Progression géométrique

“ THÉORÈME IX. La somme des termes d'une progression géométrique décroissante à l'infini a pour limite le premier terme divisé par l'unité moins la raison.
En appliquant ce théorème à la progression géométrique dé- croissante » 1 » 1 « 1 * 1 » "2".:¡:.g.TI.
dont la raison est Í, nous trouvons que la somme des termes tend vers une limite égale à l'unité.
269. APPLICATION AUX FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES. Les
fractions décimales périodiques ne sont autre chose que des progressions géométriques décroissantes. ”

“ Les découvertes les plus étonnantes de cet art furent sans doute le parallélisme des verticales, c’est-à-dire les perpendiculaires et l’angle droit. Je veux expliquer seulement par là en quel sens la géométrie est une des sciences naturelles. Ce qui est géométrique, c’est la ligne sans corps, c’est-à-dire droite, qui à la fin ne compte plus que deux points et les joint hardiment comme on fait un pas ; cela veut dire que la géométrie fut d’abord ce qu’indique son nom, c’est-à-dire une mesure de la terre. ”

“ L'Analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle le cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul ”

“ Si le plan fixe est à l'infini, on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques : Étant donnée une surface géométrique ; si on lui mène ses plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents. ”

“ Les questions du déplacement fini ou infiniment petit d'une figure dans son plan, ou dans l'espace, considérées au point de vue purement géométrique, c'est-à-dire en faisant abstraction du temps et des forces, se réduisent à l'étude des propriétés relatives à deux figures égales, placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre, car le mode de déplacement même résultera de ces propriétés. ”

“ On les distingue en deux classes. Les unes sont primaires et radicales : ce sont les polygones réguliers ordinaires; et les autres sont étoilées; celles-ci sont formées par les prolongements des côtés d'une figure radicale.
Inscrire une figure dans le cercle, c'est déterminer, par une construction géométrique (c'est-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence) , le rapport de son côté au diamètre du cercle.
Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du 10e livre d'Euclide, dont il se servira. ”

“ On doit remarquer cependant que, si l'équation (1) , outre-les variables x, y, z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces différentes que l'on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l'assemblage d'une infinité de surfaces ou de couches infiniment minces, qui formeraient alors, à proprement parler, un solide. ”

“ Cette géométrie est très fragile, des facteurs extérieurs et intérieurs interviennent pour en rompre la régularité. Le milieu, avec la complexité des mouvements contraires qui l'agitent, paraît s'opposer à toute réalisation géométrique durable. Tout objet ou tout être, au cours de son évolution, passe par un stade mou, plus ce stade se prolonge, plus la forme définitive est irrégulière.
Nous sommes amenés à concevoir comme géométriques les formes définies qui traduisent le jeu d'une ou de quelques lois simples, ce sont les polygones, les polyèdres, les courbes régulières. ”

“ Peut-on voir une rectitude géométrique dans un raisonnement poussé à, l'extrême à travers le monde des idées? Non sans doute, car on n'est pas géomètre par cela seul qu'on tire une ligne droite à travers l'espace. La géométrie, comme son nom l'indique, sert à mesurer la terre; elle la mesure par la loi du triangle, dont l'angle est le principe, et l'angle suppose deux lignes qui se joignent et se servent mutuellement de point de départ. ”

“ Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d’abord qu’ils n’attribueront à l’espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d’un point à un autre sur la sphère, c’est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Dans le premier traité se trouvent établies diverses relations d'abord entre les sommes des ordonnées à la base et celles des ordonnées à l'axe, puis entre les sommes des sinus à la base d'un triligne quelconque et celle des arcs de sa ligne courbe divisée préalablement en parties égales. (Voyez le traité pour la définition de la somme des arcs analogue à celle qui a été donnée pour les sinus) . Le mode de transformation est toujours géométrique : c'est par l'équivalence de certaines aires ou de volumes d'onglets que se trouvent démontrées le plus souvent les identités d'expression. ”

“ En conséquence, les branches de courbes, les nappes de surfaces, associées par la définition géométrique, le seront par l'équation algébrique ; et lorsqu'on résoudra par des intersections de lieux géométriques les problèmes d'analyse déterminée, le nombre des racines associées algébriquement dans l'équation finale, cadrera exactement avec le nombre des solutions que comporte le problème géométrique, si l'énoncé est convenable. ”

“ Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques homologiques, planes ou à double courbure. Conséquemment ils s'appliquent à deux sections planes d'un cône quelconque géométrique, parce que ce sont deux courbes homologiques, dont le centre d'homologie est le sommet du cône.
Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un cône, et remarquons que les perpendiculaires, abaissées des différents points d'un plan sur un autre plan fixe, sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées,
des mêmes points, sur la droite d'intersection des deux plans ”

“ Il arrive souvent aussi qu’un certain problème particulier se rattache aux branches les plus diverses de la Science mathématique. C’est ainsi que le Problème des lignes géodésiques joue un rôle des plus importants au point de vue de l’histoire ainsi que des principes, dans les fondements de la Géométrie, dans la théorie des courbes et des surfaces, dans la Mécanique, et enfin dans le Calcul des variations. ”

“ Ce sera la somme, si le point fixe est pris dans l'intérieur du petit cercle; la différence, s'il est pris au dehors.
§ XI. GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME DE NEWTON, SUR LE RAPPORT CONSTANT DU PRODUIT DES ABSCISSES AU PRODUIT DES APPLIQUÉES, DANS UNE COURBE GÉOMÉTRIQUE.
226. Le théorème de Newton, appliqué aux surfaces, consiste en ce que : Dans toute surface géométrique, de quelque point de l'espace qu'on mène deux transversales, parallèles à deux axes fixes, le rapport des produits des segments faits sur ces deux transversales, entre ce point et la surface, sera constant. ”

“ Si une logarithmique ordinaire engendre une surface de révolution, en tournant autour de son asymptote, et que cette asymptote soit l'axe d'une surface hélicoïde rampante, ces deux surfaces se couperont suivant une courbe à double courbure, dont la projection orthogonale, sur un plan perpendiculaire à l'asymptote, sera la spirale logarithmique. ”

“ En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables. ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ Tous les problèmes de géométrie descriptive peuvent se résoudre à l'aide des changements de plans de projection et des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection, ce qui n'est au fond que le même principe. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ Au contraire, il est toujours possible de généraliser le système primitif des points, droites et plans au moyen d’éléments « idéaux » ou « irrationnels » d’une manière telle que, sur une droite quelconque de la Géométrie ainsi construite, à chaque système de trois nombres réels corresponde sans exception un point. Au moyen d’une convention convenable, on peut également faire que, dans la Géométrie ainsi généralisée, les axiomes I-V soient tous vérifiés. Cette Géométrie généralisée (par l’adjonction des éléments irrationnels) n’est autre que la Géométrie analytique usuelle de l’espace. ”

“ Suivons-en curieusement les conséquences ; que les mathématiques les transforment sans scrupule en théorèmes élégants : nous ne risquons rien. La géométrie a étudié déjà bien des courbes inconnues à la nature, et dont les propriétés ne sont pas moins admirables : c’est à elle seule aussi qu’appartiendront nos résultats, si l’expérience ne les confirme pas. ”

“ On voit ainsi que par chaque point de la surface, tel que le point S, il passe deux génératrices, l'une qui est un cercle dont le plan est per- pendiculaire à l'axe MN, et l'autre qui est la courbe méridienne elle-même qu'on a fait tourner jusque là. Ainsi la surface de révolution est susceptible de deux générations, ou par la courbe méridienne tournant autour de l'axe sans changer de grandeur ni de forme, ou par un cercle variable de grandeur, dont le centre se meut le long de l'axe, et dont le plan est toujours perpendiculaire à cet axe. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ La Hire a le mérite très-grand d'avoir, le premier, conçu l'idée de se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan. ”

“ On a donc ce théorème général : Quand trois systèmes de deux points forment une involution, il existe toujours un certain point tel, que le produit de ses distances aux deux points de chaque système est constant. ”

“ Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe, les tangentes trigonométriques des demi-angles que les rayons de la sphère, menés aux extrémités de la corde, font avec le rayon mené au point fixe, ont un produit constant *. Supposons que la sphère ait son centre au foyer d'une surface du second degré de révolution : ces deux surfaces seront homologiques, et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspondront, dans la surface de révolution, aux extrémités de la corde de la sphère, seront sur les prolongements des rayons menés à ces extrémités ”

“ Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans A, B,
gravité, parce que, pour passer de la première à la seconde, il suffit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. ”

“ De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, des preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la Géométrie pure peut puiser en elle-même, sont nées ces vérités simples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait, inaperçu depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu, se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui constituent la Géométrie récente. ”