Walter William Rouse Ball

“ Il semble qu'aujourd'hui on se rallie à une méthode mixte dont l'origine se trouve dans les travaux de Ribaucour, sous le nom de périmorphie. On conserve les axes rectangulaires de la Géométrie analytique, mais en les rendant mobiles et en les rattachant de la manière qui paraît la plus commode au système que l'on veut étudier. Ainsi disparaissent la plupart des objections que l'on a adressées à la méthode des coordonnées. On réunit les avantages de ce que l'on appelle quelquefois la Géométrie intrinsèque à ceux
qui résultent de l'emploi de l'analyse régulière. ”

“ Le calcul des fluxions et le calcul infinitésimal, tel que nous le connaissons, sont identiques à part les notations.
Newton admettait que toutes les grandeurs géométriques peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement continu : ainsi une ligne peut être envisagée comme engendrée par le mouvement d'un point, une surface par celui d'une ligne, un solide par celui d'une surface, un angle plan par la rotation d'une ligne, et ainsi de suite. Il définissait la quantité ainsi engendrée « la fluente» ou « la quantité fluente ». ”

“ Notre exposition de l'histoire des mathématiques et des autres sciences dans ce siècle, ne serait certainement pas complète, si nous ne faisions allusion aux applications des mathématiques aux nombreux problèmes concernant la chaleur, l'élasticité, la lumière, l'électricité, et tant d'autres sujets se rattachant à la physique. L'histoire de la physique mathématique est d'ailleurs si vaste que nous ne pourrions prétendre l'exposer, lors même qu'elle serait de nature à figurer dans une histoire des mathématiques. ”

“ De cette simple donnée, de certains travaux aussi de Chaslcs et de Jonquières sur la géométrie projective, Cremona sut tirer sa remarquable Introduction à la théorie géométrique des courbes planes où figurent non seulement les résultats alors acquis, mais encore nombre de faits nouveaux et intéressants. Il y est question du rapport anharmonique, de l'involution, de la génération des courbes planes, de la détermination des courbes, des polaires, des Steinériennes, des Hessiennes, des formules de Plûcker, des courbes du troisième ordre. ”

“ La matière, difficile et nouvelle, était traitée de main de maître, Lagrange en a dit : « Le traité de dynamique de d'Alembert, mit fin à ces espèces de défis (que se posaient les mathématiciens du temps sur diverses questions de mécanique) en offrant une méthode directe et générale pour résoudre ou du moins pour mettre en équations tous les problèmes de dynamique qu'on peut imaginer. Cette méthode réduit les lois du mouvement des corps à celle de leur équilibre et ramène ainsi la dynamique à la statique. » ”

“ La théorie des fonctions elliptiques de Legendre, trop négligée par les géomètres français, est développée et agrandie par Abel et Jacobi. Avec ces grands géomètres, bientôt suivis de Riemann et de Weierstrass, la théorie des fonctions abéliennes que, plus tard, l'Algèbre essaiera de suivre avec ses seules ressources, vient apporter à la Géométrie des courbes et des surfaces une contribution dont l'importance ne cessera de grandir. ”

“ Parmi les découvertes de moindre importance que fit Laplace en
mathématiques pures, nous pouvons rappeler sa discussion (en même temps que Vandermonde, en 1772) , de la théorie générale des déterminants ; sa démonstration de ce théorème que : toute équation de degré pair doit avoir au moins un facteur réel du second degré, sa méthode pour ramener l'intégration des équations différentielles linéaires au calcul d'intégrales définies, sa méthode pour l'intégration de l'équation différentielle linéaire du second ordre. ”

“ Entre autres théorèmes nouveaux sur divers points de l'algèbre et de la théorie des équations, Newton y énonce les résultats importants suivants. Il explique que l'équation dont les racines sont les solutions d'un problème donné doit avoir autant de racines qu'il y a de cas possibles différents; et il fait voir comment l'équation à laquelle un problème conduit peut avoir des racines ne satisfaisant pas à la question initiale. ”

“ En algèbre, il s'occupe particulièrement de développer en séries diverses fonctions et de sommer des séries données ; il montre explicitement qu'une série infinie ne peut être sûrement employée si elle n'est convergente. Dans sa Trigonométrie, inspirée en grande partie de l'ouvrage de Mayer, Arithmetic of lines, qui avait été publié en 1727, Euler développe cette idée de Jean Bernoulli que la trigonométrie est une branche de l'analyse et non un simple appendice à l'astronomie ou à la géométrie. ”

“ On admirera toujours les belles théories qu'il nous a laissées sur les surfaces homofocales du second degré, où toutes les propriétés connues et d'autres nouvelles, aussi variées qu'élégantes, dérivent de ce principe général qu'elles sont inscrites dans une même développable circonscrite au cercle de l'infini. Mais Chasles n'a introduit les imaginaires que par leurs fonctions symétriques et n'aurait pu, par conséquent, définir le rapport anharmonique de quatre éléments lorsque ceux-ci cessent d'être réels en tout ou en partie. ”

“ Une belle découverte dont nous parlerons plus loin a déjà rattaché la géométrie des sphères à celle des lignes droites et permis d'introduire la notion des coordonnées d'une sphère. La théorie des systèmes de cercles est déjà commencée ; elle se développera sans doute quand on voudra étudier la représentation, que nous devons à Laguerre, d'un point imaginaire dans l'espace par un cercle orienté. ”

“ Côtes, élève de Newton, employa le premier le mot malheureux d'« actio in distans » dans la préface de la deuxième édition des
Principes (Cf. infra) que Newton ne lut point avant son impression ; dès lors, l'action à distance, bien qu'inexplicable, fut admise par les physiciens comme une réalité, jusqu'au jour où Faraday, revenant à l'idée propre de Newton, montra, qu'en vertu de l'impossibilité d'admettre qu'un corps puisse produire une force dans un endroit où il ne se trouve pas, la loi de la gravitation devait être regardée comme purement descriptive. ”

“ Une autre notion très importante est celle des sous-groupes dits invariants, contenus dans le groupe primitif. Un groupe est composé ou simple, selon qu'il renferme ou non un sous-groupe invariant. Galois tire de ces principes des résultats très remarquables, qui sont actuellement la base de la théorie des équations et qui furent complétés dans la suite par Betti, Kronecker, Serret et surtout par M. Jordan, qui s'est attaché à l'étude des groupes composés, des groupes transitifs, des groupes primitifs et a considérablement étendu à leur aide le champ de la théorie des substitutions. ”

“ Des voies nouvelles s'ouvraient pour les sciences expérimentales et préparaient l'étonnant développement qu'elles ont reçu au cours du siècle qui vient de finir. Ampère, Poisson, Fourier et Cauchy luimême, le créateur de la théorie des imaginaires, se préoccupaient avant tout d'étudier l'application des méthodes analytiques à la Mécanique, à la Physique moléculaire et semblaient croire qu'en dehors de ce nouveau domaine, qu'ils avaient hâte de parcourir, les cadres de la Théorie et de la Science étaient définitivement fixés. ”

“ Fourier laissa un travail inachevé sur les équations, qui fut repris par Navier et publié en 1831 ; il contient beaucoup de questions originales et on y trouve, en particulier, un théorème important sur les racines d'une équation algébrique. Lagrange avait montré comment les racines d'une équation algébrique pouvaient être séparées à l'aide d'une équation ayant pour racines les carrés des différences des racines de l'équation primitive. Budan,
en 1807 et 1811, avait énoncé le théorème généralement connu sous le nom de Fourier, mais sa démonstration n'était pas absolument satisfaisante. ”

“ Dans la science graphique, on a établi des règles pour résoudre les divers problèmes au moyen d'épures : les procédés utilisés sont étudiés dans la géométrie projective et le sujet est étroitement lié à la géométrie moderne. Cette façon d'aborder les questions, mise en œuvre déjà par Newton (1) , a été jusqu'ici appliquée principalement à des problèmes concernant la mécanique, l'élasticité et l'électricité. ”

“ En fait, nous pouvons dire que les mathématiciens mirent plus d'un demi-siècle avant de s'assimiler complètement les découvertes que le génie de Newton avait produites dans un espace de vingt ans.
En géométrie pure, Newton ne créa pas de nouvelles méthodes, mais aucun écrivain moderne n'a montré la même habileté en utilisant celles de la géométrie classique. En algèbre et dans la Théorie des équations, il introduisit l'usage des indices littéraux, établit le théorème du binôme et apporta une contribution importante à la théorie des équations ”

“ Il sut comprendre cependant que la théorie des grandeurs discontinues, ou arithmétique supérieure, était tout autre que celle des grandeurs continues, ou algèbre, et il introduisit une nouvelle notation et de nouvelles méthodes d'analyse, dont les auteurs qui le suivirent ont généralement fait usage. La théorie des nombres peut se diviser en deux parties principales, à savoir : la théorie des congruences et la théorie des formes. L'une et l'autre
furent étudiées par Gauss. ”

“ Leibnitz, dans sa réponse datée du 21 juin 1677, explique sa méthode pour tracer les tangentes aux courbes; elle procède, dit-il, « non par les fluxions des lignes mais par les différences des nombres », et il introduit sa notation dx et dy pour les différences infinitésimales entre les coordonnées de deux points consécutifs sur une courbe. Il présente aussi une solution du problème consistant à trouver une courbe dont la sous-tangente est constante, ce qui montre qu'il pouvait intégrer. ”

“ Nous ne reviendrons pas ici sur l'historique détaillé que nous avons présenté dans nos Leçons sur la théorie des surfaces; mais il convient de rappeler les recherches fondamentales de Bonnet qui nous ont donné, en particulier, la notion des surfaces associées à une surface donnée, les formules de Weierstrass qui établissent un lien étroit entre les surfaces minima et les fonctions d'une variable complexe, les recherches de Lie par lesquelles il a été établi que les formules mêmes de Monge peuvent
aujourd'hui servir de base à une étude fructueuse des surfaces minima. ”

“ Descartes pour donner les limites du nombre des racines imaginaires. Il se sert du principe de la continuité pour expliquer comment deux racines réelles et inégales peuvent devenir imaginaires, en passant par l'égalité, et donne des exemples empruntés à la géométrie ; il montre ainsi que les racines imaginaires doivent se présenter par couples, Newton donne aussi des règles pour trouver une limite supérieure des racines positives d'une équation numérique, et pour déterminer les valeurs approchées des racines numériques. ”

“ On peut résumer l'œuvre d'Euler en disant : qu'en analyse il créa beaucoup, qu'il reprit l'étude de presque tontes les branches des mathématiques pures alors connues, les complètant dans leurs détails, et dans leurs démonstrations, les disposant sous une forme bien ordonnée. Un pareil travail est très important et c'est une bonne fortune pour la science qu'un homme du talent d'Euler le mène à bonne fin. ”

“ De plus, si une quelconque de ces surfaces est déformée sans déchirure ni duplicature, la mesure de sa courbure demeure constante. Ainsi, ces trois sortes de surfaces représentent trois types distincts sur lesquels on peut construire des figures congruentes. Par exemple, une surface plane peut être enroulée de façon à former un cône, ou un cylindre, et le système de géométrie correspondant à une surface conique, ou cylindrique, sera identique à celui correspondant à un plan. ”

“ Elle a permis à Lie, en particulier, d'indiquer tous les cas dans lesquels la méthode des caractéristiques de Monge est pleinement applicable aux équations du second ordre à deux variables indépendantes.
En continuant l'étude de ces transformations spéciales, Lie fut
conduit à construire progressivement sa magistrale théorie des groupes continus de transformations et à mettre en évidence le rôle si important que la notion de groupe joue en Géométrie. ”

“ C'est à cette occasion que Cremona, généralisant ses recherches de Géométrie plane, fit connaître non plus la totalité des transformations birationnelles de l'espace, mais quelques-unes des plus intéressantes parmi ces transformations. L'extension de la notion de genre aux surfaces algébriques est déjà commencée ; déjà aussi des travaux de haute valeur ont montré que la théorie des intégrales simples ou multiples de différentielles algébriques trouvera, dans l'étude des surfaces comme dans celle des courbes, un champ étendu d'applications importantes ”

“ La solution d'un problème relatif à la représentation de deux surfaces l'une sur l'autre a beaucoup accru l'intérêt des découvertes de Jacobi et de Liouville relatives à une classe particulière de surfaces dont on sait déterminer les lignes géodésiques. Les résultats qui concernent ce cas particulier ont conduit à l'examen d'une question nouvelle : rechercher tous les problèmes de calcul des variations dont la solution est fournie par les courbes satisfaisant à une équation différentielle donnée. ”

“ Des travaux sensationnels tendent depuis quelques années à faire revivre la théorie de l'émission.
Il semble bien avéré que tout corps, quel qu'il soit, est formé d'atomes, chargés d'électricité positive, et de corpuscules, chargés d'électricité négative, circulant autour des atomes. Les atomes ainsi définis ont été appelés ions et les corpuscules électrons.
La masse de l'électron parait être extrêmement faible ; elle ne dépasserait pas 10-27 gramme; ses dimensions, 10-13 ou 10-14 centimètre, font qu'il est au centimètre ce que le centimètre est à 10 fois la distance de la Terre au Soleil. ”

“ C'est le dernier des grands mathématiciens ayant eu des connaissances presque universelles : depuis cette époque, la littérature scientifique a pris un tel développement que les mathématiciens ont été forcés de se spécialiser et de s'attacher particulièrement à une branche ou à quelques branches particulières. Nous allons maintenant étudier brièvement les plus importantes découvertes que fit Gauss en mathématiques pures.
Son ouvrage le plus célèbre dans ce genre est les Disquisiliones Arithmeticæ, qui a été le point de départ de plusieurs études importantes sur la théorie des nombres. ”

“ Nous ne saurions trop insister cependant sur la théorie des groupes, fondamentale aujourd'hui, car les groupes sont à la base de l'algèbre toute entière, théorie, des formes, des invariants, etc., et de l'analyse. ”

“ Ils ne purent cependant déduire de la loi la forme de l'orbite des planètes. Halley expliqua que leurs recherches se trouvaient arrêtées par leur impuissance à résoudre ce problème, et il demanda à Newton s'il lui serait possible de trouver ce que pourrait être l'orbite d'une planète, si la loi de l'attraction était celle de l'inverse du carré. Newton répondit immédiatement que c'était une ellipse et promit de publier la démonstration qu'il avait trouvée en 1679. ”

“ Minding et Bour ont étudié la déformation générale des surfaces.
La théorie des lignes de courbure et des lignes asymptotiques a fait de grands progrès. Dupin, Bertrand, Hamilton, Kunimer, Ribaucour ont attaché leurs noms aux congruences, Cayley, Lamé aux systèmes triples orthogonaux, Jacobi et Ossian Bonnet aux lignes géodésiques, qui sont, sur les surfaces, les plus courts chemins d'un point à un autre.
Sophie Lie se place au premier rang des mathématiciens qui ont cultivé cette branche de la Géométrie. ”

“ Après Abel, Jacobi et Weierstrass, on appelle aujourd'hui fonctions elliptiques les fonctions à deux périodes d'une seule variable ; leur théorie est aussi achevée que celle des fonctions circulaires. Leurs applications sont des plus nombreuses : en analyse pour les équations de M. Picard, dont la plus simple, intégrée par Hermite, est une équation célèbre que Lamé avait rencontrée dans ses recherches de physique mathématique ; en mécanique rationnelle aussi *. ”