Approximation

“ THÉORIE GÉNÉRALE DES CALCULS PAR APPROXIMATION, contenant une formule générale qui exprime l'approximation du résultat d'un calcul quelconque, dont les données ne sont connues que par approximation; diverses formules approximatives, c'est-à-dire substituant un calcul plus simple à un autre, et don
nant a peu près le même résultat; avec de nombreux exemples numériques el l'application à la recherche des racines approchées des équations algébriques ou transcendantes, soit par la formule de fausse position, soit par la formule de Newton reclifiée. 1 vot. ”

“ Presque toujours une petite formule d'approximation per- met de calculer, avec des Tablés de logarithmes à 5 ou à 7 décimales, ce qui exigerait l'emploi de Tables à 10 décimales avec une moindre certitude sur les chiffres vraiment utiles du résultat définitif. Là, comme ailleurs, du bon sens et peu de mathématiques vont plus loin et plus surement que les qualités opposées. ”

“ L'extraction des racines carrées et cubiques des
nombres avec une certaine approximation en décimales.—La résolution de l'équation du premier degré à une inconnue. On insistera sur la pratique du calcul. — De la possibilité de résoudre plusieurs équations à plusieurs inconnues ; applications pour le premier degré, et particulièrement à la question des partages proportionnels. — Théorie des proportions déduite des équations qui expriment l'égalité des deux rapports. — Somme des progressions par différence et par quotient. Théorie des exposants négatifs et fractionnaires. ”

“ Nous accumulons approximations sur approximations, mais un des articles de notre foi scientifique est que ces approximations successives sont convergentes, comme disent les mathématiciens, et que nous approchons sans cesse d’un petit nombre de vérités toujours plus compréhensives, synthèses des nombreuses vérités partielles peu à peu découvertes. ”

“ PROBLÈME inverse. Pour avoir la racine d'un nombre avec une approximation déterminée, à quelle approximation doit-on connaître ce nonabrc ?
RÈGLE. L'erreur relative du nombre doit étre égale à celle de la racine multipliée par l'indice.
Cela résulte immédiatement de ce.que l'erreur relative de la racine est égale à celle du nombre divisée par l'indice de la racine. Exemple 1. Un nombre étant un peu plus grand que 36, avec
quelle approximation raut-il le connaître pour déterminer sa racine quatrième à 0,001 près? ”

“ Équation de l’évection. 191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration par approximations successives de l’équation
est un coefficient très petit, est une fonction connue de et de dont les termes sont tous de la forme
est un entier, et sont des constantes quelconques. ”

“ L’extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a forcé les géomètres à recourir à des approximations qui laissent toujours à craindre que les quantités négligées n’aient une influence sensible. ”

“ Démonstrations, constatations, hypothèses, conjectures presque arbitraires, approximations, vues concernant la convenance, la commodité, la probabilité, toutes ces choses, une fois traduites en lettres, jouent le même rôle dans les équations. Si l’algèbre des physiciens produit les mêmes effets que la profondeur, c’est seulement parce qu’elle est tout à fait plate ”

“ Il serait trop long de vous conter comment, par exemple, je suis conduit à étudier toutes les approximations maxima d'une fonction par la série entière des fractions dont le dénominateur est de degré fixe, les degrés des numérateurs prenant toutes les valeurs possibles, en cherchant des lois de récurrence pour les obtenir. ”

“ Mais, en se servant de la méthode d’intégration par approximation que j’ai donnée au chapitre IV de la première section de mon calcul intégral (art. 257 et 258) [2] , et que je crois nouvelle, on a
en prenant, comme précédemment, l’intégrale de manière qu’elle s’évanouisse lorsque .
Substituant cette valeur de dans l’équation , on a
Soit fait
substituant ces valeurs dans l’équation , en observant que , et multipliant toute l’équation par 2, on obtiendra la formule qu’il s’agissait de démontrer. ”

“ Cette méthode consiste à supposer que les accroissement. de la fonction sont proportionnels à ceux de la variable. Soit y -=/ (*) > et cherchons la racine .r,, telle (luoy, =f (x,,) = o; en admettant que cette racine soit la seule comprise entre x, et x2. Posons y> — f ( x,) et Y 2 = f (x2) ; -
nous devons admettre, du moins pour une première approximation , que l'on a ”

“ L'ordre d'approximation maximum est obtenu avec deux polynomes des degrés m + 11 + 1 et Il + 1.
Voulant, mon cher ami, répondre sans retard à votre appel amical, je vous envoie, avec le fruit médiocre de mon médiocre effort de ces derniers jours mes plus vives félicitations pour vos belles découvertes, avec tous mes vœux pour votre prochain séjour sur la terre d'Afrique. Votre grande activité mathématique îfte donne les meilleures espérances que vous êtes en pleine voie de guérison. ”

“ Si la quantité est plus petite que l'unité, a est négatif.
IV. La quantité A , dont on cherche l'approximation relative r à ~- près de sa valeur, de sorte que r == —., est souvent donnée entre des limites plus resserrées que ioa et io'/ + l. Soient A' et A" ces limites, de sorte que A'erreur absolue a A' A" devant donc être comprise entre --, et .-0' on cherchera la 1 or; j o" quantité A avec une approximation marquée par la plus petite d .", d. ”

“ Terme d’Algèbre en matière d’équation. C’est ce que Viéte appelle Homogeneum comparationis, & qui fait toujours un côté ou une partie entière de l’équation, & est toujours une quantité connue. C’est encore le rectangle, ou le solide dont on cherche la racine inconnue. Ainsi dans cette équation a a + 16 a = 36. Le nombre absolu est 36, lequel est égal au produit des deux racines ou valeurs de l’a ; c’est-à-dire, à a multiplié par lui-même, plus a pris seize fois. Equation absolue, en termes d’Astronomie, est la somme de deux équations, de l’excentrique, & de l’optique. Harris. Voyez Équation. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Sans doute, toute branche des mathématiques traite de concepts qui sont des concepts abstraits au plus haut point ; c’est l’abstraction qui fournit les notions de nombre, de ligne, de surface, d’angle, de masse, de force, de pression ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Les nombres concrets décimaux, dont le calcul est fondé sur la théorie arithmétique des nombres abstraits de même sorte, sont généralement désignés sous le nom de mesures.
Une mesure est un objet pris par convention, comme unité ou terme de comparaison pour former des grandeurs ou des collections d'unités de même espèce.
Mesurer une chose , c'est donc la comparer avec l'unité de même nature qu'elle.
Pour les besoins les plus ordinaires de la vie, on peut avoir à mesurer 1° la longueur ou distance ; 2 la surface ou superficie; 3° le volume ou solidité ”

“ Parce que ce ne sont pas là des grandeurs mesurables. Qu’est-ce qu’une grandeur mesurable et, en général, qu’est-ce que mesurer ? C’est comparer une grandeur quelconque à une grandeur donnée prise pour unité. Mesurer une route, c’est comparer la longueur de la route à une unité de longueur qu’on appelle le mètre, et dire combien de fois elle comprend cette unité. ”

“ En effet, outre le plaisir de voir present et d'embrasser un ancien ami, je m’attendois encore à apprendre de vous mille belles choses, et sur tout les adresses particulières dont il faut se servir dans le calcul intégral et différentiel, et les manières de l'appliquer aux questions de physique ; car dans l'intégral principalement il y a pour moi bien des difficultez. Ne pourriez vous point, Monsieur, donner au public plus en detail que vous n'avez fait, les regles de ce calcul et les usages qu'on en peut tirer ? ”

“ Quels que soient le nombre, la grandeur et la direction de ces forces, si l’on fait varier infiniment peu, d’une manière quelconque, la position du point, le produit de la résultante par la quantité dont le point s’avance suivant sa direction est égal à la somme des produits de chaque force par la quantité correspondante. La quantité dont le point s’avance suivant la direction d’une force est la projection de la droite qui joint les deux positions du point sur la direction de la force ”

“ Mesurer une grandeur, c'est la déterminer avec précision en la comparant à une autre grandeur de même nature que l'on regarde comme connue. Dire, par exemple, qu'une longueur a trois mètres, c'est en donner la mesure et l'exprimer au moyen du mètre.
La grandeur qui sert ainsi à en mesurer d'autres prend le nom d'unité. Dans l'exemple précédent le mètre était l'unité.
4. Le résultat de la mesure d'une grandeur s'exprime par un nombre. ”

“ Ainsi, par exemple, quoique les coordonnées d'une courbe soient comprises parmi les quantités qu'on nomme variables', parce qu'elles ne sont point du nombre des données; si je me propose une question à résoudre sur la courbe dont il s'agit, comme celle de lui mener une tangente, il faudra, pour établir mes raisonnemens et mon calcul, que je commence par attribuer des valeurs déterminées à ces coordonnées, et que je continue à les regarder comme fixes jusqu'à la fin de mon calcul. ”

“ On met à l'ordinaire, chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul, les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ Un peu de science commence à poindre : arithmétique, géométrie, astronomie ; le système des mesures, qui a régné dans le monde jusqu’au système métrique fondé il y a quelques années sur les dimensions de la terre, est créé et propagé. ”

“ Je me borne à ces quelques exemples, qu’on pourrait évidemment multiplier ; en résumé, on doit rechercher toutes les occasions de faire mesurer à nos élèves des grandeurs concrètes : longueurs, temps, angles, vitesses, etc., de manière qu’ils appliquent le calcul à des réalités et se rendent compte par eux-mêmes que les Mathématiques ne sont pas une pure abstraction. ”

“ Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces quantités peuvent-elles être mesurées ? C’est là le problème qui rend nécessaire les mathématiques.
Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs immédiatement mesurables. C’est par là qu’elles sont une science. ”

“ I. Exposé d’une nouvelle méthode. Le problème qui nous occupe peut être énoncé ainsi :
PROBLÈME. Connaissant les deux ordonnées extrêmes d’un arc de courbe, ainsi que plusieurs ordonnées intermédiaires distantes ; exprimer, en fonction de ces ordonnées, et de l’intervalle commun qui les sépare, l’aire mixtiligne comprise entre les ordonnées extrêmes, la courbe et l’axe des ?
La solution de ce problème sera aussi celle du problème de l’intégration des fonctions d’une seule variable, entre des limites, données ; puisque intégrer c’est quarrer la courbe qui a pour équation
Solution. ”

“ Il y a là quelque chose de comparable à ce qui arrive dans les recherches mathématiques, lorsque, partant de données approximatives, on s'appuie sur les résultats ainsi obtenus pour calculer les corrections qui les rapprocheront de plus en plus des résultats vrais. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Mais il y a plus, et dès lors qu’on regarde comme établie l’équation de répartition, on trouve, pour la première fois, dans cette équation même, pour déterminer la constante un moyen susceptible d’une précision illimitée. ”

“ La mesure d'une grandeur quelconque, effet, condition ou cause, étant le résultat de la comparaison de cette grandeur avec une autre de même nature choisie comme terme de comparaison, il en résulte qu'il doit y avoir autant d'unités qu'il y a de grandeurs physiques à mesurer. Aussi, pour chaque effet que nous étudierons, nous aurons à définir l'unité dont on a fait choix. ”