Calculation

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Mesurer, en terme de mathématiques n’est autre chose qu’exprimer le rapport ou le résultat d’une comparaison qui s’établit entre une grandeur appréciable déterminée et la grandeur de même espèce qu’elle, qu’on a pris pour terme de comparaison ou pour unité de mesure. ”

“ L’Arithmétique, par exemple, est la science des rapports de nombre, — la Géométrie, des rapports de forme, — les Mathématiques en général, des rapports de quantité en général, de tout ce qui peut être augmenté ou diminué. ”

“ On met à l’ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”

“ Un nombre concret est celui qu'on énonce en désignant l'espèce d'unité. Exemple : 8 maisons, 54 arbres, 25 francs, etc.
12. On appelle calcul les procédés employés pour augmenter, diminuer, combiner les nombres les uns avec les autres.
13 On appelle opérations arithmétiques les divers changements que l'on fait subir aux nombres pour les composer ou les décomposer.
14. Les opérations fondamentales sont au nombre de quatre : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Deux de ces opérations servent, à augmenter les nombres, l'addition et la
multiplication ”

“ NOTIONS PRÉLIMINAIRES
1. — On compte des objets, on mesure des grandeurs (longueurs, capacités, poids...) : le résultat de chacune de ces opérations est un nombre.
2. — L'arithmétique est la science des nombres.
3. — L'unité est un des objets que l'on compte ou la grandeur qui sert à mesurer des grandeurs de même espèce.
Ex. : Si je compte trente élèves, l'unité est un élève ; si je mesure une longueur de huit mètres, l'unité est le mètre. ”

“ Je forme des voeux afin qu'un jeune homme qui manifeste une aussi grande puissance de calcul, applique cette rare faculté a élever de plus en plus son intelligence et pour devenir un des ornements de la science et de son pays. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ DES ÉVALUATIONS.
Lorsque nous ne connaissons pas la valeur d'une chose, mous la mesurons, afin de juger du rapport où elle est avec une chose dont la valeur est connue.
Or mesurer, c'est évaluer.
La nature nous a indiqué des mesures de toute espèce, et le besoin nous apprend à nous en servir.
Dans chaque chose individuelle, elle nous montre l'unité; et, dans cette unité, nous avons la mesure des nombres. Or, quelles que soient les mesures dont nous nous servons, il faut compter pour évaluer les choses, et par conséquent l'unité est la première mesure.
Rien ne mesure l'unité. ”

“ C’est évident dans le cas d’une opération mathématique. Pouvons-nous suivre un calcul si nous ne le refaisons pas pour notre propre compte ? Comprenons-nous la solution d’un problème autrement qu’en résolvant le problème à notre tour ? ”

“ Étant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.
2o. Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations. ”

“ Les partisans de l’économique mathématique font valoir, à l’appui de leur conception, un argument qui ne peut pas manquer de faire impression. Les mathématiques, disent-ils, sont les sciences de la quantité. ”

“ Actuellement les analyses, qu’on fait tous les jours, ont confirmé de la façon la plus étendue les résultats de ces expériences effectuées dans un but déterminé. Dans les analyses, les calculs reposent en grand nombre sur le même principe, et l’accord complet de ces calculs avec l’expérience prouve qu’aucune faute ne s’est introduite, qui dépasse les erreurs de mesure. ”

“ Entre la substance donnée et la substance résultant du changement qualitatif, il y a le rapport de la puissance à l’acte.
X. Mathématiques. — Les mathématiques considèrent les rapports de grandeur, la quantité et le continu, en faisant abstraction des autres qualités physiques. Elles traitent ainsi des choses qui sont immobiles sans exister à part, essences intermédiaires entre le monde et Dieu. Le mathématicien isole par abstraction, dans les choses sensibles, la forme de la matière. La mathématique est pure ou appliquée. La géométrie et l’arithmétique constituent la mathématique pure. ”

“ Eh bien ! dès qu'il fut posé, la solution fut donnée. L'interrogateur était M. Courtial, examinateur des écoles spéciales et professeur de mathématiques à l'école industrielle de la rue de Charonne.
Or voici toute son opération;—les mathématiciens pourront en chercher les causes ; ce n'est pas dans une biographie que j'en puis faire la démonstration. —Prenez le dénominateur de la fraction, retranchez-en un : vous avez le nombre de personnes. Multipliez ce nombre par le nombre de litres pris par le premier, c'est-à-dire par 100, et vous aurez vos quantités égales prises par chacun. ”

“ Si nous plaçons au début de chaque problème une convention explicite, tout ira bien, nous n’aurons plus qu’à appliquer les règles de l’arithmétique et de l’algèbre et nous irons jusqu’au bout du calcul sans que notre résultat puisse laisser place au doute ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ À la vérité, l'esprit de calcul tend de nos jours à s'introduire dans cette étude, surtout en ce qui concerne les questions médicales, par une voie beaucoup moins directe, sous une forme plus spécieuse, et avec des prétentions infiniment plus modestes. ”

“ Il sait les mathématiques, celui qui a réglé toutes choses avec nombre, avec mesure, avec poids, celui qui enseigne l'abeille et le castor et leur donne cette science des calculs qui déroute tous les ingénieurs des ponts-et-chaussées et tous les professeurs des écoles polytechniques. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Ainsi : THÉORÈME IV. Lorsque les facteurs sont terminés par des zéros, on supprimera ces zéros dans le calcul, puis on ajoutera à la droite du produit autant de zéros qu'on en a supprimé d'abord.
56. THÉORÈME V. Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier par ce nombre l'un des facteurs du produit. ”

“ Si toutes les mesures avaient été divisées en parties décimales, on aurait vu, dans les dénominations de chacune, comment on en doit faire le calcul, et cette découverte eût été à la portée de tout homme intelligent. ”

“ Des équations dans lesquelles se trouvent la troisième, la quatrième puissance d’une quantité x, etc., peuvent être respectivement satisfaites par trois ou par quatre nombres, etc.... jamais davantage. Quelquefois, aucun nombre ne satisfait aux conditions posées par l’équation ; le calcul, convenablement exécuté, ne tarde pas à l’indiquer ; il donne ce qu’on appelle des solutions, autrement dit des racines imaginaires. ”

“ « Les [82] fonctions représentent les différentes opérations qu’il faut faire sur les quantités connues pour obtenir les valeurs de celles que l’on cherche et elles ne sont proprement que le dernier résultat de ce calcul. »
En d’autres termes, l’Analyse est un calcul comme l’algèbre, et la fonction — qu’elle soit algébrique ou transcendante — est le résultat d’une combinaison d’opérations. « La principale différence des fonctions — a écrit Euler [83] — consiste dans la combinaison de la variable et des quantités constantes qui la composent. » ”

“ Le calcul des valeurs, ou l'arithmétique, paraît, au premier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'algèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du calcul des fonctions. ”

“ Les chiffres de notre tableau expriment le résultat obtenu par le procédé de calcul le plus simple : toute erreur de règle compte pour un point, toute faute d’usage pour un point aussi, et on ne marque jamais plus de deux points pour un seul mot. ”

“ Le savant qui veut retenir le résultat d'un calcul qu'il pourrait être appelé à refaire, ou simplement pour fixer dans son esprit une loi importante, transforme ce résultat ou cette loi en une formule qu'il n'oubliera plus. ”

“ En effet, outre le plaisir de voir present et d'embrasser un ancien ami, je m’attendois encore à apprendre de vous mille belles choses, et sur tout les adresses particulières dont il faut se servir dans le calcul intégral et différentiel, et les manières de l'appliquer aux questions de physique ; car dans l'intégral principalement il y a pour moi bien des difficultez. Ne pourriez vous point, Monsieur, donner au public plus en detail que vous n'avez fait, les regles de ce calcul et les usages qu'on en peut tirer ? ”

“ L'observation attentive de ce précepte, trop méconnu, peut être d'un utile secours dans chaque question particulière, en dirigeant les efforts de notre esprit, à un instant quelconque de la solution, vers la véritable difficulté correspondante. À la vérité, l'imperfection de la science du calcul oblige souvent, comme je l'expliquerai dans la leçon suivante, à mêler très-fréquemment les considérations algébriques et les considérations arithmétiques pour la solution d'une même question. ”

“ Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition, outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites. ”

“ Le calcul infinitésimal et différentiel permet d'apprécier les quantités qui échappent à la vue ordinaire de l'homme. Ce calcul merveilleux conduit à l'infini, image scientifique de la grandeur divine. ”

“ En arithmétique, évitez, dès le début, les définitions et les règles générales qui simplifient les calculs. C’est surtout en mathématiques qu’on s’aperçoit combien il est nuisible d’apprendre des règles générales. Plus rapide sera la voie par laquelle vous apprendrez à l’élève à calculer, moins il saura. ”

“ Les expériences qui servent de base à notre calcul ont été faites dans des limites trop resserrées pour que l’on puisse s’attendre à une grande justesse dans les nombres que nous avons obtenus, surtout dans les nombres extrêmes. ”

“ Ils travailleront désormais pour les facultés, pour les colléges, pour les séminaires, pour les écoles, pour les commerçants, pour les industriels, pour les ingénieurs de tous les ordres, pour quiconque, en un mot, veut enseigner la science des nombres sans fatigue, ou faire pour ses propres besoins, et pour ainsi dire en s'amusant, tous les calculs qui se font avec tension d'esprit et perte énorme de temps. ”

“ Faites un simple calcul, comme celui que font les mondains, quand ils projettent quelque chose, une entreprise quelconque, comme la construction d’une maison ou l’achat d’une campagne. Ils travaillent dans l’espérance de voir se réaliser leur calcul. ”

“ Numération, opérations fondamentales; caractères de divisibilité ; nombres premiers et nombres premiers entre eux ; théorie du plus grand commun diviseur entre deux ou plusieurs nombres ; décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers, exposé des différents systèmes de numération; opérations sur les fractions ordinaires et sur les fractions décimales; conversion des fractions ordinaires en fractions décimales et réciproquement; opérations sur les nombres complexes; extraction des racines carrées et cubiques, des nombres entiers et des fractions ; système métrique. ”

“ L' étude des relations pures du nombre et de l' étendue domine les sciences et s' applique également à toutes , comme la logique . L' étude des mathématiques appliquées , dès la mécanique , a pour objet les plus générales des conceptions physiques , et dépend de la physique à ce titre . ”

“ Je ne présente ici aucune ligne de calculs, parce que je n'entends procéder maintenant que par l'arithmétique du raisonnement', et non par celle des chiffres. Ce sont les principes qui servent de bases aux calculs; d'accord sur les bases, le travail des chiffres et leur application sont à la portée de tout le monde. ”

“ Le calcul est Cil effet, pour les nombres, ce qu'est le raisonnement pour
1. C'est ainsi que notre langue française, plus précise que les autres, a contribué, dans une large mesure, à nous procurer une certaine suprématie dans le domaine de l'intelligence, en nous conduisant plus facilement et plus directement à la vérité.
les autres idées. Or, comment ne pas s'extasier devant les progrès de la science mathématique?
Pour grouper les nombres, l'homme s'est servi d'abord de ses doigts, puis de graines (Gog. t. 2, p. 58, n. a) , et de petits cailloux (Égypte, Grèce) . ”