Géométrie analytique

“ Ainsi, par exemple, la géométrie figure dans le tableau général comme une science du premier ordre, appartenant au premier règne embranchement des sciences mathématiques, sous-embranchement des sciences mathématiques proprement dites ; elle se subdivise ensuite en deux sciences du second ordre : la géométrie élémentaire et la théorie des formes ; enfin la géométrie élémentaire se décompose en deux sciences du troisième ordre : la géométrie synthétique et la géométrie analytique ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle, sur tous les points, la méthode géométrique. ”

“ Ce théorème se conclut, par le principe de dualité, de cette autre proposition, dont la démonstration résulte des premiers principes de la Géométrie analytique, savoir : Le lieu d'un point dont les distances à plusieurs plans fixes ont entre elles une relation constante, du degré m, est une surface géométrique, qu'une droite quelconque rencontre en m points (réels ou imagi- naires) . ”

“ Tout ce qui existe a nécessairement les trois dimensions. Voyez Dimension. Ce n’est que par abstraction de l’esprit qu’on regarde une ou deux de ces dimensions comme non-existante. Sur quoi voyez l’article Géométrie. (O)
Si l’on se représente qu’un point coule, il tracera une ligne ; & une ligne qui couleroit engendreroit une surface, &c. Cette maniere de considérer la génération des dimensions ou des propriétés des corps, paroît être le premier fondement de la Géométrie moderne, c’est-à-dire, de la Géométrie analytique qui fait usage du calcul différentiel & intégral ”

“ Cette complète exactitude donne même lieu souvent à des difficultés spéciales, en ce que, dans notre système de géométrie analytique, les simples déplacemens des lignes se fesant aussi bien ressentir dans les équations que les variations réelles de grandeur ou de forme, on pourrait être exposé à confondre analytiquement les uns avec les autres, si les géomètres n'avaient pas découvert une méthode ingénieuse expressément destinée à les distinguer constamment. ”

“ On voit aisément que cette convention s’accorde avec celle qui la précédait et qui déterminait déjà l’ordre successif des points sur une droite.
Les déplacements des segments et des angles se feront suivant les méthodes connues de la Géométrie analytique. Une transformation de la forme
permet d’effectuer la translation des segments et des angles. ”

“ On voit donc que la géométrie l'emporte, pour la solution d'un tel problème , sur l'ancilyse, puisque la géométrie descriptive peut le résoudre, quelles que soient les courbes CAet Cu, et que l'analyse est encore imparfaite, à ce point que nous concevons que pour certaines fonctions Z et cp l'élimination ne pourrait s'effectuer dans l'état actuel de nos connaissances algébriques.
Sans doute nous comprenons que la langue analytique ira toujours en se perfectionnant et qu'elle est susceptible d'un perfectionnement indéfini. ”

“ Soit cet angle égal à 90 degrés, auquel cas on a
équation obtenue (65) .
Nous ne considérons pas le cas où les axes sont obliques, parce que les résultats n'en sont pas assez simples.
69. SCOLIE GÉNÉRAL. — Les différentes questions que nous venons de résoudre se reproduiront presque à chaque instant dans tout le cours de la GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. En réfléchissant sur les résultats auxquels on a
été conduit par leur résolution, on doit sentir la nécessite d éviter, autant que possible, le système des axes obliques, pour que les calculs soient plus simples. ”

“ L'artifice consiste à décomposer le nombre soumis au radical en la somme algébrique de plusieurs carrés; ce qui est toujours possible.
12. Nous sommes actuellement en état de construire toute expression algébrique rationnelle ou irrationnelle du second degré, provenant de la mise en équation d'un problème de Géométrie, chacune des lignes qui font partie de l'énoncé ayant été représentée par une lettre. ”

“ On doit remarquer cependant que, si l'équation (1) , outre-les variables x, y, z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces différentes que l'on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l'assemblage d'une infinité de surfaces ou de couches infiniment minces, qui formeraient alors, à proprement parler, un solide. ”

“ Ce qui précède suffira pour bien faire comprendre comment nous avons entendu qu'il était possible de créer de nouvelles doctrines dans la Mécanique rationnelle, en substituant dans les théories actuelles, pour ce qui concerne le mouvement général d'un corps, les mouvements de rotation aux mouvements rectilignes, et, pour ce qui concerne
les corps eux-mêmes, considérés comme parties de l'étendue, les plans aux points, comme on peut le faire dans la Géométrie pure et dans la Géométrie analytique1. ”

“ Soit, pour cinquième exemple, y - — 4 xy ■+- À X'l + 9, Y — 7 x — 1 = 0, A = 1, B = - 4) C = 4, D = 2, E = - 7, F. — 1, B2 — 4AC = 16 - 16 = o, PARABOLE.
Il y a lieu ici d'appliquer les formules du n° 167.
ce qui donne, pour première transformée,
Pour construire les deux nouveaux axes, prenez sur AX une distance AC égale à i (fig. 89) ; élevez au point C une perpendiculaire CD égale à — 11 puis tracez la droite DAB ; vous avez ainsi
Divisez l'angle BAX en deux parties égales, et vous obtenez les axes AX', AY' pour second système de coordonnées. ”

“ L'Analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle le cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul ”

“ Les découvertes les plus étonnantes de cet art furent sans doute le parallélisme des verticales, c’est-à-dire les perpendiculaires et l’angle droit. Je veux expliquer seulement par là en quel sens la géométrie est une des sciences naturelles. Ce qui est géométrique, c’est la ligne sans corps, c’est-à-dire droite, qui à la fin ne compte plus que deux points et les joint hardiment comme on fait un pas ; cela veut dire que la géométrie fut d’abord ce qu’indique son nom, c’est-à-dire une mesure de la terre. ”

“ En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ N'oublions pas que, si l'Analyse a acquis des moyens d'investigation qui lui faisaient défaut autrefois, elle les doit en grande partie aux conceptions introduites par les Géomètres. Il ne faut pas que la Géométrie demeure en quelque sorte ensevelie dans son triomphe. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE La géométrie est un inventaire des formes, en vue de déterminer des relations de distance et de grandeur entre les objets de l’expérience. Sa loi est de compliquer progressivement les formes en partant des plus simples ; son succès est tel qu’il n’est point de problème géométrique qui ne se puisse résoudre par des triangles égaux ou semblables, le triangle étant la plus simple des figures terminées, comme la droite est la plus simple des lignes, et qu’il n’est point de courbe qui ne s’inscrive toute sur trois axes rectilignes. ”

“ Pour ce qui concerne les définitions, on n'est actuellement pas beauçoup plus avancé qu'on ne l'était il y a deux mille ans ; par contre, quant aux postulats et aux axiomes, nous possédons maintenant des systèmes qui donnent entière satisfaction. Mais comment peut-on trouver satisfaction dans un système de postulats et d'axiomes qui traitent de choses que l'on ne peut pas convenablement définir ? C'est ce que nous allons expliquer.
La géométrie est un édifice logique dont les matériaux sont le point, la droite et le plan. ”

“ La recherche qui suit est un nouvel essai dont le but est d’établir la Géométrie sur un système simple et complet d’axiomes indépendants et de déduire de ceux-ci les principaux théorèmes géométriques, de telle sorte que le rôle des divers groupes d’axiomes et la portée des conclusions que l’on tire des axiomes individuels soient mis en pleine lumière autant qu’il est possible. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Géométrie pratique. — La géométrie pratique applique les préceptes de la première, en les exécutant de la main, au moyen des instruments connus pour mesurer tout ce qui peut être mesuré, ou est ce qu'on appelle commensurable ; elle s'étend et est utile à toute profession où l'on se sert de mesure. ”

“ Peut-on voir une rectitude géométrique dans un raisonnement poussé à, l'extrême à travers le monde des idées? Non sans doute, car on n'est pas géomètre par cela seul qu'on tire une ligne droite à travers l'espace. La géométrie, comme son nom l'indique, sert à mesurer la terre; elle la mesure par la loi du triangle, dont l'angle est le principe, et l'angle suppose deux lignes qui se joignent et se servent mutuellement de point de départ. ”

“ Il ne faut point perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux constructions en relief par des constructions planes, substitution qui constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie descriptive. ”

“ Aux démonstrations par l'absurde, il substitua, presque partout, des démonstrations directes qui ont bien plus de prise sur l'esprit. Mais ce qui distingue surtout sa géométrie, c'est le plan même de l'ouvrage et la correspondance aussi parfaite que possible, établie pour la première fois, au grand profit de l'enseignement, entre la géométrie plane et la géométrie de l'espace. ”

“ La ligne droite, les angles, les perpendiculaires et les obliques.
LA géométrie a pour objet de mesurer les étendues et d'en évaluer les rapports.
Une étendue peut être prise en trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur.
Tous les corps que renferme la nature, et tous ceux que l'industrie façonne, présentent ces trois dimensions.
Tout espace, soit vide, soit occupé par un corps, possède aussi ces trois dimensions.
La surface d'un corps se compose de tous les points qui séparent la portion de l'espace occupée par ce corps, et le reste de l'espace. ”