement la corde de contact, de grandeur variable, de cet angle mobile ? ”

“ II. À quelle surface est constamment tangent un plan mobile qui coupe une surface du second ordre de manière que l’aire de la section plane soit constante, quelle surface décrit dans l’espace le sommet d’une surface conique circonscrite qui touche la surface courbe suivant le contour de cette section ? ”

“ La réponse basée sur les principes de M. Kramp lui-même (tom. VII, pag. 245) serait affirmative. D’ailleurs les deux méthodes fournissent les mêmes résultats pour les diviseurs [2] . Ainsi, ce ne serait qu’à partir du diviseur qu’elles commenceraient à devenir divergentes ; ce qui serait bien extraordinaire. Cependant, mon estimable ami, le Rédacteur des Annales pense que « on ne peut rien conclure pour ou contre les formules de MM. Kramp et Bérard des différences qu’elles présentent dans les applications » (Ibid. pag. 246, à la note) . ”

“ Dans la même hypothèse, c’est-à-dire, en supposant que la différence par exemple, et les suivantes sont nulles ou tenues pour telles, on tire des mêmes séries d’autres formules approximatives, très-remarquables, qui offrent aux calculateurs le grand avantage de ne faire dépendre l’approximation que d’un nombre d’ordonnées équidistantes, combinées linéairement avec des coefficiens qui, calculés une fois pour toutes et conservés dans des tables permanentes, peuvent se retrouver sans travail au besoin. Je passe à l’examen de ces méthodes.
Une première va droit au but. ”

“ Entre celles-ci, supposées en nombre je détermine un pareil nombres de coefficiens de la suite ; je les substitue dans (31) en regardant comme nuls ceux que je n’ai pas déterminés ; et j’ai pour une approximation qui équivaut à celle qui résulterait de l’hypothèse que la différence est nulle, ainsi que celles d’ordres plus élevés ; car le premier terme négligé dans (31) est celui du rang en comptant les termes à partir de exclusivement ; or, ce terme est de la forme
comme on le reconnaît à la simple inspection de la série (10) . ”

“ Or, quand on fait égal à un des nombres de la suite à par exemple, devient égal à ; et, quand on augmente d’une unité, devient et, dans notre exemple, égal à La fonction qui d’ailleurs n’a qu’un nombre fini de termes, attendu que, étant une fonction rationnelle et entière de ses différentielles finissent par s’anéantir ; la fonction dis-je, est donc telle que, pour elle est nulle, et que, pour elle est égale à ; quantité qui sera évidemment d’autant plus petite que les ordonnées voisines seront plus rapprochées ; ce qui est notre hypothèse relativement à la proposée. ”

“ Un corps pesant homogène d’une densité connue, et terminé par une surface de révolution du second ordre est posé sur la surface horizontale d’un fluide pesant et incompressible d’une densité connue, renfermé dans un vase ”

“ La série.
est convergente jusqu’au sixième terme et divergente au-delà ; elle est par conséquent semi-convergente. Or, cette série, multipliée par n’est autre chose que le développement de ou Ainsi, comme les séries absolument divergentes, les semi-convergentes peuvent exprimer des quantités imaginaires ; ce qui n’arrive jamais aux séries convergentes ; d’où il semble suivre que les premières doivent être, réunies en une seule et même classe ; comme les semi-divergentes se réunissent aux convergentes. ”

“ Pour m’assurer de la convergence de cette série, qui renferme les nombres de Bernouilli, j’égale en valeur absolue les deux termes des rangs d’où je tire
Or, Euler, dans son Calcul différentiel, a démontré que le rapport de deux nombres de Bernouilli consécutifs converge assez rapidement vers l’expression on pourra donc écrire
d’où l’on tire à peu près égale à ou à environ ; c’est-à-dire que la série devient divergente après les premiers termes ; elle est donc absolument divergente ”

“ Quelle est la courbe qu’enveloppe dans son mouvement...
Déterminer l’état d’équilibre le plus prochain...
Un corps pesant homogène d’une densité connue...
On demande à quelle courbe appartient une suite...
Inscrire à une surface conique donnée quelconque...
Donner la théorie du mouvement d’une échelle... ”

“ Problème de probabilité. Une urne contient des boules blanches et des boules noires, en nombre inconnu de chaque sorte.
On a extrait fois de suite un certain nombre de boules de cette urne, en les remettant chaque fois dans l’urne avant de procéder à un nouveau tirage. Ces extractions ont donné successivement boules bianches, et boules noires. ”

“ On sait d’ailleurs qu’il n’y a réellement à calculer que la moitié, ou la simple majorité (si est impair) du nombre de ces coefficiens ; car, dans ce qui précède, l’origine des coordonnées étant placée au pied de l’ordonnée on a considéré comme situés dans la région des coordonnées positives. Mais, si l’on transporte l’origine au pied de et qu’on prenne pour ordonnées positives celles qui s’en éloignent successivement en s’approchant de ce qui est fort indifférent, les différences, et par conséquent l’aire qui reste la même, seront exprimées en et comme elles l’étaient précédemment en et ”

“ Pour second exemple, j’applique la méthode à la série (21) . En prenant pour unité, et en rejetant les différences de l’ordre et les suivantes ; par le théorème de Taylor, on a, sans difficulté,
Ces équations, en nombre multipliées respectivement par les coefficiens indéterminés puis ajoutées, donnent en appelant la somme de leurs premiers membres,
Je détermine les coefficiens en faisant coïncider terme à terme, avec (21) ; ce qui fournit les conditions
en même nombre que les coefficiens, dès lors suffisantes pour les déterminer ”

“ Les premières (48) , qui sont la même chose que (39) , exprimant la communauté de points : les dernières (49) exprimant la communauté de tangentes. Il faudra, pour avoir l’aire les combiner avec l’équation
(50) Les équations (48, 49) , séparément en nombre ensemble en nombre détermineront un nombre de coefficiens c’est-à-dire ; les coefficiens qui suivent ; de manière que le dernier terme de (38) sera de l’ordre Ainsi, on peut toujours faire passer, par points de la proposée, une courbe parabolique de l’ordre qui ait, à ces points, avec la première, des tangentes communes. ”

“ La courbe parabolique (38) , de l’ordre inscrite entre les limites à la courbe donnée, dont l’aire est a son aire propre entre les mêmes limites, exprimée en ordonnées équidistantes : c’est le second membre de (45) . Mais, si l’on traite immédiatement cette aire parabolique par la méthode de M. Dobenheim, on ne trouvera pas un résultat différent, si toutefois on prend un assez grand nombre d’aires autrement divisées pour éliminer le nombre de coefficiens des puissances de qui suivent dans la formule (10) appropriée à ce cas. ”

“ On a fait des sections dans un polyèdre régulier, par des plans indéfinis perpendiculaires sur les milieux de chacune de ses arêtes ; on a opéré de la même manière sur chacun des corps résultant de cette division, et ainsi de suite indéfiniment ”

“ Après cela on remontera, par les seules premières équations de chaque tableau (ce qui sera d’autant plus simple qu’on aura été par là dispensé d’écrire les premiers membres des autres équations) pour déterminer les autres coefficiens, dans l’ordre
L’extrême simplicité de ce procédé m’a permis de céder à la curiosité, en recherchant si la formule de M. Bérard, relative au cas de mérite le reproche de fausseté qui lui a été adressé (Annales, tom. VII, pag. 245) . ”

“ Généralement parlant, le triangle sera déterminé, lorsque trois de ces quinze points seront donnés ; et on pourra se proposer de le construire : voici le tableau des problèmes réellement distincts, compris dans cet énoncé général.
Parmi ces 95 problèmes, il en est d’indéterminés ou de plus que déterminés ; il en est de première facilité ; mais il en est aussi quelques-uns d’assez piquans, à l’égard desquels nous prenons les mêmes engagemens qu’en l’endroit cité. ”

“ J. D. G. ↑ Il y a bien quelque différence relativement au diviseur car le dénominateur commun des coefficiens, qui sont d’ailleurs les mêmes de part et d’autre, est 28350 chez M. Bérard et 89600 chez M. Kramp ; mais il est probable que la différence tient à une erreur typographique dans le dernier nombre ; puisque le premier supporte l’épreuve de l’hypothèse de l’égalité des ordonnées entre elles et avec l’unité. ”

“ Je prends un exemple fort simple ; la recherche du logarithme de c’est le premier exemple que s’est proposé M. Kramp (Annales, tom. VI, pag. 288) ; et nous savons que la méthode parabolique s’y applique avec beaucoup de facilité.
Je fais donc d’où et pour avoir je suppose la suite des différentielles de la fonction est
D’après ces formules, les séries (19, 20, 22) , donnent, sans peine à la vérité,
de ces trois séries, la première est inutile, attendu qu’elle n’est point assez convergente ; la seconde n’est guère plus avantageuse ; la troisième pourrait absolument servir ”

“ Or, (9) est précisément la moyenne arithmétique des deux sommes précédentes, et doit, par conséquent, dans notre hypothèse, approcher davantage de l’aire Au reste, on voit ce qu’il y aurait à faire pour introduire, au lieu de l’une de ces deux sommes de rectangles dans la série (10) , puisqu’on a, en désignant la première par et la seconde par les relations
(11) On a aussi, d’après la formule (4) ”

“ Ici deviendra égal à , pourvu qu’on change en et en c’est-à-dire qu’on a encore
(22) sera une des ordonnées équidistanles, lorsque sera un nombre pair.
III. Les séries (19, 20, 21, 22) sont en différentielles seules ; on en aura en différences seules, par le même précédé, si, au lieu du Théorème de Taylor, on emploie, pour développer ou le Théorème des différences. Ainsi, on a
multipliant par intégrant par rapport à entre les limites et , on trouve sur-le-champ
Cest la série donnée par M. Kramp (Annales, tom. VI, pag. 372 et suiv.) ”

“ Effectivement, entre les limites assignées, faites couper la proposée en points, par une courbe parabolique, dans l’équation de laquelle (38) vous aurez admis un coefficient indéterminé de plus, ce qui donnera, dans (39 et 40) , un terme et un coefficient de plus. ”

“ Ensuite les mêmes théorèmes donnent généralement, pour entier et positif,
(24)
expressions qui, après développement, ne contiennent linéairement que les états variés de différens ordres. D’ailleurs (4) , l’intégrale et par conséquent les expressions se résolvent immédiatement en états variés linéaires. On aperçoit au reste que ces substitutions dans nos séries doivent conduire finalement au même résultat. ”

“ Problème III. Pag. 116 Problème I. Problème II. Pag. 140 Problème. 312–315. Pag. 164 Problème I. 196–200, 304–305. Problème II. 304–305. Problème III. 305–312. Pag. 200 Problème. Pag. 260 Problèmes. Pag. 284 Problèmes. Pag. 315 Problème. Pag. ”