“ On appelle puissances d'un nombre les produits de ce nombre multiplié par l'unité ou par lui-même : 16, produit de 4x4, est une puissance de 4; le nombre 64, produit de 4 X 4 X 4, est encore une puissance de 4.
Un nombre multiplié par l'unité est à la première puissance.
Un nombre multiplié une fois par lui-même, est à la seconde puissance ou au carré.
Un nombre multiplié deux fois par lui-même, est élevé à l'il troisième puissance ou au cube.
Le nombre, qui a été élevé a une puissance quelconque, se nomme la racine de cette puissance ”

“ Les nombres qui ne sont pas un carré parfait, comme 2, comme 3, comme 24, etc., etc., ont une racine exprimée par un entier et une fraction. Cette espèce de racines se nomme nombre sourd, irrationnel ou incommensurable.
88. Lorsqu'on veut avoir approximativement en décimales la racine d'un nombre qui n'est pas un carré parfait, il faut ajouter sur la droite du nombre proposé un nombre de zéros double du nombre des décimales qu'on veut avoir à la racine (34) . On fait après cela l'extraction de la racine absolument comme au principe (86) . ”

“ Nous connaissons déjà les dixaines de la racine ; donc, puisque le nombre qui nous reste contient deux fois les dixaines par les unités, nous devront trouver aussi les unités, en divisant par deux fois les dixaines la partie du nombre restant, qui contient le double produit des dixaines par les unités; mais les dixaines produisant toujours des dixaines, leur produit ne sera jamais dans le chiffre des unités du carré ; vous séparerez donc d'abord le chiffre des unités du nombre à diviser ; vous diviserez ensuite les
chiffre restans à gauche par le double des dixaines. ”

“ Il arrive bien souvent que la réduction d'une fraction ordinaire en décimales finit par présenter sans cesse les mêmes restes et les mêmes chiffres au quotient ; alors la réduction ne se terminerait jamais. ”

“ Placer une somme à intérêts composés, c'est placer cette somme un certain nombre d'années de manière que l'intérêt de chaque année se joigne au capital pour produire intérêt à son tour entre les mains du même débiteur. ”

“ Le numérateur d'une fraction peut être considéré comme le reste d'une division (39) dans laquelle le dénominateur était le diviseur.
Donc pour convertir une fraction ancienne en fractions décimales, il n'y a qu'à pratiquer ce qui a été prescrit (39 — 2.°) pour la conversion des restes laissés par une division, en observant d'écrire toujours zéro à la place des entiers du quotient (14) ”

“ Si le dividende seul a des décimales, on fait encore l'opération comme s'il n'y avait point de virgule ; mais comme le dividende est alors devenu ou 10, ou 100, ou iooo, etc., fois plus fort (16) , il faudra séparer sur la droite du quotient, par une virgule, autant de chiffres qu'il y avait de décimales au dividende.
Si au contraire le diviseur seul a des décimales, on opère aussi sans aucun égard à la virgule ; mais on avance alors la virgule vers la droite du quotient d'autant de places qu'il y avait de décimales au diviseur. ”

“ TROISIÈME CAS. Lorsque les deux facteurs ont chacun plusieurs chiffres, on répète le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, absolument comme il vient d'être prescrit pour le 2e cas (31) , en observant que le premier chiffre, à droite, du produit obtenu par les dixaines du multiplicateur, doit être écrit sous les dixaines du premier produit partiel ; celui des centaines s'écrira au rang des centaines , et ainsi de suite , en reculant toujours d'un rang vers la gauche, à chaque nouveau facteur partiel du multiplicateur. ”

“ MAis on est dans l'usage de vérifier le plus souvent la multiplication au moyen de la preuve par 9, quoique peu sûre. Voici comment elle se pratique : 1° Tracez une grande croix ; 2° additionnez les chiffres du multiplicande comme des unités simples, et divisez la somme par 9; écrivez dans l'angle gauche supérieur de la croix le reste de la division; 3° agissez sur le multiplicateur comme vous venez de le faire sur le multiplicande, en écrivant le reste de votre seconde division sous celui du multiplicande ”

“ Le zéro n'a aucune valeur par lui-même. Il ne sert qu'à remplacer les ordres d'unités qui peuvent manquer dans un nombre, afin que les chiffres significatifs aient la place et la valeur qui leur a ppartiennent. ”

“ Le nombre qui divise les deux termes d'une fraction, se nomme diviseur commun aux deux termes de la fraction.
55. Tout nombre divisible par 2, s'appelle nombre pair.
56. Tout nombre qui n'a d'autre diviseur que lui-même ou l'unité, comme 1, 2, 3, 5, 7, 11, i3, 17, 19, 2.3 , etc., s'appelle nombre premier ou impair. ”

“ La soustraction a pour but de retrancher un nombre' d'un autre. Le résultat s'appelle reste ou différence, suivant les cas : Il y a reste, lorsqu'on a plus que l'on ne doit ; et différence, lorsqu'on a moins que l'on ne doit.
22. Dans toute soustraction observez les principes suivans : i Il Ei crivez, le plus petit des deux nombres sous le plus grand, en mettant bien exactement les unités de même ordre dans la même colonne ; tirez un trait sous le dernier nombre ; 2° Commencez l'opération par la droite , en ôtant les unités inférieures des unités supérieures correspondantes ”

“ Tout nombre, dont les chiffres ajoutés comme des unités simples forment une somme divisible par 3, par 6 ou par 9, est divisible par 3, par 6 ou par 9.
58. Si les deux termes d'une fraction n'ont pas le même diviseur, comme 3/s, %, 8/15, etc., ces termes sont dits premiers entre eux : de telles fractions sont toujours irréductibles.
59. De tous les diviseurs communs, il faut toujours prendre le plus grand, comme conduisant de suite au résultat cherché.
60. Du principe (53) il résulte que Ion peut réduire plusieurs fractions à avoir le même dénominateur, sans en changer la valeur. ”

“ On s'assurera enfin si les bras de la balance sont égaux, en changeant les bassins de place : la balance qui est juste, doit conserver encore son équilibre. Les romaines ne doivent pas être considérées comme des instruments d'une grande justesse. ”

“ Le côté, sur lequel la perpendiculaire descend, se nomme la base du triangle.
Si un triangle a un angle droit, il s'appelle triangle- rectangle.
40 Quadrilatères. Un quadrilatère est une figure de quatre côtés.
Si les quatre côtés sont égaux et forment quatre angles droits, la figure s'appelle un carré, tel est ABCD (fig. 9) .
Si les quatre côtés sont parallèles deux à deux, la figure se nomme un parallélogramme, tel est A B C G (fig. 10. )
Tout carré est un parallélogramme. ”

“ Combien achèterait-on d'hectolitres de blé, a raison de 25 fr. l'hectolitre, avec 11675 fr. ?
Combien pourrait dépenser par jour un homme qui aurait 5840 fr. de revenu par an? ( Nous supposons ici l'année de 365 jours. )
Un roi veut employer 4887568 fr. à lever un corps de cavalerie , à raison de 578 fr. par cavalier. Combien aura-t-il d'hommes ?
38. Si le dividende et le diviseur étaient terminés par des zéros, on pourrait en effacer un égal nombre sur la droite des deux termes ; cela ne change rien au quotient. ”

“ Le stère, avec ses multiples et ses sous-multiples, a remplacé les anciennes mesures pour le bois de chauffage et de charpente.
Puisque le stère est la valeur d'un mètre cube, un stère de bois de chauffage est une pile de bûches, ayant un mètre de longueur, un mètre de largeur et un mètre de hauteur.
Il est évident aussi que si l'une des trois dimensions de la pile était au-dessus ou au dessous de 1 mètre, il fau-
drait faire dans les autres une diminution ou une aug- mentation proportionnelles *. ”

“ Pour diviser une fraction ou un entier par une fraction, il n'y a qu'à mettre d'abord les deux termes de la fraction diviseur l'un à la place de l'autre, et qu'à multiplier- ensuite le dividende ( 29. 52. 67 ) par le diviseur ainsi renversé, ou en d'autres termes, ilfaut diviser le dividende (52) par le numérateur du diviseur, et multiplier le quotient par le dénominateur du même diviseur. ”

“ En examinant notre table de multiplication, on voit sans peine : 1° qu'elle se forme en ajoutant successivement chaque nombre à lui-même ; 2,° Que le produit est toujours le même, quel que soit -l'ordre donné aux facteurs : 3 fois 4, par exemple, ou 4 fois 3 donnent également 12; 5 X 8 = 8 X 5 = 4o; et ainsi des autres.
31. DEUXIÈME CAS. Lorsque l'un des facteurs a plusieurs chiffres, tandis que l'autre n'en a qu'un, le facteur de plusieurs chiffres se prend pour multiplicande, et l'autre pour multiplicateur (30) , quelle que soit la question ”

“ La soustraction complexe doit se commencer aussi par la droite, en ôtant les sous-multiples inférieurs d'une espèce des sous-multiples supérieurs correspondans, en observant toujours ce qui a été prescrit pour les entiers (22—3°) , lorsqu'un sous - multiple inférieur exige un emprunt pour son correspondant supérieur. ”

“ La multiplication est en général une opération par laquelle on répète un nombre autant de fois qu'il y a d'unités dans un autre *.
Mais pour généraliser la question, vous direz que mulilflier, un nombre par un autre, c'est produire un troisième nombre, qui est au premier comme, le second est à l'unité.
28. Le nombre qu'il faut répéter se nomme multipli- cande; celui par, lequel on répète le multiplicande, s'appelle multiplicateur et le résultat de l'opération se nomme produit.
Le multiplicande et le multiplicateur se nomment aussi les facteurs du produit. ”

“ Tout parallélogramme égale la base multipliée par la hauteur. Si, dans la figure 10, la base A B = 30 pieds, et la hauteur BC, 6 pieds, le parallélogramme égalera 30 X 6 = 180 pieds. Si la base égale 54m,35, et la hauteur gm,15, le parallélogramme égalera 54m,35 X 9,15 = 497m ,3025.
20 Tout triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur. Donc, la surface d'un
triangle égale la moitié de la base multipliée par la hauteur, ou la moitié de la hauteur multipliée par la base. ”

“ L'opération est censée bonne, si le reste laissé par cette dernière division est le même que le 31, 44. PREUVE DE LA DIVISION. Puisque le quotient exprime combien de fois le dividende contient le diviseur, si l'opération est bonne, le produit du diviseur par le quotient doit égaler le dividende.
FRACTIONS.
45. Nous savons déjà (2) qu'une fraction est une expression numérale qui ne désigne que des parties de l'unité.
Si la division de l'unité est faite suivant les lois du sys.
tème décimal (9. 11. ) , comme trois dixièmes, cinq centièmes, etc., la fraction est dite décimale. ”

“ UNITÉ ITINÉRAIRE. L'unité itinéraire, ou mesure de la longueur des routes, portait le nom de lieue. C'était une distance de 2000, de 3000 et de 4000 toises. On avait aussi la lieue de 25 au degré et la lieue marine de 2850 toises.
137. UNITÉS DE TEMPS. Les principales unités de temps étaient et sont encore la seconde, la minute, l'heure, le jour, le mois et l'année.
i" La seconde est à peu-près l'intervalle qui sépare deux pulsations consécutives du poulx d'un homme en bonne santé. ”

“ Le même binome a + b, élevé au cube , donne a r + 3 a 1 b + 3 a b 2 + b 5. Ces deux polynomes sont la traduction de la formation du carré (85) et du cube (90) d'un nombre composé de dixaines et d'unités.
a , b 2 , etc. signifient carré de a , de b, etc. ; a3 , b3 , etc., signifient cube de a , de b , etc.; a b signifient a X b.
des centaines) ; élevez au carré la racine déjà trouvée ; multipliez ce carré par 3, et avec ce produit divisez le nombre qui est à la gauche des deux chiffres déjà séparés dans le reste total. Le quotient de cette division donnera la racine des unités ; et. ”

“ Un puits peut être regardé comme un cylindre, et se mesurer comme on l'a prescrit pour ce solide, c'est-à-dire qu'il faut multiplier la surface de l'ouverture par la profondeur.
Nota. Si les Volumes des solides ( prisme, pyramide, cône, cylindre, sphère ) sont évalués au mètre, et. que lear expression renferme des décimales, il faudra observer que les décimètres et les centimètres cubes ne sont exprimés que par les millièmes et les millionnièmes , et qu'en général il faut prendre les chiffres décimaux de 3 en 3 ; de gauche à droite , pour les mesures cubiques ”

“ Les chiffres de la ligne ou bande supérieure étant pris pour multiplicandes, et les chiffres de la première colonne à gauche pour multiplicateurs, le produit de chacun des peuf premiers nombres par un quelconque de ces mêmes.
nombres se trouvera dans la colonne du multiplicande, vis-à-vis le multiplicateur : 6 fois 8, par exemple, donnent 48, que je trouve sous 8, vis-à-vis 6. Il en est de même de tous les autres. ”

“ Je sépare d'abord 5, le chiffre des unités; puis je divise 42 par 2 X 4 ou 8, double des dixaines. J'ai 5 pour quotient; et ce quotient est bon, puisque 8X5 et 5 X 5 ou son carré donnent 425, chiffres restans du carré total.
4° Enfin, la racine totale 45 est la véritable, puisque 45 X 45 = 2025.
2 2 Soient encore pour exercice 1/99856; √20520900.
87. On doit sentir que tous les nombres ne peuvent pas
être des carrés parfaits, c'est-à-dire des carrés dont on obtient la racine sans reste. ”

“ Donc aussi , ID l'on multiplie une fraction en multipliant seulement son numérateur, ou en divisant son dénominateur sans toucher au numérateur; ainsi, X 4 _5 X 4_5 - 8 2 20 On divise une fraction en divisant seulement son nu- mérateur, ou en multipliant son dénominateur seul.
53. Donc encore, la valeur d'une fraction ne changera
pas quand on multipliera ou que 1 on divisera ses deux termes par le même nombre ”

“ Dix cents ont été appelés mille. On compte par mille comme on l'a fait par unités, par dixaines et par centaines d'unités simples, et l'on dit : mille, deux mille, trois mille,. dix, vingt, trente mille,. cent, deux cents trois cent mille.
Dix centaines de mille s'appellent million. On compte par millions comme on vient de le faire par mille.
Dix centaines de millions ont été appelées BILLION ou MILLIARD. Ici se bornent nos besoins; car lès royaumes eux-mêmes s'arrêtent aux milliards.
7. NUMÉRATION ÉCRITE. Nos dix chiffres * sont :
1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, o. ”