Nombre premier

“ COROLLAIRE. — Tout nombre premier qui divise les puissances d'un nombre, divise aussi ce nombre. Car aA étant égal à a x a X a x ci, tout nombre premier qui divise ce produit divise le facteur a (142) .
144. THÉORÈME. — Plusieurs nombres qui ne sont pas premiers entre eux, admettent au moins un diviseur premier commun. ”

“ Ainsi le nombre 3, qui est contenu 4 fois dans le nombre 12, est un diviseur de 12. — On dit aussi que 3 est un sons-multiple de 12
417. — Nombre premier. On appelle nombre premier tout nombre qui n'est divisible par aucun autre nombre, excepté par lui-même ou par l'unité. ”

“ Le 3, simple par lui-même, est le seul nombre qui se compose de simples, et qui fournit un nombre simple en se décomposant : vous ne pouvez composer un autre nombre complexe sans le 3, excepté le 2. Les générations du 3 sont magnifiques, et tiennent à cette puissante unité qui est le premier anneau de la chaîne des nombres, et qui remplit l’univers. ”

“ D'après cela : cinq plus sept et 5 +7, par exemple, sont des expressions non vulgaires, l'une verbale, l'autre en chiffres, du même - nombre, dont douze est l'expression vulgaire verbale, et 12 l'expression vulgaire en chiffres.
XIV. Le nombre 1, le premier ou le plus petit de tous les nombres, celui dont tous les autres se composent, est le seul qui n'ait pas d'expression en chiffres, ce qui devait être a cause de sa simplicité ; aussi l'homme qui, le premier, dans les temps les plus reculés, éleva le doigt, dont il est l'image, pour manifester le nombre 1, commença la science des nombres. ”

“ On entend par parties, une ou plusieurs fractions d'un nombre que l'on appelle entier, lequel se divise ou se fractionne en plus ou moins de parties égales, comme 4/4, 6/6, 8/8 et 12/12, etc., c'est-à-dire que chacun de ces, nombres se compose seulement de 4, 6, 8 et 12 parties égales, et que par conséquent chacune ou plusieurs de ces parties réunies ensemble sont des fractions de l'entier comme 1/4, 2/6, 3/8 et 4/12.
DES NUMÉRATEUR ET DÉNOMINATEUR.
On distingue deux principaux termes dans les fractions; Le premier se nomme numérateur et le second dénominateur ”

“ III. En se fondant sur la proposition précédente et sur celle qui a été énoncée (Chap. I, ex. III) , on peut prouver que l'opération du plus grand commun diviseur exige un nombre de divisions au plus égal à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres.
CHAPITRE VII.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS.
Définitions.
109. Un nombre entier est dit premier lorsque n'a pas d'autres diviseurs entiers que lui-même et l'unité. ”

“ A l'exception de premier et second, tous les adjectifs déterminatifs numéraux ordinaux se forment des adjectifs déterminatifs numéraux cardinaux en changeant f en vième, pour ceux qui finissent en f; en changeant l'e muet en ième, pour ceux qui finissent en e; enfin, en ajoutant ième à ceux qui finissent par une consonne.
« Neuf, neuvième.
« Douze, douzième.
« Cinq, cinquième, » etc.
Les adjectifs dèterminatifs numéraux partitifs ou adjectifs dèterminatifs numéraux indéfinis sont ceux qui
servent à marquer le nombre, la quantité, d'une manière indéterminée, indéfinie. ”

“ L’infini des Nombres est un fait prouvé pour votre Esprit, dont aucune preuve ne peut être donnée matériellement. Le Mathématicien vous dira que l’infini des Nombres existe et ne se démontre pas. Dieu, cher pasteur, est un nombre doué de mouvement, qui se sent et ne se démontre pas, vous dira le Croyant. Comme l’Unité, il commence des Nombres avec lesquels il n’a rien de commun. L’existence du Nombre dépend de l’Unité qui, sans être un Nombre, les engendre tous. Dieu, cher pasteur, est une magnifique Unité qui n’a rien de commun avec ses créations, et qui néanmoins les engendre ! ”

“ La valeur absolue d'un chiffre est celle qu'il a quand on le considère seul, et la valeur relative celle qu'il a d'après la place qu'il occupe dans le nombre. Ainsi, dans 4 738, la valeur absolue du premier chiffre à gauche est quatre, ou 4, et sa valeur relative est quatre mille, ou 4 000.
26. Remarque. — Notre numération est appelée décimale, parce que lea nombres sont formés d unités de dix en dix fois plus grandes, et parce qu'on y emploie dix caractères ou chiffres pour représenter tous les nombres possibles.
27. Rendre un nombre entier 10,100,1OOO. fois plus grand ou plus petit. ”

“ Sans doute, ainsi que l’ont dit les Pythagoriciens, les Nombres se trouvent partout dans le monde où nous vivons, dans le ciel, que nous contemplons, dans la nature, que nous cherchons à interpréter. Le nombre est à l’état d’unité dans chacun des individus que nos sens perçoivent ; il est à l’état de multiplicité dans les collections que les individus peuvent former, soit dans une même espèce, soit dans des espèces différentes. Sans doute encore, il y a dans l’univers, dans le monde, des proportions et des harmonies, comme il y en a dans les sons que calculent les mathématiques. ”

“ Et pour que ces paragraphes soient plus savants, pour qu’ils soient véritablement scientifiques nous les numéroterons. Tout le monde sait que la numérotation c’est la numération, et que la numération, que le numéro fait le commencement de la science. Car le numéro en bon français n’est-il pas le nombre et le nombre ne fait-il pas l’une partie, n’est-il pas l’une matière des deux de la mathématique. ”

“ La science des nombres n’est point une rêverie. Ecoutez plutôt ce que dit saint Jean dans l’Apocalypse (Αποκάλυψις, mot inventé par les Septantes suivant saint Jérôme pour désigner les Révélations de saint Jean) verset 18, nombre ignoble, chapitre 13, nombre fatal:
«Qui habet intellectum computet numerum bestiæ; numerus enim hominis est, et numerus ejus sexcenti sexaginta sex.»—«Que celui qui a de l’intelligence suppute le nombre de la bête, car son nombre est le nombre d’un homme.» ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ Pour écrire en chiffres un nombre entier énoncé en langage ordinaire, il faut considérer les différentes espèces d'unités dont se compose le nombre, les écrire successivement, à partir de la gauche, en ayant soin de remplacer par des zéros les unités qui pourraient manquer. ”

“ La considération assidue des rapports mathématiques le conduisit à un système universel, dans lequel les nombres sont les principes de toutes choses; les nombres eux-mêmes ont pour principe l'unité ou la monade; les dix premiers nombres ont des vertus merveilleuses, surtout le nombre 10 ou la décade. Dieu est l'unité absolue et primordiale, la monade des monades; l'âme est un nombre qui se meut lui-même ”

“ On est dix gentlemen qui mettent chacun un louis et qui s’affublent, chacun, par voie de tirage au sort, d’un numéro différent, de 0 à 9. Celui qui a le numéro qui correspond au chiffre des unités du nombre de milles parcourus dans les vingt-quatre heures a gagné la poule. ”

“ Le nombre qui détermine le mode de groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d'un usage universel parmi les hommes ”

“ Compter des tas, compter des sacs, compter des plants, compter des journées d’homme, cela est imposé par le métier même ; et savoir qu’un nombre dépend d’un autre, c’est savoir le nombre comme il faut. ”

“ LE GROUPE NOMINAL § 95. Le groupe nominal est l’ensemble constitué par le substantif (ou l’adjectif prédicat, cf. § 150) et les éléments construits avec lui.
Ces éléments peuvent se répartir en deux groupes : déterminants, qui ajoutent à la notion nominale une caractérisation abstraite de l’ordre de celles qu’exprime la flexion (genre, nombre, etc.) ; compléments, mots pleins, exprimant une notion plus ou moins concevable indépendamment de la notion exprimée par le nom régi. ”

“ Non seulement chaque chiffre exprime à sa façon une idée essentielle, mais la combinaison des chiffres, c’est-à-dire leur rang dans la série et leur place dans le nombre, se réalise conformément aux lois mêmes de la logique scientifique. En ce sens, ils constituent une véritable langue nouvelle dont les phrases, ici les nombres, sont formées selon des règles syntaxiques constantes au moyen de mots, ici les chiffres. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ J’ai cru remarquer que, même dans les Lettres, dans cette république des Lettres, le plus sûr, pour que les choses aient quelque ensemble, c’est qu’il y ait au fond quelqu’un, un seul ou un petit nombre, qui tienne la main. ”

“ Si l’on a plusieurs représentations du nombre par la forme qui appartiennent à la même valeur de l’expression , en supposant toujours les valeurs de premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme ... ”

“ Le nombre est la propriété par laquelle les noms expriment l'unité ou la pluralité.
En d'autres termes, le nombre dans les noms indique si l'on parle d'un seul être ou de plusieurs êtres.
Il y a deux nombres : le singulier et le pluriel.
On se sert du singulier quand on parle d'un seul être : un homme, une table ; on se sert du pluriel quand on parle de plusieurs êtres : des hommes, des tables.
Les noms au pluriel ont une s, qu'on ne trouve pas dans les noms au singulier. ”

“ En effet un nombre, c’est ce qui est nombrable ou ce qui est déjà nombre ; dans le cas même où un nombre est seulement quelque chose de nombrable, puisque ce nombrable peut, par définition, être nombre, le nombre n’est pas infini. ”

“ Pourquoi, si vous croyez au Nombre, niez-vous Dieu ? la Création n’est-elle pas placée entre l’infini des substances inorganisées et l’infini des sphères divines, comme l’Unité se trouve entre l’infini des fractions que vous nommez depuis peu les Décimales, et l’infini des Nombres que vous nommez les Entiers ! Vous seul sur la terre comprenez le Nombre, cette première marche du péristyle qui mène à Dieu, et déjà votre raison y trébuche. ”

“ Il faut convenir que la tâche de discerner la priorité du nombre ordinal sur le nombre cardinal ou l’inverse, et toutes les spéculations analogues sont bien plutôt du domaine de la philosophie que du domaine de la science. ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ Nombre collectif, qui renferme cent unités. Centum, centenarius, centenus numerus. Une centaine d’années. Une centaine d’écus. Une centaine d’hommes. Nombre, dixaine centaine, mille, &c, C’est l’ordre des nombres en Arithmétique. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”

“ EXEMPLE. Un milÏÏon vaut dix centaines de mille, cent dizaines de mille, mille fois mille, dix mille fois cent, et cent mille fois dix.
On a donné des noms particuliers à tous les nombres de dizaines inférieurs à dix dizaines. Ces noms sont : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatrevingt-dix. Il est inutile d'indiquer la signification. de chacun d'eux.
Les nombres compris entre dix et cent s'expriment en indiquant le plus grand nombre de dizaines qu'ils contiennent et y joignant le nom du nombre moindre que dix, qui les complète. ”

“ Tous les noms de nombre qu'on appelle cardinaux n'ont point de singulier, non plus que l'adjertif plusieurs. Il serait absurde qu'un nom dont l'office est de marquer la pluralité pût n'indiquer qu'un seul être; ainsi deux, dix, vingt, cent, etc., sont toujours au pluriel. ”

“ Toutes les fois qu’il se représente un nombre comme nombre, il se le représente nécessairement avec une vertu et une valeur mystiques qui appartiennent à ce nombre-là, et à lui seul, en vertu de participations également mystiques. ”

“ Remarquons qu’en agissant ainsi nous n’impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n’est ici qu’un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement d’en connaître la signification. « Les groupes formés avec cet objet, deux, trois ou plusieurs fois répété... » ”