Émile Borel

“ On pourrait se demander, en effet, si l’emploi exclusif des fractions décimales ne pourrait pas suffire aux besoins de la pratique : en fait, lorsque l’on indique à un ouvrier les dimensions de l’objet qu’il doit fabriquer, on fait usage du système décimal, en ayant soin de limiter le nombre des décimales d’après la précision qu’il peut atteindre. Ne serait-il pas plus simple dès lors, de se borner à considérer les fractions décimales limitées ? Leur ensemble possède évidemment les deux propriétés essentielles de l’ensemble des nombres rationnels : il est partout dense et est énumérable ”

“ Il est trop aisé d’y objecter que, s’il est nécessaire pour l’avenir de l’astronomie et de la chimie que certaines opérations soient répétées des millions de fois, il sera facile d’organiser ce travail sous une forme industrielle et quasi mécanique et qu’il n’y faut pas de vrais savants ; en fait, peu de ceux qui sont payés pour faire de la science consentent à se livrer exclusivement à ces besognes automatiques ; ils prétendent faire œuvre personnelle et parfois n’aboutissent à rien, parfois aboutissent à des travaux qui valent un peu moins que rien. ”

“ On peut déplorer que l’influence des progrès des mathématiques supérieures sur l’enseignement élémentaire soit trop lente ; on ne peut cependant la nier entièrement : des millions d’heures de travail sont épargnées aux enfants des écoles par de petits progrès dans l’enseignement des rudiments. Mais surtout, les professeurs qui ont appris à dominer la science qu’ils enseignent (et on n’y arrive guère sans le goût du travail personnel et la possibilité de s’y livrer) seront de bien meilleurs éducateurs et des inspirateurs de vocations scientifiques. ”

“ C’est la mesure des grandeurs qui a été la première application de la notion de nombre et en est resté la plus importante. Mesurer une grandeur c’est exprimer au moyen d’un nombre, aussi exactement et aussi simplement que possible, le rapport de cette grandeur à la grandeur choisie comme unité. ”

“ Certaines branches des mathématiques apparaissent à de nombreux savants et même à certains mathématiciens, comme tellement éloignées de tout contact avec la réalité qu’il semble que leur utilité pratique sera toujours nulle. Une telle opinion procède d’une méconnaissance absolue de l’histoire de la science. Les découvertes importantes, dans les domaines les plus abstraits, n’ont jamais tardé beaucoup à réagir, sinon sur les applications d’une manière directe, du moins sur des parties voisines de la science mathématique, en simplifiant l’enseignement et en abrégeant l’étude ”

“ Il n’est pas inutile de faire observer que si, pour une constante physique (densité, indice de réfraction, etc.) la mesure fournit la valeur 1,41421, le physicien ne songera guère à proposer comme valeur de cette constante. Pourquoi ? Simplement parce que, dans le tableau des valeurs numériques des constantes analogues, calculées toutes sous forme de fraction décimale, il y aurait plus d’inconvénients que d’avantages à écrire un seul des nombres qui y figurent sous cette forme irrationnelle. ”

“ Celui qui n’a pas de génie et que la chance ne sert point ne doit pas en être rendu responsable et, si pendant dix ou vingt ans, il s’est spécialisé dans une étude abstraite et est devenu impropre à une autre utilisation sociale que la poursuite de cette étude, il faut que la société qui l’a laissé s’engager dans cette direction, qui l’y a peut-être encouragé, prenne son parti de ce déficit dans son compte d’exploitation et s’en console par les bénéfices énormes qu’elle réalise sur le concurrent plus heureux qui aura découvert le vaccin de la rage ou la télégraphie sans fil. ”

“ Les deux conditions d’exactitude et de simplicité sont parfois difficilement conciliables : on sacrifie alors l’une ou l’autre suivant les conditions pratiques dans lesquelles on se trouve. Si l’on obtient, par exemple, à la suite d’une série de mesures et de calculs, pour la valeur du rapport des diamètres des deux roues :
on adoptera plus volontiers la fraction simple que la fraction compliquée même si l’on a des raisons de croire que cette dernière est plus exacte. ”

“ Si l’on admet cette définition vague et peut-être optimiste de la société future et si l’on admet en outre que les dirigeants ne seront pas dépourvus d’intelligence, il semble que l’on ne doive avoir aucune inquiétude sur l’avenir de la science dans cette société. ”

“ Dans d’autres questions, au contraire, des lois connues permettent de mettre expérimentalement en évidence des nombres rationnels simples, les racines carrées de nombres entiers, le nombre etc. ; la liaison est alors intime entre le continu mathématique et le continu physique : la notion arithmétique du nombre intervient véritablement dans l’étude de la nature, et non pas seulement la notion empirique de mesure approchée. ”

“ Il y a là un défaut d’éducation très général, qui tient à ce que le calcul des probabilités n’a pas dans l’enseignement secondaire la place qu’il devrait avoir ; mais c’est là un point qui mériterait d’être développé à part.
Il faudrait aussi insister sur le fait que les recherches de caractère en apparence purement « artistique », qui n’ont pour le savant d’autre intérêt que la recherche de la beauté scientifique, se révèlent quelquefois comme les plus fécondes. ”

“ Contentons-nous donc de constater cette vérité qui pouvait paraître évidente à priori : le continu physique se distingue du continu mathématique en ce que, l’expérience ne permettant jamais d’atteindre qu’une approximation limitée, une certaine différence minimum est nécessaire pour que l’on puisse discerner deux éléments très voisins [6] . ”

“ Mais prévoir parmi les jeunes gens de vingt ans, celui qui dix ou vingt ans plus tard sera un Galilée, un Newton, un Descartes, c’est une tâche qui nous apparaît actuellement comme impossible. Il est donc nécessaire de donner à beaucoup les moyens de travail pour que dans le grand nombre se trouve celui qui est prédestiné et dont la découverte payera au centuple et bien au delà toute la dépense faite pour tous. ”

“ LA SCIENCE DANS UNE SOCIÉTÉ SOCIALISTE
Quelle que soit l’opinion que l’on ait sur l’avenir immédiat de l’organisation sociale des grands peuples civilisés, il n’est pas interdit d’envisager l’hypothèse où, sous une forme ou une autre, cette organisation serait pénétrée par certaines des tendances dites socialistes. Sans nous attarder à en discuter le détail nous pouvons résumer ces tendances en disant que la société (ou l’État, si l’on veut) tend à refuser de plus en plus de fournir des moyens d’existence un peu larges à ceux qui ne font personnellement rien pour les mériter. ”

“ Ceci entraîne la conséquence importante suivante : l’abscisse de tout point peut, à une approximation aussi grande que l’on veut, c’est-à-dire avec une erreur aussi petite que l’on veut, être représentée par un nombre rationnel.
2o De plus, cet ensemble est énumérable. Ceci veut dire que l’on peut ranger tous les nombres rationnels en une suite linéaire, de telle manière que chacun d’eux occupe un rang bien déterminé ; on peut, par exemple, convenir d’écrire d’abord les fractions positives pour lesquelles la somme du numérateur et du dénominateur a la plus petite valeur ”

“ De même que la nature prodigue les semences pour arriver à conserver les espèces, de même il faut que beaucoup de germes d’idées avortent pour qu’une découverte neuve et importante surgisse. Et nous ne possédons aucun moyen de distinguer à priori ceux des hommes qui apporteront cette grande découverte. Tout ce que l’on peut essayer de faire, et encore avec beaucoup de prudence, c’est de choisir parmi les jeunes gens, ceux qui ont les aptitudes les plus marquées pour telle ou telle science ”

“ Cette définition ne saurait conduire à aucune contradiction, car si une expérience faite avec soin prouve que A est inférieur à C, tandis que B, dans les mêmes conditions, ne se distingue pas de C, c’est là une raison expérimentale suffisante pour affirmer que A est inférieur à B.
Si l’on mesure une grandeur par comparaison avec un étalon fixe, l’on obtient un certain nombre de décimales sûrement exactes, suivies d’une dernière décimale sur laquelle plane quelque incertitude ”

“ Pourra-t-on cependant admettre, dans une société qui ne tolérerait pas les oisifs et les inutiles, qu’il suffise à un jeune homme de se dire mathématicien, poète ou philosophe, pour qu’il lui soit permis de vivre pendant des années sans participer à la production, en s’absorbant dans des méditations dont la réalité est difficilement contrôlable. ”

“ De plus, lorsque l’on a à comparer les grandeurs de plusieurs fractions, il est commode qu’elles aient le même dénominateur, condition facilement réalisée si elles ont la forme décimale. Aussi arrive-t-on plus facilement à avoir l’appréciation instinctive des grandeurs relatives lorsque l’on se sert de l’échelle décimale ”

“ Une fois admis à faire de la science, les jeunes gens devraient être soumis au contrôle fort souple de leurs aînés immédiats et surtout de leurs contemporains et pairs. Il ne serait pas interdit d’exiger d’eux des services sociaux (enseignement ou autres) correspondant à leurs aptitudes, sous la réserve que ces services ne leur prendraient pas trop de temps. ”

“ C’est cet ensemble des nombres effectivement utilisés qui constitue le continu pratique des mathématiciens, le seul dont ils se servent réellement. Le continu théorique non énumérable est une conception métaphysique dont nous n’avons pas à nous occuper ici. ”

“ Il est permis de ne pas partager complètement cet optimisme ; je voudrais indiquer brièvement la raison pour laquelle il me semble que l’on peut avoir des inquiétudes sur l’organisation de la science dans la société que nous appellerons socialiste, pour abréger le langage, sans attacher à cette épithète un sens plus précis que celui qui vient d’être rapidement indiqué. ”

“ On ne peut donc avoir une valeur approchée à un dix-millionième près, par exemple, que si les termes p et q de la fraction dépassent 1000. Il est au contraire évident que les nombres compliqués sont parfois approchés de très près par des nombres très simples ; par exemple le nombre
est visiblement égal à , avec une erreur qui porte seulement sur la vingtième décimale. ”

“ Tout cela est forcément un peu vague et pourrait être précisé s’il était nécessaire ; l’essentiel serait de bien comprendre qu’il n’est pas légitime d’exiger individuellement de chacun un rendement égal à sa dépense ; il y a une question de génie, qui est mystérieuse, et aussi une question de chance qui ne l’est pas moins. ”

“ Écraser la pensée libre sous un système de contrôle confié à des Universités ou des Académies, c’est risquer de couper les ailes à toute véritable originalité, à toute pensée vraiment neuve. Et, d’autre part, supprimer tout contrôle, n’est-ce pas laisser la porte ouverte à toutes les supercheries ? ”

“ Pour nous borner à la science, on pourra tout d’abord essayer de contrôler les aptitudes par un système d’examens assez larges et assez variés pour que des voies diverses soient ouvertes très nombreuses et que les jeunes gens puissent s’engager dans celle qui correspondrait le mieux à la nature de leur esprit ”

“ Je montrerai ensuite comment on peut essayer d’éviter ce danger, qui serait l’un des plus grands que puisse courir l’humanité, d’un arrêt dans le développement scientifique, en essayant d’éclairer le public sur les conditions réelles de la recherche scientifique. ”

“ On peut la formuler ainsi : les nombres simples ne se laissent pas approcher par d’autres nombres simples. Précisons par un exemple le sens de cet énoncé, un peu vague dans sa généralité. On peut rechercher une fraction ordinaire qui soit égale à la racine carré d’un nombre entier donné : à , par exemple, ou à . Si l’on désigne la fraction cherchée par , on démontre facilement que l’erreur commise est environ égale à , à un facteur près dont la valeur est limitée en fonction des données ; par exemple, s’il s’agit de , l’erreur est sûrement supérieure à . ”

“ Combien d’autres dont l’utilité n’apparaîtra peut-être que dans plusieurs siècles ? Une société qui prétend contrôler sévèrement la distribution des richesses aurait-elle laissé s’accumuler ces travaux superflus ? Sans doute, leurs auteurs étaient souvent en même temps des professeurs, qui rendaient dans certains cas de réels services par leur enseignement ”

“ C’est ce que tout le monde fait, dans bien des circonstances, d’une manière inconsciente ; mais c’est aussi ce que la plupart des hommes se refusent à faire d’une manière consciente, dans les matières où ils ne sont pas habitués à faire usage des considérations de probabilités. ”

“ Enfin, il conviendrait de fixer le niveau de leurs moyens d’existence (au moins aussi longtemps qu’un communisme absolu ne rendrait pas ce niveau égal pour tous, si toutefois cette hypothèse n’est pas absurde) de telle manière qu’il soit assez élevé pour que les meilleurs des jeunes gens ne soient pas détournés des carrières scientifiques et cependant assez bas pour ne pas tenter ceux que l’appât seul du lucre déterminerait dans le choix d’une carrière. ”