Gustave Verriest

“ Dans l'ensemble des nombres entiers positifs, la propriété fondamentale de l'unité est, sans conteste, qu'on peut construire les nombres entiers successifs par addition de l'unité, mais, dès les premières généralisations, on attache plus d'importance au fait que la multiplication par l'unité est une opération d'effet nul. C'est par cette propriété qu'on définit l'élément unité dans l'ensemble des nombres rationnels, dans l'ensemble des nombres réels, dans l'ensemble des nombres complexes, dans la théorie des groupes. ”

“ « Une géométrie est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées lorsqu'on fait subir à une figure toutes les transformations appartenant à un groupe donné ». A chaque groupe de transformations correspond une géométrie distincte. Ainsi, par exemple, la géométrie élémentaire est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées après qu'on a fait subir à une figure une similitude quelconque. ”

“ S'il étudie la géométrie projective, il ne fera aucune distinction entre un cercle et une ellipse, car ces figures se transforment l'une dans l'autre par une projection, or les propriétés qui constituent la géométrie projective ne sont pas altérées par une projection et sont donc communes au cercle et à l'ellipse. Le mathématicien qui étudie la topologie ne fera aucune distinction entre un cercle et un carré, car ces figures se transforment l'une dans l'autre par une transformation continue et toute propriété topologique du cercle est donc aussi une propriété du carré1. ”

“ L'exemple qui précède montre que, par contre, dans un ensemble infini, cela peut parfaitement se produire. Il est fait usage, dans les mathématiques modernes, de cette différence essentielle pour définir les ensembles infinis : un ensemble est appelé infini lorsqu'il a la même puissance qu'une de ses parties ; un ensemble est appelé fini lorsqu'il n'a pas même puissance qu'aucune de ses parties. ”

“ En effet, si le monde est euclidien, c'est-à-dire si les solides (donc aussi les insectes) se déplacent en conservant une mesure euclidienne constante, l'insecte sur la sphère conservera une mesure euclidienne invariable et, par conséquent, son ombre conservera une mesure elliptique constante, comme le montre la géométrie analytique. Le frère jumeau étant, lui aussi, un solide, se déplace dans ce monde en conservant une mesure euclidienne invariable et, par conséquent, l'ombre et le frère jumeau ne se déplaceront pas de la même façon, ce qui est conforme à ce que montre l'expérience. ”

“ La géométrie devient ainsi un pur exercice de logique qui semble vide de contenu, un gedankenloses Denken, comme disait Félix Klein. Il est toutefois évident que le mathématicien, qui fait de la géométrie, a constamment une image concrète, plus ou moins précise, dans son esprit, pour soutenir et guider son raisonnement, mais ce qui est remarquable, c'est que la nature de cette image est sans aucune influence sur les résultats de ses raisonnements, pourvu que les éléments qui constituent cette image vérifient les axiomes. ”

“ Ceci entraîne l'écroulement de toute la théorie de la décomposition en facteurs premiers et notamment du théorème suivant qui est fondamental : lorsqu'un nombre premier divise un produit de plusieurs facteurs, il divise au moins l'un de ces facteurs.
Pour montrer comment on est parvenu à sauver cette théorie, nous devons d'abord bien situer le problème.
On ne peut édifier une théorie de la décomposition en facteurs premiers au sein d'un corps, car, par définition même du corps, tout élément b est divisible par tout élément a (différent de zéro) . ”

“ Il est manifeste que toutes les transformations continues forment un groupe. L'ensemble des propriétés d'une figure qui se conservent après toute transformation continue constitue la géométrie connue sous le nom de topologie ou géométrie de position1.
La topologie est une branche moderne des mathématiques, qui a pris un grand développement ; on la considère généralement comme une science indépendante et non pas comme une variété de géométrie. ”

“ Si l'hypothèse d'un univers infini nous est plus familière, n'est-ce peut-être pas parce que nous pouvons, à mesure que notre imagination nous fait progresser dans l'espace, reculer indéfiniment la solution du problème insoluble qu'elle pose ? ”

“ Il va de soi que certaines propriétés du premier concept ne se retrouvent pas dans le concept généralisé ; toute généralisation entraîne des sacrifices et une généralisation n'est intéressante que si elle ne se paie pas trop cher. Remarquons d'ailleurs que déjà l'introduction des nombres négatifs bouleverse, dans une certaine mesure, la notion du zéro. Dans l'ensemble des nombres positifs
(zéro compris) une somme ne peut être nulle que si chacune des parties est nulle. ”

“ On objectera peut-être que, dans un système qui, comme celui que nous considérons, ne comporte qu'un nombre fini d'éléments et dans lequel l'addition est indéfiniment possible, on doit nécessairement retomber sur les mêmes éléments et qu'il n'est donc pas surprenant qu'en ajoutant l'élément unité plusieurs fois à lui-même on tombe, à un certain moment, sur l'élément zéro. ”

“ Résumons-nous : l'espace n'est ni euclidien, ni elliptique, mais dans l'espace se déplacent certains corps que nous appelons des solides ; si ces solides se déplacent de telle manière que leurs mesures exprimées par la formule euclidienne restent inchangées, nous dirons qu'ils se déplacent d'une façon euclidienne et que le monde physique est euclidien ; si ce sont, au contraire, les mesures , exprimées par la formule elliptique qui restent invariables, nous dirons que ces corps se déplacent d'une façon elliptique et que le monde physique est elliptique. ”

“ Si maintenant nous réservons le nom de nombre premier à un nombre qui satisfait à cette dernière condition et si nous appelons nombre sans diviseurs un nombre qui satisfait à la définition habituelle, nous pourrons dire qu'en arithmétique un nombre sans diviseurs est la même chose qu'un nombre premier.
Si nous passons des nombres entiers rationnels aux idéaux qu'ils engendrent, nous avons la même propriété [sauf pour l'idéal (0) , comme nous le démontrons plus loin, note 1, p. 156] : dans l'anneau des nombres entiers rationnels, un idéal sans diviseurs est la même chose qu'un idéal premier. ”

“ On suppose généralement que les objets que l'on considère, et dont la nature reste indéterminée, font partie d'une certaine collection, ou ensemble, et qu'ils peuvent être combinés deux à deux par une ou bien par plusieurs opérations qui fournissent chaque fois un objet du même ensemble. Lorsque ces opérations sont au nombre de deux, elles sont appelées l'addition et la multiplication, quoiqu'elles n'aient presque rien de commun avec les opérations de même nom de l'arithmétique ”

“ Puisque nous examinons les propriétés des corps physiques, plaçons-nous à l'échelle de la nature. Les astronomes, se basant sur la comparaison des données de l'observation de certains phénomènes avec les résultats des calculs faits, tantôt dans l'hypothèse d'un monde euclidien, tantôt dans l'hypothèse d'un monde elliptique, sont portés à croire que notre univers est elliptique et que la longueur totale d'une droite y est de 30 milliards d'années de lumière2. ”

“ Le jour où l'on aura sondé dans toute son étendue l'univers elliptique, ce rêve se sera évanoui. Cet univers dans lequel nous nous trouverons enfermés sera le Tout, en dehors duquel il n'existe rien de matériel, en dehors duquel n'existe même pas le vide. Nous n'aurons même pas la suprême consolation de chercher le moyen de percer la barrière qui limite ce monde, car cette barrière n'existe pas. ”

“ Il existe aussi des corps non commutatifs ; on peut démontrer, par exemple, que l'anneau des quaternions considérés ci-dessus est un corps et ce corps n'est pas commutatif, comme nous l'avons montré. On démontre facilement que, dans un corps, il ne peut exister de diviseurs de zéro. Lorsqu'un corps est contenu tout entier dans un autre corps, tel le corps des nombres rationnels qui est contenu dans le corps des nombres réels, le premier est dit un sous-corps du second et le second est appelé un sur-corps du premier. ”

“ Pour le mathématicien moderne, un concept mathématique n'existe que pour autant qu'il le crée lui-même ; selon lui, les notions de point, de droite, de plan géométriques n'existent pas dans le cerveau de l'homme de la rue, pas plus que n'existe pour celui-ci la notion de nombre irrationnel ou complexe. ”

“ On sait que toute équation de degré n, à coefficients entiers (et, en général, à coefficients réels ou imaginaires) , possède n racines, dont certaines, et même toutes, peuvent être imaginaires. Ne nous occupons pas de ces dernières et écrivons sous chaque équation de la suite toutes ses racines réelles rangées suivant leur grandeur. Si une de ces racines a déjà été écrite antérieurement, nous l'omettons. Nous obtenons ainsi une suite dans laquelle chaque nombre algébrique réel trouve une place parfaitement déterminée. L'ensemble de tous les nombres algébriques réels est donc dénombrable. ”

“ Comme l'a dit Bertrand Russel, le mathématicien n'est jamais plus heureux que lorsqu'il ne sait pas de quoi il parle. La signification intime de ces objets et de ces opérations ne joue pas le moindre rôle dans la théorie. Il nous importe peu de savoir ce qu'est, au fond, une addition ou une multiplication, ni comment on effectue ces opérations ; nous
étudions uniquement les conséquences que l'on peut tirer des règles, données ci-dessus, auxquelles ces opérations satisfont. ”

“ Pour
l'ensemble des côtés d'un carré, et tous les ensembles de même puissance, ce signe est 4, et comme la puissance caractérisée par ce signe 4 est plus grande que la puissance caractérisée par le signe 3, nous disons que le nombre 4 est plus grand que le nombre 3.
Partant des ensembles les plus petits, nous formons de la sorte une suite de nombres croissants 1, 2, 3, .... Cette suite n'a pas de fin, car on peut toujours construire un ensemble dont la puissance est plus grande que celle d'un ensemble fini donné ; il suffit notamment d'ajouter un élément à l'ensemble donné. ”

“ Suivant cette théorie, les dimensions de notre univers elliptique croissent avec le temps. Concentrée à l'origine en un seul atome et sur un espace dont les dimensions tendent asymptotiquement vers zéro quand on remonte l'échelle des temps, toute la matière de l'univers a commencé un mouvement d'expansion tout en créant l'espace et en l'entraînant avec elle.
Freinée par l'attraction de la matière (loi de Newton) qui diminue quand la distance augmente, l'expansion est favorisée, au contraire, par une force répulsive prévue par la théorie de la relativité. ”

“ Pour ce qui concerne les définitions, on n'est actuellement pas beauçoup plus avancé qu'on ne l'était il y a deux mille ans ; par contre, quant aux postulats et aux axiomes, nous possédons maintenant des systèmes qui donnent entière satisfaction. Mais comment peut-on trouver satisfaction dans un système de postulats et d'axiomes qui traitent de choses que l'on ne peut pas convenablement définir ? C'est ce que nous allons expliquer.
La géométrie est un édifice logique dont les matériaux sont le point, la droite et le plan. ”

“ Comment se fait-il que ces personnes pourront s'entretenir de géométrie sans se douter qu'elles ont en vue des objets différents ? C'est que les objets dont l'une des personnes parle, et ceux que l'autre personne se représente, jouissent les uns et les autres de propriétés qui, pour un sens convenable donné chaque fois aux mots, s'énoncent sous la forme que revêtent les axiomes. Les mêmes formes de raisonnement seront donc applicables aux uns comme aux autres, tant qu'on ne sort pas du domaine basé sur ces axiomes, et la différence de nature de ces objets ne pourra pas apparaître. ”

“ Pour l'homme de la rue, la géométrie est l'art de mesurer les figures et de déterminer la grandeur relative des différentes parties d'une figure donnée. C'est d'ailleurs en cela qu'il faut chercher l'origine historique de la géométrie comme l'indique l'étymologie de ce mot.
Pour le mathématicien moderne, il en est tout autrement : l'art de mesurer ne constitue qu'une minime partie, et peut-être la moins intéressante, de la géométrie. ”

“ L'équation e: (X2 + y2) + Z2 = 0 (e étant négatif) représentera une conique réelle quelconque, car la géométrie projective est incapable, comme nous l'avons vu, de faire la distinction entre les divers genres de coniques et, a fortiori, entre une conique quelconque et un cercle. Lorsque e devient nul, cette équation se réduit à Z2 = 0, ce qui représente non plus, comme ci-dessus, la droite à l'infini, car la géométrie projective est incapable de définir cette droite, mais la droite qui joint les points limites T et T'des axes des coordonnées (fig. 6, p. 55) . ”

“ Cette science n'est pas sortie d'une pièce, sous sa forme parfaite actuelle, du cerveau de Poncelet. Ce n'est qu'au cours des années ultérieures, par les travaux de Poncelet lui-même, par ceux du mathématicien français Chasles, du géomètre suisse Steiner, et enfin par l'épuration systématique poursuivie par les Allemands Von Staudt et Félix Klein, que les notions métriques purent être définitivement écartées et que la géométrie projective s'éleva au rang d'une science autonome. ”

“ Le problème de la trisection de l'angle consiste à diviser, à l'aide de la règle et du compas, un angle donné en trois parties égales. En géométrie élémentaire, on apprend à diviser un angle en deux parties égales, mais la division en trois parties égales est impossible. Il faut cependant ici mettre les choses bien au point : il existe une infinité d'angles particuliers que l'on peut parfaitement diviser en trois parties égales, mais nous allons voir qu'il n'existe aucune méthode de trisection applicable à tous les angles. ”

“ Cela n'est pas certain : a priori rien ne s'oppose à ce que chaque élément soit contenu dans le sous-ensemble qui lui correspond. Il est cependant de toute nécessité qu'il existe des éléments externes, sinon notre démonstration s'effondrerait. On peut éviter de diverses façons l'absence d'éléments externes. Ceux à qui ne répugne pas un certain formalisme font appel à l'ensemble vide, c'est-à-dire à l'ensemble qui ne contient aucun élément (nous avons fait allusion à l'ensemble vide en parlant du nombre zéro) . ”