Nombre rationnel

“ Les fonctions d’arguments rationnels , sont uniformément continues dans le champ
,. En effet, pour satisfaire aux conditions (2) qui s’écrivent ici
,, étant un nombre rationnel positif, il suffit de satisfaire aux suivantes :
,. On prendra donc .
33. La fonction d’arguments rationnels , qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné
,, étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres ”

“ Cette remarque donnant aux fractions continues de cette forme un nouveau degré d’intérêt, on peut se proposer de les combiner avec des quantités rationnelles de toutes les manières qui naissent de la diversité des opérations du calcul, et d’obtenir le résultat en fraction continue de même forme qu’elles ; et tel est le sujet qui va nous occuper,
Soit
une fraction continue donnée, équivalente conséquemment à une des racines de l’équation
et soit un nombre rationnel donné. ”

“ Ceci entraîne la conséquence importante suivante : l’abscisse de tout point peut, à une approximation aussi grande que l’on veut, c’est-à-dire avec une erreur aussi petite que l’on veut, être représentée par un nombre rationnel.
2o De plus, cet ensemble est énumérable. Ceci veut dire que l’on peut ranger tous les nombres rationnels en une suite linéaire, de telle manière que chacun d’eux occupe un rang bien déterminé ; on peut, par exemple, convenir d’écrire d’abord les fractions positives pour lesquelles la somme du numérateur et du dénominateur a la plus petite valeur ”

“ Cette raison s’appelle pour l’ordinaire raison géométrique, ou simplement raison.
Wolf distingue la raison, eu égard à la quantité en général, en rationnelle & irrationnelle.
Raison rationnelle est celle de nombre à nombre, par exemple, comme 3 à 4. Voyez Nombre
Raison irrationnelle est celle qu’on ne peut exprimer par aucun nombre rationnel.
Supposons, pour éclaircir la chose par un exemple, deux quantités A & B, dont A soit la plus petite ; si l’on retranche A de B autant de fois qu’elle le peut être, par exemple, cinq fois, il ne restera rien, ou bien il restera quelque chose. ”

“ Rangeons dans une première classe les nombres négatifs, nul, et les nombres positifs pour lesquels , dans une seconde classe les nombres positifs pour lesquels . On a effectué ainsi une coupure, car tout nombre rationnel fait partie de l’une des deux classes, et tout nombre de est inférieur à tout nombre de .
Il n’y a pas dans de nombre supérieur à tous les autres, c’est-à-dire que si appartient à , on peut trouver dans un nombre . Il suffit évidemment d’examiner le cas où est positif. ”

“ Il suit des résultats que nous venons d’obtenir, qu’en faisant égal à un nombre entier quelconque, positif ou négatif, le produit continué à l’infini, est toujours une quantité entièrement rationnelle, quel que soit [3] . Il s’ensuit encore qu’en faisant égal à plus ou moins un nombre entier quelconque, la valeur de la série, développement de est constamment zéro. Nous remarquerons encore que, lorsque est un nombre entier quelconque, cette série est égale à multiplié par quelque facteur entièrement rationnel ”

“ Il est vrai que de cette manière on ne peut la démontrer que pour des valeurs rationnelles de m; mais il en est ici comme dans la formule du
développement du binôme, et en général dans toutes les formules qui contiennent une indéterminée qui peut être un nombre quelconque rationnel ce n'est que par la considération des fonctions dérivées qu'on en peut prouver la généralité pour une valeur quelconque de la même quantité. ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ La difficulté que l’on éprouve à donner une définition arithmétique satisfaisante des nombres irrationnels et des opérations relatives à ces nombres avait été, nous l’avons rappelé, l’une des pierres d’achoppement de la mathématique hellénique. Aussi les modernes ont-ils dû chercher de nouveaux moyens de surmonter cette difficulté. Leurs efforts ont principalement tendu à dégager, sous une forme aussi simple que possible, les postulats grâce auxquels on peut déduire la notion de nombre irrationnel de celle de nombre entier. ”

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ IRRATIONNEL Je ne connais rien de plus insupportable en mathématiques que les nombres irrationnels ; leur introduction en arithmétique est un véritable scandale : dans ce domaine si élémentaire, à côté de cette notion du nombre entier qui est la plus claire du monde, à côté de ces propositions si précises, de ces démonstrations si nettes que les plus grands mathématiciens ont pris à cœur d’accroître et de simplifier, et qui ont toute la beauté, toute la perfection de celles que les Grecs nous ont léguées, voici venir tout le cortège du transcendant et de l’infini. ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Dans d’autres questions, au contraire, des lois connues permettent de mettre expérimentalement en évidence des nombres rationnels simples, les racines carrées de nombres entiers, le nombre etc. ; la liaison est alors intime entre le continu mathématique et le continu physique : la notion arithmétique du nombre intervient véritablement dans l’étude de la nature, et non pas seulement la notion empirique de mesure approchée. ”

“ Lorsque l'erreur relative d'un nombre est exprimée par une fraction dont le numérateur est l'unité, il y a dans le nombre autant de chiffres exacts qu'il y de chiffres au dénominateur, pourvu que le Premier chiffre du nombre soit plus petit que celui du dénominateur dans le cas contraire il y en a un de moins. ”

“ C'est ainsi que, dans notre numération, on est convenu que de dix unités d'un certain ordre , on formerait une unité d'un autre ordre. De même, deux fois deux font quatre, par exemple , n'est qu'une vérité de convention.
Les identités sont des propositions tacitement renfermées dans une définition , ou qui sont la conséquence nécessaire d'un principe convenu.
Par exemple, une quantité est la moitié de son double; le tiers de son triple ; etc. De même, tout nombre est le carré de sa racine carrée ; le cube de sa racine cubique ”

“ Pour convertir un nombre entier en parties d'une espèce donnée, on multiplie le nombre entier par le dénominateur qui indique l'espèce des parties, et l'on prend le produit pour numérateur de la fraction. ”

“ La science des quantités abstraites nous donne les règles de calcul les plus savantes et les plus sûres, sans nous dire ni comment nous formons l’idée de nombre, ni pourquoi nous avons des idées abstraites, ni quelle est la cause première de la justesse d’une équation. ”

“ RACINES
324. Extraire une racine d'un nombre incommensurable, c'est trouver la limite d'une racine d'un nombre incommensurable, quand on le remplace par une fraction qui peut en approcher indéfiniment. ”

“ Si on prend une progression géométrique dont le premier terme soit l’unité et la raison 2, et qu’on fasse la somme des termes de cette progression, toutes les fois qu’on obtiendra un nombre premier, en le multipliant par le dernier terme sommé, on aura un nombre parfait, c’est-à-dire égal à la somme de ses parties aliquotes. ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ On peut avoir par le'même procédé autant de décimales que l'on veut à la racine d'un nombre, lorsque cette racine ne s'extrait pas exactement; il suffit pour cela de mettre des zéros à la droite du nombre proposé, de manière à avoir au carré deux fois autant de décimales que l'on en veut à la racine. ”

“ D'après cela, on pourra toujours calculer, avec une approximation donnée, le produit d'une racine carrée par une racine cubique. RÉSUMÉ.
313. Un nombre incommensurable ne peut se définir qu'en indiquant comment la grandeur qu'il mesure dérive de l'unité. On conçoit, en général, cette grandeur comme la limite commune de celles qui sont mesurées par des nombres commensurables plus grands ou plus petits. — 514. Définition de l'addition et de la soustraction des nombres incommensurables. ”

“ Pour extraire la racine carrée d'un nombre décimal, on rend pair le nombre de ses chiffres décimaux, et on extrait la racine carrée du nombre ainsi formé, considéré comme un nombre entier, abstraction faite de la virgule ; puis on sépare sur la droite de la racine deux fois moins de décimales que n'en avait le nombre lui-même. ”

“ Les nombres dont on a besoin de chercher la racine dans la pratique ne sont pas toujours des carrés parfaits comme ceux que nous venons de prendre pour modèles.
Il arrive même le plus souvent qu'on doit opérer sur des nombres irrationnels ; alors on est obligé d'évaluer leur racine approximativement ; mais, quelque grande que soit l'approximation , vous n'arriverez jamais à un nombre qui puisse être exprimé par des chiffres. ”

“ La puissance , pour une base algébrique et un exposant algébrique irrationnel , comme par exemple le nombre ou , représente toujours un nombre transcendant ou pour le moins irrationnel. Il est certain que la résolution de ces problèmes et d’autres analogues doit conduire à des méthodes nouvelles, ainsi qu’à de nouveaux points de vue relativement à la nature de nombres irrationnels et transcendants particuliers. ”

“ Lorsqu'une valeur approchée se compose de chiffres tous exacts, excepté le dernier, on prend pour limite de Y erreur relative, le quotient de la limite de l'erreur du dernier chiffre par le premier chiffre du nombre suivi d'autant de zéros qu'il y a de chi ffres après le premier. ”

“ Mais, auparavant, disons que ces sortes de racines se nomment incommensurables ou irrationnelles, parce que l'on appelle commensurables ou rationnels les nombres qui ont l, ., 1 3 , d une mesure commune avec l'unité; tel que quantité dans laquelle le - de l'unité est contenu trois fois et quatre fois dans l'unité même, tandis que la racine carrée de 2, qui n'est assignable ni en nombre entier, ni en nombre fractionnaire, est incommensurable; de même que celle de tout nombre entier ou fractionnaire qui n'est pas le carré exact d'un entier ou d'une fraction quelconque. ”

“ Lorsque la quantité placée sous un radical est tout entière affectée d'un exposant, on dit, pour simplifier le langage, que
cet exposant est celui du radical. Ainsi, dans s/a 5, l'indice est 3, et l'exposant du radical est 5. Le principe n° 113 justifiera cette appellation.
104. — Racines des nombres positifs. — Les nombres positifs étant des nombres arithmétiques admettent tous une racine d'indice quelconque ; cette racine est alors un nombre
entier, ou fractionnaire, ou le plus souvent incommensurable. ”

“ C'est le chiffre, des dizaines de la racine*. Retranchant 512 de 636, j'ai 124, qui avec l'autre tranche donne 124056. Ce reste doit renfermer les trois autres parties. Le produit du triple carré des dizaines par les unités donne un nombre exact de centaines qui ne peut se trouver que dans les 1240 centaines du reste; je sépare les deux premiers chiffres à droite.
Le carré des dizaines est 64; le triple est 192; divisant 1240 par 192, j'ai 6 pour quotient, qui peut être trop fort à cause des retenues provenant des autres parties. ”

“ Or, si le nombre irrationnel, obtenu par une généralisation, doit, pour être déterminé, correspondre à un intelligible, il en sera de même pour les jugements virtuels correspondant au concept de nombre fractionnaire, de nombre entier, etc ; et comme il n'y a aucun motif
de se contenter jamais d'un concept indéterminé, il en sera de même pour le dernier des jugements virtuels. ”

“ Ceux qui n’ont reconnu que les êtres mathématiques comme indépendants des objets sensibles, ont rejeté le nombre idéal et admis le nombre mathématique, parce qu’il avaient vu les difficultés, les hypothèses absurdes qu’entraînait la doctrine des idées. Ceux qui ont voulu admettre tout à la fois l’existence des idées et celle des nombres, ne voyant pas bien comment, en reconnaissant deux principes, on pourrait rendre le nombre mathématique indépendant du nombre idéal, ont identifié verbalement le nombre idéal et le nombre mathématique. ”