équation algébrique

“ Equations transcendantes, sont celles qui ne renferment point, comme les équations algébriques, des quantités finies, mais des différentielles ou fluxions de quantités finies, bien entendu que ces équations entre les différentielles doivent être telles qu’elles ne puisent se réduire à une équation algébrique. ”

“ Lorsqu'on a exprimé par l'écriture algébrique les diverses relations que l'énoncé d'une question établit entre les quantités inconnues et celles qui sont connues, on a ce que l'on appelle une équation, c'est-à-dire deux suites de termes séparées l'une de l'autre par le signe =. Tout ce qui est à gauche de ce signe forme le premier membre, et ce qui est à droite le second membre de l'équation. Mais celle-ci se
présente ordinairement sous une forme qui n'est pas la plus simple. ”

“ Mais ce qui prouve que les racines négatives ne sont pas tout-à-fait inutiles à la solution d’un problème, c’est l’application de l’Algebre à la Géométrie. Les ordonnées négatives d’une courbe sont aussi réelles que les positives, & appartiennent aussi essentiellement à la courbe ; nous l’avons prouvé au mot Courbe d’une maniere aussi rigoureuse que nouvelle, en faisant voir que les ordonnées négatives deviennent positives, en transposant seulement l’axe. De même en transformant une équation algébrique, on peut rendre toutes les racines réelles positives ”

“ Toute la théorie de la résolution algébrique des équations revient à chercher à exprimer rationnellement les racines de l'équation donnée au moyen des coefficients et d'autres grandeurs qui sont données comme racines d'une ou plusieurs résolvantes successives qui sont plus simples que l'équation proposée. ”

“ En conséquence, les branches de courbes, les nappes de surfaces, associées par la définition géométrique, le seront par l'équation algébrique ; et lorsqu'on résoudra par des intersections de lieux géométriques les problèmes d'analyse déterminée, le nombre des racines associées algébriquement dans l'équation finale, cadrera exactement avec le nombre des solutions que comporte le problème géométrique, si l'énoncé est convenable. ”

“ On nomme en général fonctions transcendantes celles qui, sans pouvoir s'exprimer par une équation algébrique, sont susceptibles d'une définition mathématique quelconque; et nous donnerons par la suite beaucoup d'exemples de pareilles fonctions , dont les définitions n'ont besoin de rien emprunter d'étranger à la théorie purement arithmétique des grandeurs. ”

“ On voit en général que lorsque est de la forme étant entiers, et entier positif, l’équation (forme à laquelle toute équation algébrique peut se ramener) n’aura aucune racine rationnelle, s’il arrive que pour un certain module la congruence ne soit pas satisfaite ”

“ Dans un mémoire sur la théorie des Équations, j’ai fait voir comment on peut résoudre une équation algébrique de degré premier , dont les racines sont , quand on suppose connue la valeur d’une fonction des racines qui ne demeure invariable que par les substitutions de la forme . ”

“ On sait que toute équation de degré n, à coefficients entiers (et, en général, à coefficients réels ou imaginaires) , possède n racines, dont certaines, et même toutes, peuvent être imaginaires. Ne nous occupons pas de ces dernières et écrivons sous chaque équation de la suite toutes ses racines réelles rangées suivant leur grandeur. Si une de ces racines a déjà été écrite antérieurement, nous l'omettons. Nous obtenons ainsi une suite dans laquelle chaque nombre algébrique réel trouve une place parfaitement déterminée. L'ensemble de tous les nombres algébriques réels est donc dénombrable. ”

“ Il est vrai que cette abondance de l’algebre qui donne ce qu’on ne lui demande pas, est admirable & avantageuse à plusieurs égards, mais aussi elle fait souvent qu’un problème qui n’a réellement qu’une solution en prenant son énoncé à la rigueur, se trouve renfermé dans une équation de plusieurs dimensions, & par-là ne peut en quelque maniere être résolu. Il seroit à souhaiter que l’on trouvât moyen de faire entrer la situation dans le calcul des problèmes : cela les simplifieroit extrèmement pour la plûpart ; mais l’état & la nature de l’analyse algébrique ne paroissent pas le permettre. ”

“ Gilbert. 541 et 613 — Sur les équations algébriques ; par M. E. West. 598 et 664 — Sur la fonction résolvante de l’équation xm + px + q = 0 ; par M. A. Pujet. 611 — Sur une classe très étendue d’équations différentielles linéaires à coefficients rationnels, dont la solution dépend de la quadrature d’un produit algébrique irrationnel ”

“ Lorsque l'équation proposée renferme des racines égales, on en est averti par le contact des courbes en un ou plusieurs points. Or on sait que les méthodes d'approximation de Xanalyse algébrique ne peuvent, en général, s'appliquer à ces sortes d'équations qu'après que l'on a d'abord ramené leur résolution à celle d'autres équations dont les racines sont inégales : opérations souvent laborieuses. ”

“ Ainsi la duplication du cube, qui dépend de l’équation toujours irréductible, ne peut être obtenue par la Géométrie élémentaire. Le problème des deux moyennes proportionnelles, qui conduit à l’équation est dans le même cas toutes les fois que le rapport de à n’est pas un cube. La trisection de l’angle dépend de l’équation cette équation est irréductible si elle n’a pas de racine qui soit une fonction rationnelle de et c’est ce qui arrive tant que reste algébrique ; ainsi le problème ne peut être résolu en général avec la règle et le compas. ”

“ En exprimant que est un invariant intégral, on est conduit à certaines équations algébriques entre et ces paramètres ; ces équations devront être compatibles et il est clair qu’on en tirera les paramètres en fonctions algébriques de
Les coefficients de la forme et seront donc aussi algébriques en
L’équation est donc algébrique en et nous pouvons supposer qu’on lui a fait subir une transformation telle que le premier membre soit un polynôme entier en
Nous écrirons donc
De plus, ne sera pas identiquement nul, à moins que ne le soit. ”

“ De même, le passage du système des équations [1] et [2] à l'équation [3] ne repose point sur le principe que, si l'on a quatre grandeurs égales deux à deux , le produit des deux premières est égal au produit des deux autres, principe qui n'aurait de sens qu'appliqué à des grandeurs ou à des valeurs réelles : il est fondé sur cet autre principe que le produit algébrique de 2m facteurs dont m sont égaux a et m à ~ ”

“ Reste à déterminer la direction des droites qui passent par l’origine et renferment les points sur lesquels pivotent les cordes de contact respectives appartenant aux deux séries de sections coniques proposées ; car, d’après ce qui précède, on aura tout ce qu’il faut pour déterminer complètement le lieu des centres de l’une et de l’autre séries.
Soient les coordonnées de l’un des deux points fixes dont il s’agit ; l’équation de la droite correspondante sera
en faisant, pour abréger, ; de sorte que tout consiste à déterminer
On pourrait, à cet effet, employer le calcul algébrique ”

“ L'artifice consiste à décomposer le nombre soumis au radical en la somme algébrique de plusieurs carrés; ce qui est toujours possible.
12. Nous sommes actuellement en état de construire toute expression algébrique rationnelle ou irrationnelle du second degré, provenant de la mise en équation d'un problème de Géométrie, chacune des lignes qui font partie de l'énoncé ayant été représentée par une lettre. ”

“ L'usage est de désigner par x celle des coordonnées que l'on qualifie d'abscisse, et par y celle que l'on qualifie d'ordonnée.
pour lesquelles les vues de l'esprit ne font que s'accommoder aux conditions que dicte la nature des choses.
62. Ce qui s'est dit d'une équation entre deux variables, et de la représentation graphique d'un tel lien algébrique par le tracé d'une courbe sur un plan, s'appliquera, par une extension forcée, à une équation entre trois variables, dont le lieu géométrique est une surface décrite dans l'espace. ”

“ De pareilles expressions, au défaut d’être rigoureuses, pourront au moins être approchées ; et ces approximations seront applicables à notre problème, pour peu que les observations qu’on emploîra ne soient pas très-éloignées l’une de l’autre.
79. PREMIÈRE APPROXIMATION. L’angle est égal à son sinus. Cela donne en désignant l’angle par On a rigoureusement l’erreur est donc égale à En prenant ici pour la différence de nos deux anomalies excentriques ou l’équation
prendra la forme
et sera devenue entièrement algébrique. ”

“ Ce qu’on appelle vulgairement algèbre se compose de deux parties tout-à-fait distinctes : l’une enseigne à soumettre au calcul les grandeurs indéterminées, tandis que l’autre se borne à enseigner à résoudre des problèmes à l’aide des équations. Cette dernière partie a été la première inventée, et on lui a donné le nom d’analise algébrique, parce que les procédés sont en tout semblables à ceux de l’analise logique. ”

“ Elle est plus générale qu’une formule, qui n’en est qu’un cas particulier ayant une application pratique bien déterminée ; l’expression algébrique peut n’être qu’une simple phase du calcul, n’ayant d’autre utilité que de préparer les calculs qui suivent. ”

“ Il est de fait que le calcul différentiel est né des besoins de la géométrie. Or, le calcul algébrique, qui s’occupe essentiellement de la quantité discrète, c’est-à-dire, des nombres, ne peut s’appliquer à la quantité continue, c’est-à-dire, à l’étendue, que lorsqu’on suppose que les variations numériques deviennent arbitrairement ou indéfiniment petites. ”

“ Le principal objet est de donner des règles pour le développement d'une fonction de x en une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de x, de façon à permettre aux mathématiciens d'effectuer la quadrature de toute courbe dans laquelle l'ordonnée
y peut-être exprimée comme une fonction algébrique explicite de l'abscisse x. ”

“ Je n’ai jamais été assez loin pour bien sentir l’application de l’algèbre à la géométrie. Je n’aimais point cette manière d’opérer sans voir ce qu’on fait ; et il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les équations, c’était jouer un air en tournant une manivelle. La première fois que je trouvai par le calcul que le carré d’un binôme était composé du carré de chacune de ses parties et du double produit de l’une par l’autre, malgré la justesse de ma multiplication, je n’en voulus rien croire jusqu’à ce que j’eusse fait la figure. ”

“ C’est cette méthode de soumettre partout l’infini au calcul algébrique, que l’on appelle calcul différentiel ou des fluxions et calcul intégral. C’est l’art de nombrer et de mesurer avec exactitude ce dont on ne peut pas même concevoir l’existence.
En effet, ne croiriez-vous pas qu’on veut se moquer de vous, quand on vous dit qu’il y a des lignes infiniment grandes qui forment un angle infiniment petit ?
Qu’une droite qui est droite tant qu’elle est finie, changeant infiniment peu de direction, devient courbe infinie : qu’une courbe peut devenir infiniment moins courbe ? ”

“ Nous sommes ici en plein dans ce qui a fait le ressort et le progrès réel de la mathématique. Du reste la preuve convaincante c’est que si, bien avant l’ère chrétienne et surtout avant Diophante, on avait eu l’idée algébrique des équations et, peu ou prou, la pensée algébrique, toute la face de la mathématique en eût été changée. L’algèbre est l’antipode même des solutions isolées et sporadiques. ”

“ Quand les équations d'un système ont été par l'élévation au carré, ou par tout autre procédé, ramenées à une forme telle que tous les constituants qui se trouvent dans leur expansion aient des coefficients positifs, toute équation dérivée, obtenue par élimination, possédera le même caractère et pourra être combinée par addition avec les autres équations ”

“ Si, pour la résolution numérique, l’algébriste arabe exige qu’on satisfasse à l’équation proposée par un nombre entier, il fait donc de l’algèbre indéterminée ?
Il nous manque un élément pour répondre à cette question d’une manière décisive. C’est que l’auteur ne se prononce pas sur la nature des coefficients de l’équation proposée. D’après les termes dont il se sert, on peut croire qu’il considère le terme connu comme un nombre entier donné ; mais le coefficient de l’inconnue ou simplement (* [30] ) est laissé entièrement indéterminé. ”

“ C'est uniquement faute de connaître la résolution algébrique des équations à une seule inconnue, qu'on est obligé de traiter l'élimination comme une question distincte, qui forme une des plus grandes difficultés spéciales de l'algèbre ordinaire. Quelque pénibles que soient les méthodes à l'aide desquelles on surmonte cette difficulté, elles ne sont pas même applicables d'une manière entièrement générale, à l'élimination d'une inconnue entre deux équations de forme quelconque. ”

“ Posons ; les équations des deux droites et seront de la forme
(1)
(2) on trouvera d’après cela
or, suivant les conditions du problème, 1.o et doivent être égaux et de signes contraires ; 2.o la tangente de l’angle doit être égale à celle de l’angle c’est-à-dire, égale à ; ainsi on aura, entre les trois constantes les deux équations
si donc, entre les équations (1) , (2) , (3) , (4) , on élimine les trois quantités l’équation résultante en et sera celle de la courbe cherchée.
L’élimination s’exécute assez facilement comme il suit. ”

“ Les algébristes disent que ces trois secondes espèces sont proportionnelles aux trois premières, chacune à sa correspondante, c’est-à-dire que l’équation : « un cube et des racines sont égaux à des carrés » est équivalente à celle-ci : « un carré et un nombre sont égaux à des racines (** [81] ) , » et de même relativement aux deux autres. Mais ils ne l’avaient pas démontré, lorsque les objets des problèmes sont des quantités mesurables. Pour le cas où l’objet des problèmes est un nombre, c’est une conséquence immédiate du traité des Éléments (*** [82] ) . ”