Infinitésimal

“ Rien ne termine cette échelle des divers degrés d'indétermination, et
c'est précisément dans cet assemblage de quantités plus ou moins définies, plus ou moins arbitraires, qu'est le principe fécond de la méthode générale des indéterminées, dont le calcul infinitésimal n'est véritablement qu'une heureuse application. ”

“ La première illusion à signaler, c’est celle que produisent les mots. On parle du calcul infinitésimal, de l’infiniment petit, de l’infiniment grand ; chacun dit, après Fontenelle, que l’esprit humain a fait entrer l’infini dans ses combinaisons, que Newton et Leibnitz ont soumis l’infini au calcul. ”

“ Toute la philosophie du calcul infinitésimal sort de là ; c’est parce que la quantité, par sa continuité même, affranchit les lois de toute condition de quantité que le calcul peut saisir la formule, l’essence de la loi dans l’infiniment petit. L’infiniment petit n’est point zéro ; car, s’il était zéro, les lois du mouvement seraient rejetées hors de la quantité, c’est-à-dire hors de la continuité, c’est-à-dire hors de l’être. ”

“ Le calcul infinitésimal, quoique interprété correctement par son inventeur, qui fut en cela mal compris, et le calcul des fluxions de Newton, le même que l’autre avec d’autres notations, devinrent, pour les mathématiciens désireux d’en fixer la logique, un sujet scabreux, grâce à l’obsession de l’idée de l’infini, à laquelle on ne se résignait pas à substituer celle de l’indéfini. ”

“ Ainsi le physicien peut toujours appliquer les règles du calcul infinitésimal sans craindre un démenti de l’expérience.
C’est assez pour le physicien, ce n’est pas assez pour le philosophe, et c’est pour cela que d’autres conceptions ont été proposées. Ainsi le monde donné est un continu physique, et les savants supposent que le monde réel est un continu mathématique, mais quelques métaphysiciens ont préféré admettre que le monde est discontinu. ”

“ Il n’est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l’analyse infinitésimale ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. ”

“ Ce qui, dans toute application de l'analyse transcendante, facilite en effet la formation des équations, c'est la méthode infinitésimale, et non le calcul infinitésimal, qui en est parfaitement distinct, quoiqu'en étant le complément indispensable. Une telle considération donnerait donc une fausse idée de la destination spéciale qui caractérise le calcul différentiel dans le système général de l'analyse transcendante. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ Or ce que l'analyse infinitésimale néglige ainsi par simple fiction sous le nom de quantités infiniment petites, on peut simplement le sous-entendre pour conserver la rigueur géométrique pendant tout le cours du calcul : on voit donc que la méthode des indéterminées fournit une démonstration rigoureuse du calcul infinitésimal, et qu'elle donne en même temps le moyen d'y suppléer, si l'on veut, par l'analyse ordinaire. ”

“ Le philosophe sait et déclare d’ailleurs, en tant que mathématicien, que l’idée d’un nombre actuellement infini est contradictoire in terminis ; la quantité différentielle du calcul appelé infinitésimal, dont il est l’inventeur, il ne la donne que pour une quantité indéfiniment diminuée, dont la détermination reste arbitraire ; mais, en tant que métaphysicien, il se croit permis d’assurer que la moindre étendue finie est peuplée d’une infinité actuelle de monades. ”

“ Le calcul infinitésimal et différentiel permet d'apprécier les quantités qui échappent à la vue ordinaire de l'homme. Ce calcul merveilleux conduit à l'infini, image scientifique de la grandeur divine. ”

“ L’imperfection du Calcul infinitésimal à sa naissance ne lui a pas permis de résoudre complètement les problèmes difficiles qu’offre la théorie du système du monde, et il a été souvent forcé de ne donner que des aperçus, toujours incertains jusqu’à ce qu’ils aient été vérifiés par une rigoureuse analyse. ”

“ C'est après tout un plaisir plus noble que celui de deviner des rébus. Les mathématiques pures sont la plus romanesque des sciences; elles n'ont rien à démêler avec les réalités de la vie, elles nous transportent dans le monde des suppositions et des rêves. Le calcul infinitésimal est un abîme où j'aime à me plonger ”

“ COURNOT ET LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL Il est très difficile, pour les mathématiciens contemporains, de comprendre les contradictions que nos devanciers croyaient découvrir dans les principes du calcul infinitésimal. ”

“ On peut donc envisager l'analyse infinitésimale sous deux points de vue différents : en considérant les quantités infiniment petites ou comme des quantités effectives, ou comme des quantités absolument nulles. Dans le premier cas, l'analyse infinitésimale n'est autre chose qu'un calcul d'erreurs compensées; et dans le second, c'est l'art de comparer des quantités évanouissantes entre elles et avec d'autres, pour tirer de ces comparaisons les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées. ”

“ Mais en convenant que le principe de cette méthode est très-lumineux, on ne peut se dissimuler qu’ils ne font qu’éluder la difficulté sans la résoudre ; que la méthode des limites ne mène aux résultats de l’analyse infinitésimale que par une route difficile et détournée ; et qu’enfin cette méthode, loin d’être la même que celle du calcul de l’infini, n’est au contraire que l’art de s’en passer et d’y suppléer par le calcul algébrique ordinaire : en quoi l’on réussirait d’une manière plus simple, à ce qu’il me semble, par la méthode des indéterminées. ”

“ Il y a des personnes, par exemple, qui croient avoir suffisamment établi le principe de l'analyse infinitésimale, lorsqu'elles ont fait ce raisonnement : il est évident, disent-elles, et avoué de tout le monde, que les erreurs auxquelles les procédés de l'analyse infinitésimale donneraient lieu, s'il y en avait, pourraient toujours être supposées aussi petites qu'on le voudrait. ”

“ Il paraît beaucoup plus difficile d’expliquer nettement ce qu’est une quantité négative isolée, que de comprendre ce qu’est une quantité infinitésimale ; car celle-ci, comme on l’a vu, est une quantité effective, au lieu que l’autre est un être de raison, puisqu’on ne pourrait l’obtenir que par une opération inexécutable. ”

“ La faculté que se procure ainsi la méthode infinitésimale, la rend susceptible encore d’un nouveau degré de perfection bien plus important, c’est de pouvoir être réduite en un algorithme particulier. Car ces différences entre les quantités non désignées et leurs limites, sont ce qu’on a distingué sous le nom de différentielles de ces mêmes limites, et les simplifications auxquelles donne lieu l’admission de ces quantités dans le calcul sont précisément ce qui donne à l’analyse infinitésimale de si puissants moyens. ”

“ Toutes les vérités physiques reposent sur des faits, que l'expérience seule peut établir. Les unes et les autres sont étrangères à ce qu'on nomme la métaphysique. La métaphysique a pu suggérer aux mathématiques certaines conceptions, par exemple, celle de l'infini, qui a donné naissance au calcul infinitésimal ”

“ La difficulté qu’on rencontre souvent à exprimer exactement. par des équations les différentes conditions d’un problème, et à résoudre ces équations, a pu faire naître les premières idées du calcul infinitésimal. ”

“ Un nombre infini est sans doute , selon l' inventeur du calcul infinitésimal , une expression contradictoire , parce que le mot nombre désigne une quantité qu' on peut nombrer et par conséquent finie ; mais dans l' infinité il n' y a rien de contradictoire . Loin de là , l' infinité actuelle des êtres simples , qui sont sans nombre , est une conclusion nécessaire du principe de la raison suffisante . ”

“ Il y a du divin dans chaque objet de la nature , et ce divin est l' infini . Il faut pouvoir soumettre l' infini au calcul , afin de déterminer par l' intelligence l' individuel , le particulier et le réel . Le calcul infinitésimal est le type du passage d' une chose à une autre chose hétérogène , pourvu qu' on entende cette chose d' une certaine manière . C' est par l' infiniment petit en action , c'est - à - dire par ce qui est plus petit
que toute quantité donnée , qu' on peut établir la continuité entre des choses qui apparaissent comme hétérogènes . ”

“ D'ailleurs toutes ces quantités doivent être éliminées, et peuvent l'être sans leur attribuer aucune valeur déterminée : c'est donc au moins une chose superflue, que de les supposer égales à zéro ; c'est particulariser la question quand on peut s'en dispenser, et par conséquent, c'est la résoudre d'une manière moins élégante.
174. Le mérite essentiel, le sublime, on peut le dire, de la méthode infinitésimale, est de réunir la facilité des procédés ordinaires d'un simple calcul d'approximation, à l'exactitude des résultats de l'analyse ordinaire. ”

“ Ainsi, en résume, il est certain que tout vient de l’infinitésimal, et, ajoutons-le, il est probable que tout y retourne. C’est l’alpha et l’oméga. Tout ce qui constitue l’univers visible, accessible à nos observations, nous savons que tout cela procède de l’invisible et de l’impénétrable, d’un rien apparent, d’où sort toute réalité, inépuisablement. ”

“ La métaphysique qui vient d’être exposée fournit aisément des réponses à toutes les objections qui ont été faites contre l’analyse infinitésimale, dont plusieurs géomètres ont cru le principe fautif et capable d’induire en erreur ”