Louis-Alexis Boillot

“ Chaque partie concrète d'un nombre complexe, n'est autre chose qu'une fraction ordinaire de telle ou telle dénomination de l'unité principale de ce nombre; en sorte que tout nombre complexe peut toujours être transformé en une fraction ordinaire de son unité principale. ”

“ On voit par là que la multiplicité des parties composant chacune des différentes puissances d'un nombre, est en raison directe du degré de la puissance ; d'un autre côté on juge facilement, malgré cette analogie qu'on remarque entre elles, de la difficulté qu'il y a à les obtenir selon les lois ordinaires de la multiplication effectuée immédiatement sur les nombres; c'est pourquoi nous nous en tiendrons ici à la formation du carré et du cube d'un nombre. ”

“ Le résultat de la soustraction se nomme reste, excès ou disférence, c'est-à-dire que ce résultat est, ou le reste de la somme donnée, après en avoir retranché la partie connue, ou l'excès de la somme sur cette partie, ou enfin, la différence qui, soit en plus, soit en moins, existe entre la somme et sa partie donnée.
Devant toujours retrancher la partie donnée de la somme connue ; et ayant connaissance de cet autre axiome que le tout est plus grand que l'une de ses parties, il en résulte que le nombre à retrancher, sera toujours inférieur à celui dont on voudra le soustraire. ”

“ Ainsi, à bien plus forte raison, le produit exprimera-t-il des dixaines pour plus basses unités, si le nombre de celles du premier de ces facteurs, et celui des unités simples du second sont plus considérables ? Donc, etc.
Au surplus, multiplier des dixaines par des unités, c'est ajouter des dixaines à elles-mêmes : donc, dans cette hypothèse, la somme exprimera des dixaines pour plus basses unités : car l'unité d'un tout ne peut être que de la nature de celles qui l'ont produit ou composé. ”

“ Et de l'autre part, l'utilité d'exposer, 1° les moyens à l'aide desquels on parvient à la décomposition d'un produit ou d'un nombre quelconque, en ses facteurs premiers ou non premiers ; 2°. De faire connaître qu'on peut simplifier une fraction irréductible, par le moyen des fractions continues, procédé employé parfois, aux dépens de l'exactitude, pour juger, d'une manière très approchée, de la valeur d'une fraction, qui, réduite à sa plus simple expression, reste encore sous la forme de nombres considérables et premiers entre eux. ”

“ La seconde puissance d'un nombre a reçu le nom de carré parce que c'est de ce nom qu'est qualifiée la figure géométrique ci-dessous, dont les quatre côtés sont égaux, et dont l'aire ou la surface, ou si l'on veut la superficie, qui porte encore le même nom de carré, s'obtient en multipliant le côté par lui-même. ”

“ La formation du carré étant, comme toutes les autres puissances, un cas de la multiplication, il est clair que l'extraction de sa racine sera elle-même un cas de la division : car elle a pour but, connaissant un carré, de trouver le nombre qui l'a produit, ou plus généralement, de chercher un nombre qui multiplié par lui-même, produise un nombre donné. ”

“ Ce sera donc au lecteur à se donner des exemples soit en se proposant des questions, soit en cherchant dans ce qu'il sait ce qu'il ne connaît pas encore ; par exemple il apprendra bien la division dans la formation d'un produit : tel est le plus grand des avantages de l'analyse : elle nous dispense de tout maître autre que la nature et l'analogie. ”

“ Ainsi, la multiplication des nombres entiers est donc une opération par laquelle on ajoute à lui-même un nombre appelé multiplicande, autant de fois moins une, qu'il y a d'unités dans un autre nombre nommé multiplicateur, ou plus généralement, la multiplication sert à découvrir un nombre appelé produit, qui se compose d'un autre nombre nommé multiplicande, de la même manière qu'un troisième nombre appelé multiplicateur se compose de l'unité. ”

“ Il est important de remarquer que les nombres premiers, employés comme diviseurs, doivent être au-dessous de la racine carrée du nombre proposé; et que, s'ils ne divisent ce nombre, il est inutile d'aller au-delà de sa racine carrée ; car le nombre lui-même est sûrement un nombre premier, puisque tout nombre est le produit de sa racine carrée par elle-même. Ainsi, si l'on fait croître l'un des facteurs, l'autre doit décroître (54) ; ce qui prouve que lorsqu'il y a un diviseur plus grand que la racine carrée du nombre proposé il y en a aussi un plus petit. ”

“ Quelques exemples servant à faire comprendre que toutes les grandeurs peuvent toujours être évaluées en nombres. Le nombre nous fournit le moyen de nous rendre compte d'unecollection d'individualités homogènes et nous donne une idée juste de la grandeur de chaque quantité en particulier, considérée dans sa nature propre. Autres avantages que l'on retire du nombre et principalement de sa formation qui suggère l'idée de l'addition, et par suite celle de son opération inverse. Le système de numération est la conséquence de l'opération à l'aide de laquelle on forme les nombres. ”

“ On ne doit pas être étonné de ce que le nombre à retrancher renferme plus de chiffres décimaux que celui duquel on doit le retrancher; car le plus grand
nombre décimal n'est pas toujours celui qui renferme le plus de décimales, mais bien celui dont le premier de ses chiffres à gauche est le plus élevé, ou qui exprime les plus hautes unités. ”

“ C'est une chose bien comprise et une vérité bien sentie que celle de se pénétrer d'abord de la méthode que l'on veut adopter pour un genre quelconque d'étude.
Il est donc évident que si l'on n'a pas une parfaite connaissance de la marche que l'on se propose de suivre, chaque pas sera mal assuré : car on ne pourra aller que par tâtonnements, comme un marin qui parcourrait les mers, sans boussole, par un temps couvert. ”

“ La valeur réelle ou naturelle qu'ont les caractères I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, qui désignent respectivement les nombres un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit et neuf, est une propriété qu'ils ont d'exprimer toujours le même nombre d'unités.
La valeur locale est une autre propriété qu'ont ces chiffres d'exprimer des unités de différentes valeurs, c'est-à-dire que chacun d'eux, 5, par exemple, pourra exprimer cinq unités simples, cinq unités de dixaines, etc., ou bien ils exprimeront des unités de dix en dix fois plus grandes en allant de la droite vers la gauche. ”

“ Donc, en général, un terme quelconque, d'une progression par quotient, est formé du premier terme multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent.
On conçoit facilement que, si la suite est descendante, chacun de ses termes est égal au premier divisé par cette même puissance de la raison. ”

“ Mais lorsque le dividende et le diviseur sont toujours de même espèce, et le quotient de nature différente, il faut se conduire ainsi qu'il suit : On réduit le dividende et le diviseur chacun à la plus petite espèce qui soit contenue dans le dividende; puis on effectue la division comme précédemment, en traitant les unités du dividende comme si elles étaient de même espèce que celles que l'on doit avoir au quotient. ”

“ Le cas où les nombres à écrire n'ont pas d'unités d'un certain ordre, a fait imaginer un dixième caractère (o) qu'on appelle zéro. Ce caraclère n'a aucune valeur réelle; il servira seulement à marquer l'absence des unités de chaque ordre, et en même temps, à conserver aux chiffres significatifs, le rang qui leur conviendra par rapport aux unités qu'ils auront la propriété d'exprimer. ”

“ Mais, comme on peut se demander la cause pour laquelle ces connaissances, qui sont indispensables aux hommes de toutes les conditions, sont négligées à un tel point, qu'un très petit nombre d'entre eux les comptent pour quelque chose dans leur instruction, il convient de faire observer que c'est à cette fausse idée de croire les mathématiques beaucoup plus abstraites qu'elles ne le sont réellement, qu'il faut attribuer cette indifférence avec laquelle la jeunesse débute dans la carrière de ces sciences ”

“ On entend par progression une suite de nombres allant toujours en augmentant ou en diminuant de la même quantité. Mais, comme cette suite de nombres peut aller en augmentant par voie d'addition ou de multiplication, de même qu'elle peut aller en diminuant par voie de soustraction ou de division, il en résulte que l'on doit distinguer deux sortes de progressions ; savoir : les unes , progressions par différence, et les autres, progressions par quotient. ”

“ Il y a aussi deux manières pour rendre une fraction plus petite ; savoir : ou en divisant le numérateur, ou en multipliant le dénominateur de cette fraction par le nombre qui indique combien de fois on doit la rendre plus petite. ”

“ De là, concluons généralement que, pour vérifier un produit par les propriétés de divisibilité du nombre 9, il faut ajouter tous les chiffres du multiplicande, et de la somme en ôter le plus grand multiple de 9 qu'elle pourra contenir; s'il y a un reste on l'écrira à part. Faire la même chose sur les chiffres du multiplicateur; puis multiplier le premier de ces restes par le second, et ôter encore du produit tous les 9. Ce dernier reste placé à part, devra égaler celui qu'on obtiendra en ôtant pareillement tous les 9 de la somme de tous les chiffres du produit total. ”

“ Lorsqu'il s'agit de l'extraction des racines carrées, ce cas où l'on obtient un reste est beaucoup plus fréquent et exige une attention toute particulière ; car, outre qu'il donne une racine qui n'est pas assignable en nombre entier, il la fournit encore non assignable en nombre fractionnaire. ”

“ Ce procédé serait beaucoup plus simple si l'on arrivait à déterminer par une seule soustraction le nombre des unités de chaque espèce qui doivent composer ce facteur cherché ; car l'opération serait ramenée à un nombre de soustractions partielles, égal à celui des chiffres composant le facteur inconnu : c'est à quoi l'on est parvenu. L'opération a reçu le nom de division; le produit donné celui de dividende ; et le facteur connu a été appelé diviseur. Quant au résultat, on le nomme quotient. ”

“ Chaque dividende partiel se composant du produit du diviseur, par son quotient respectif, et en outre de la retenue faite sur les produits résultants du même diviseur, par les autres quotients partiels, il est évident qu'on ne peut assigner de règle pour déterminer de suite le chiffre du quotient. ”

“ Voilà le principe sur lequel sont fondés les trois cas que nous venons d'observer sur la réduction du nombre des caractères exprimant les unités sous-décuples d'un nombre décimal.
202. Les quantités décimales, de même que les autres espèces de nombres, expriment des rapports plus ou moins considérables; aussi ces grandeurs sont-elles assujéties aux lois de la composition et de la décomposition des quantités.
Calcul des nombres décimaux.
203. Nous venons de voir qu'un nombre décimal quelconque est toujours conversible en fraction ordinaire. ”

“ Si, par exemple, cette unité était le franc, il en résulterait que, passé les centièmes, ou tout au plus les millièmes, le restant des décimales serait annulé. Ce qui fait voir qu'il peut arriver très souvent, dans la pratique, de substituer à un produit décimal rigoureux une approximation suffisante, Il est donc à propos de donner ici le moyen le plus expéditif pour obtenir le produit de facteurs décimaux avec une approximation donnée, et appropriée à la précision que l'importance des calculs nécessite. ”

“ Il est donc vrai de dire que ces six opérations, qui sont Les seules qu'on puisse effectuer sur les quantités, se réduisent, à proprement parler, à l'addition et à la soustraction, dont la première seule peut être considérée comme opération fondamentale, parce que c'est elle seule qui apprend à former les nombres ; et que la seconde qui les décompose s'ensuit naturellement; car lorsque l'on sait faire, on sait défaire. ”

“ Dans le cas où les facteurs ne seraient pas des multiples de 9, on ne parviendra pas moins à s'assurer de l'exactitude de leur produit, d'après les mêmes procédés, car si l'on fait attention à la formation du produit d'un couple de facteurs non multiples de 9, on remarquera que le multiplicande, étant multiplié par la partie du multiplicateur qui est un multiple de 9, donne un produit multiple de ce même nombre 9 ”

“ Tout carré composé de un et même de deux chiffres, ne peut donner qu'un seul chiffre à sa racine ; comme tout carré composé de trois et même de quatre chiffres, n'en peut donner que deux à sa racine, ni plus ni moins, ainsi de suite.
En effet, 1° 10 qui est la plus petite racine composée de deux chiffres, a pour carré 100 qui est un nombre exprimé par trois chiffres. Donc une racine d'un chiffre ne pourra produire qu'un carré composé au plus de deux chiffres. ”

“ Réciproquement ; pour transformer une fraction ordinaire concrète en nombre complexe, il suffit d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur, en convertissant chaque reste en unités immédiatement inférieures. ”

“ Pour y parvenir, je substitue à l'expression en toutes lettres de chaque nombre d'unités, le caractère qui lui convient, et j'ai 5 dixaines 5 unités; mais, afin de simplifier davantage cette expression, je vais chercher à supprimer le mot intermédiaire dixaine. Pour cela , il me suffit de rappeler cette convention : qu'un chiffre placé à la gauche d'un autre exprimera des unités dix fois plus grandes que celles qu'exprime celui qui est à sa droite; et j'écris alors 55 unités, expression qui s'énonce cinquante-cinq unités, puisque la collection de cinq dixaines donne le nombre cinquante. ”

“ Lorsque le diviseur offre plus d'un chiffre, l'analyse du problème n'est pas plus difficile : on cherche, comme précédemment, à découvrir la limite des plus hautes unités du quotient, sachant que ses plus hautes unités, multipliées par les plus hautes du diviseur, ont donné les plus élevées du dividende. ”