Fraction (arithmétique)

“ III. Si une fraction irréductible a pour dénominateur un nombre premier, et que la période de la fraction décimale à laquelle elle donne naissance ait un nombre pair de chiffres, la somme des chiffres occupant le même rang dans chaque demi-période sera toujours égale à 9. ”

“ Et de l'autre part, l'utilité d'exposer, 1° les moyens à l'aide desquels on parvient à la décomposition d'un produit ou d'un nombre quelconque, en ses facteurs premiers ou non premiers ; 2°. De faire connaître qu'on peut simplifier une fraction irréductible, par le moyen des fractions continues, procédé employé parfois, aux dépens de l'exactitude, pour juger, d'une manière très approchée, de la valeur d'une fraction, qui, réduite à sa plus simple expression, reste encore sous la forme de nombres considérables et premiers entre eux. ”

“ MÉTHODE. Pour transformer une fraction ordinaire en fraction décimale, il faut écrire un zéro à la suite du numérateur, diviser le numérateur nouveau par le dénominateur; si la division laisse un reste, il faut écrire un zéro à la droite de ce reste, puis diviser le produit qui en résulte par le dénominateur; et continuer ainsi l'opération, jusqu'à ce qu'on obtienne un quotient exact ou assez approché, sur la droite duquel on sépare autant de chiffres qu'on a succesivement écrit de zéro à la suite du numérateur et des différens restes. ”

“ Il y a aussi deux manières pour rendre une fraction plus petite ; savoir : ou en divisant le numérateur, ou en multipliant le dénominateur de cette fraction par le nombre qui indique combien de fois on doit la rendre plus petite. ”

“ R. Lorsqu'il y a des unités jointes aux fractions , on réduit les fractions au même dénominateur, ensuite on fait la soustraction des fractions, puis celle des nombres entiers.
Si la fraction inférieure est plus grande que la fraction supérieure , on augmente la fraction d'une unité qu'on réduit en fraction ; on soustrait la fraction inférieure de la fraction supérieure ainsi augmentée ; et lorsqu'on arrive aux nombres entiers , on augmente d'une unité le nombre inférieur, puis on achève l'opération comme à l'ordinaire. ”

“ Le cas de la division des nombres entiers où le quotient n'est pas lui-même un nombre entier donne naissance aux fractions ordinaires. On en donne un exemple. Ce que c'est qu'une fraction. Sa définition, ainsi que celle de chacun de ses termes. Manière d'énoncer une fraction. Une fraction peut être regardée comme l'un des facteurs de sqn numérateur, dont l'autre facteur est le dénominateur. ”

“ REMARQUE. Toute fraction pouvant être rendue irréductible, le théorème précédent permet toujours de décider, si une fraction donnée est égale à un nombre décimal ; dans le plus grand nombre des cas, une pareille transformation n'est pas possible, il faut définir ce qu'on entend alors par : réduire une fraction ordinaire en décimales.
182. D'après ce qui précède, une fraction ordinaire ne pourra pas, en général, se mettre sous la forme d'un nombre décimal.
A plus forte raison, une grandeur quelconque étant donnée, sa mesure exacte ne sera pas, en général, une fraction décimale. ”

“ Le dénominateur de la fraction irréductible, génératrice d'une fraction décimale périodique mixte, est divisible par l'un ou l'autre des facteurs 2 ou 5 pris avec un exposant égal au nombre des chiffres qui, dans la fraction décimale, précèdent la période. ”

“ Puisque les nouvelles mesures sont subdivisées en décimales, on n'a pas besoin de donner des règles particulières pour les opérations à effectuer sur les nombres provenant de ces nouvelles mesures ; le calcul des nombres décimaux s'y applique naturellement.
Fractions.
26. Une fraction est une ou plusieurs parties égales dont un certain nombre fait l'unité. Le nombre qui exprime combien il y a de parties s'appelle numérateur, et le nombre qui exprime combien il en faut pour faire l'unité s'appelle dénominateur. ”

“ Cela fait que quand On a un reste dans la division on peut le mettre en fraction , en mettant le diviseur comme dénominateur.
28. Une fraction peut encore être considérée sous un troisième point de vue qui nous sera très utile: savoir, comme ayant été engendrée par deux mouvements à partir de l'unité : 3 par exemple , peut être consdérée comme un nombre qui était primitivement l'unité , qui est devenu d'abord 3 fois plus grand et ensuite 7 fois plus petit que dans ce nouvel état. Rien n'empêche de considérer un nombre entier comme engendré de cette manière, mais par un seul mouvement. ”

“ Le plus petit dénominateur commun de plusieurs fractions irréductibles est le plus petit multiple commun de leurs dénominateurs. — 1G0, 161. Addition et soustraction des fractions. — 162. Multiplication des fractions. Il est inutile de traiter à part le cas où le multiplicande est entier. Le produit de deux fractions ne change pas quand on intervertit les facteurs. — 163. Les conséquences de ce principe sont les mêmes que dans le cas des facteurs entiers. — 164. Division des fractions. Pour diviser une grandeur par une fraction, il suffit de la multiplier par la fraction renversée. ”