Gaston Darboux

“ Un de ses continuateurs, M. de Pontécoulant, en reprenant dans son Exposition du Système du monde, l’analyse de Lagrange, avait précisé beaucoup trop et déclaré nettement que l’ellipsoïde doit être nécessairement de révolution. Cette affirmation trop tranchante éveilla l’attention de l’illustre Jacobi. Celui-ci, qui était animé de l’esprit de contradiction si utile aux chercheurs, voulut étudier l’hypothèse écartée et constata, à son grand étonnement, que l’ellipsoïde à trois axes inégaux pouvait donner une solution du problème étudié. ”

“ On peut se demander comment, dans une vie relativement si courte, il a pu écrire plus de 30 Volumes et près de 500 Mémoires, répandus dans les Recueils du monde entier. Je ne connais que Berthelot dont la production soit comparable à la sienne. J’ai vécu à côté et dans l’intimité de ces deux grands hommes. Ce qui m’a le plus frappé, c’est la prodigieuse activité de leur esprit, la rapidité de leurs conceptions. J’ai vu Poincaré à la Sorbonne, au Bureau des Longitudes, à l’Académie. Partout, quand on lui demandait derésoudre une difficulté, sa réponse partait avec la rapidité de la flèche. ”

“ Jamais ce rôle de conseiller et de critique n’a pu être plus utile qu’en ce moment où la Physique expérimentale traverse une crise profonde dans laquelle viennent sombrer les principes qui paraissaient le mieux établis. Nous sommes loin des atomes insécables d’Épicure et de Lucrèce ; et nos théories modernes n’ont rien trouvé de mieux que de faire de l’atome un univers semblable à celui qui a été décrit par Newton [15] . Dans cette période de transition, gardons —nous d’être trop exigeants. ”

“ Il nous parle successivement de Sully Prudhomme, de Gréard, de Curie, de Brouardel, de Laguerre, de Cornu, d’Hermite, d’Halphen, de Tisserand, de Joseph Bertrand, de Berthelot, de Faye, de Potier, de Weierstrass, de Lord Kelvin, de Loewy, des Polytechniciens du XIXe siècle. Son style laisse transparaître les idées avec une netteté parfaite, rien n’y sent l’emphase, ni la littérature d’imitation. C’est à la réflexion seulement qu’on reconnaît la parfaite concordance de la forme avec le fond, qui seul préoccupe l’écrivain. ”

“ Je supposerai enfin qu’un objet transporté d’un point à un autre dont la température est différente se met immédiatement en équilibre calorifique avec son nouveau milieu.
Rien, dans ces hypothèses, n’est contradictoire ou inimaginable. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit à mesure qu’on se rapprochera de la sphère limite.
Observons d’abord que, si ce monde est limité au point de vue de notre géométrie habituelle, il paraîtra infini à ses habitants. ”

“ Pourquoi d’ailleurs insister sur cette distinction entre la Physique mathématique et les Mathématiques pures ? Les plus grands succès des mathématiciens dans leur domaine propre ne sont-ils pas dus à leur étude des problèmes que leur propose l’expérience ? Il convient de rappeler ici les paroles d’un de mes illustres prédécesseurs :
L’étude approfondie de la nature, a dit Joseph Fourier, est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. ”

“ Lagrange, Laplace, Poisson avaient envisagé ce problème en purs mathématiciens : ils supposaient que les astres fussent réduits à des points, se déplaçant dans un milieu vide de toute matière. Poincaré, qui comprenait mieux que personne l’intérêt philosophique de cette belle recherche, s’en est occupé toute sa vie ; mais il a reconnu que, pour résoudre le problème de la stabilité, tel que l’univers nous le présente, il faut se placer au point de vue du physicien et tenir compte de bien des éléments qu’avaient négligés les géomètres. ”

“ Son besoin de savoir est impérieux, et lorsqu’il ne peut parvenir à une connaissance certaine par la méthode scientifique, il s’élance en quelque sorte vers la vérité, il essaye de la deviner, il imagine des hypothèses plus ou moins plausibles pour pénétrer dans le domaine qu’il ne peut conquérir par des procédés réguliers. C’est ce qui explique le succès qu’ont toujours obtenu auprès de la foule les conjectures sur la manière dont l’Univers a été formé. ”

“ Les cours de nos Universités, embrassent toute la science, celle qui est faite et celle qui se fait. Poincaré, comme d’autres professeurs que je pourrais citer, ne négligeait certes pas les travaux déjà publiés qui se rapportaient aux sujets de ses leçons. Mais ses cours étaient originaux et contenaient toujours une bonne part de ses découvertes personnelles. Et celles de ces découvertes qui ne pouvaient entrer dans son enseignement de Physique mathématique, il les a exposées dans des Mémoires originaux qui ne le cèdent en rien à ses plus beaux écrits de Mathématiques pures. ”

“ Parmi les hypothèses sans nombre qui ont été successivement présentées, il faut placer au premier rang celle que Laplace a fait connaître, dès 1796, dans l’Exposition du Système du Monde. Poincaré en discute tous les points avec une pénétration et une précision admirables, en s’aidant des résultats qu’il a obtenus dans la théorie des figures d’équilibre et dans celle des marées. Malgré quelques difficultés, l'hypothèse de Laplace demeure victorieuse ; elle s'imposerait même, dans ses grandes lignes tout au moins, si notre système solaire constituait à lui seul tout l'Univers. ”

“ Poincaré ne considère, il est vrai, que les solutions réelles d’un système quelconque d’équations différentielles algébriques à coefficients réels ; mais il démontre que, dans ce cas, les solutions réelles peuvent se définir de la manière la plus complète par des séries toujours convergentes, ordonnées suivant les puissances d’une variable auxiliaire, que l’on peut même choisir d’une infinité de manières. Cette proposition, qu’il a appliquée lui-même au problème des trois corps, me paraît dominer toutes les recherches que l’on a entreprises depuis sur ce célèbre problème [10] . ”

“ Poincaré, en parlant de l’œuvre géniale de Maxwell, y avait émis quelques appréciations qui se trouvaient en contradiction complète avec les idées les plus enracinées, si j’ose dire, de Bertrand. Abordant la grande question des explications mécaniques de l'Univers, il affirmait, en s'appuyant sur des considérations qui, je l'avoue, me paraissent bien fragiles, que, si un phénomène comporte une explication mécanique, il en admettra une infinité d'autres, rendant également bien compte de toutes les particularités relevées par l'expérience. ”

“ Mais aujourd'hui, grâce à l'Analyse spectrale, ce ne sont plus deux ou trois constantes, c'est toute une fonction définissant le spectre de l'étoile, que nous permet d'atteindre l'observation. À côté de l'Astronomie de position est venue se placer l'Astronomie physique, qui nous donne les renseignements les plus précieux sur la constitution chimique, la composition minéralogique des étoiles et des nébuleuses, sur les étoiles multiples, colorées et variables, sur leur déplacement dans le ciel, sur leurs mouvements en profondeur. ”

“ À partir de ce moment, le nom d’Henri Poincaré pénétra dans le grand public, qui s’accoutuma à regarder notre Confrère, non plus comme un géomètre de haute espérance, mais comme un grand savant dont la France avait le droit d’être fière. Toujours modeste cependant, Poincaré ne cessait de travailler, abordant dans sa chaire de Physique mathématique des sujets sans cesse renouvelés. Les étudiants de nos Facultés s’attachent de préférence aux professeurs dont les travaux font autorité. ”

“ Henri Poincaré, disait notre confrère Paul Painlevé, était vraiment le cerveau vivant des Sciences rationnelles. Mathématiques, Astronomie, Physique, Cosmogonie, Géodésie, il a tout embrassé, tout pénétré, tout approfondi. Inventeur incomparable, il ne s’est pas borné à suivre ses aspirations, à ouvrir des voies inattendues, à découvrir dans l’univers abstrait des mathématiques mainte terre inconnue. ”

“ Nul ne pouvait prévoir les vides nombreux que la mort allait faire dans la Section de Géométrie. Pour le faire arriver plus vite, pour lui ménager une place dans la Section d’Astronomie, on lui signalait les applications que les théories par lui découvertes pouvaient avoir en Mécanique céleste. Il suivait docilement ces indications, s’occupait du problème des trois corps, des figures des corps célestes, et trouvait tout naturel de laisser passer devant lui tous ses anciens. ”

“ Je n’oserais affirmer qu’ils ont été pleinement compris de tous ; pour saisir la pensée de leur auteur, une forte culture scientifique est nécessaire, qui manque à plus d’un ; mais l’autorité joue encore quelque rôle dans ce monde, et c’est avec un sentiment de déférence bien naturel qu’on discutait les idées et qu’on accueillait les théories d’un si grand savant. ”

“ En s’y associant, le Gouvernement est l’interprète de la nation tout entière, douloureusement atteinte. Car si les travaux du mathématicien ne sont accessibles qu’à un petit nombre, tous savaient qu’Henri Poincaré représentait ce que le génie de la France a de plus pur, de plus désintéressé, de meilleur. ”

“ Le troisième, par exemple, réclamait un développement des résultats fondamentaux que nous avons rappelés plus haut et que la théorie des équations différentielles devait à Briot et Bouquet, et nous avons déjà signalé tout ce que Poincaré avait déjà fait dans cette voie ; quant au quatrième, c’était l’étude d’un point particulier de cette belle théorie des fonctions fuchsiennes qu’il avait lui-même introduite dans la Science. Ces deux derniers sujets avaient donc de quoi le tenter : il choisit le premier, le plus difficile sans doute, mais aussi, mais surtout, le plus séduisant. ”

“ Le physicien, dont je viens de parler, était pourtant un excellent esprit qui, dans tous ses travaux, a fait l’usage le plus habile des méthodes géométriques. Il comprenait mieux que personne l’utilité qu’il y a pour l’expérimentateur à avoir auprès de lui un mathématicien, un conseiller discret, pour l’aider à interpréter ses expériences et à démêler les résultats, souvent très complexes, qu’elles fournissent. ”

“ Nous sommes au début seulement de ces études si attrayantes, et déjà les résultats obtenus ont suscité des hypothèses cosmogoniques, présentées par une foule de savants : Helmholtz, Lord Kelvin, Sir Norman Lockyer, Schuster, Arrhénius, Kapteyn, Sée, Schiaparelli. Toute conclusion serait prématurée, et Poincaré n'en donne aucune ; mais il fallait un savant tel que lui pour suivre, avec autant de pénétration, ces discussions qui exigent la réunion des connaissances du géomètre, du physicien et même du géologue. ”

“ Si on le rapproche de celui qu’il publia l’année suivante dans les Acta mathematica (Sur la méthode de Neumann et le principe de Dirichlet) , on doit reconnaître que ces beaux travaux ont préparé la mémorable découverte de M. Fredholm, relative aux équations intégrales, en démontrant l’avantage qu’il y a à introduire un paramètre λ par rapport auquel la solution peut s’exprimer par une fonction méromorphe, en mettant en évidence le rôle des fonctions dites fondamentales, en permettant pour la première fois le calcul complet de la hauteur des différents sons émis par une membrane. ”

“ Puisque nous employons en Géométrie des éléments qui, bien que suggérés par l'expérience, sont des créations de notre esprit, qui pourra nous assurer que nous ne sommes pas égarés et que le développement logique de nos conceptions ne finira pas par nous conduire à des résultats contradictoires. Toute difficulté à cet égard me paraît levée par le mémorable travail que M. Hilbert a consacré à l'ensemble de nos axiomes géométriques [25] . ”

“ Poincaré.
Il y a, dans cette lettre, une phrase sur laquelle on s’est appuyé pour dire que, depuis quelque temps, il avait les plus tristes pressentiments. Je ne saurais partager cette opinion ou, du moins, je la crois fort exagérée. Il est naturel que tout homme, atteint d’une maladie chronique, songe plus souvent qu’un autre à la fin inévitable. Mais aucun de nous n’a remarqué que notre Confrère fût réellement affecté. ”

“ Parmi toutes les découvertes de Poincaré, celles qui se rapportent à cette belle question sont peut-être les plus populaires. Elles l'ont conduit, en effet, à des résultats précis, définitifs, bien propres à exciter l'admiration de tous ceux, et ils sont nombreux, qui s'intéressent à l'Astronomie.
Le problème était posé depuis Newton. On est conduit à en chercher la solution lorsqu'on veut déterminer la forme des planètes, en admettant, comme on peut le supposer, qu'elles aient été fluides primitivement. ”

“ Il avait la gaîté et l’expansion d’un enfant, mais il raisonnait comme un homme.
En 1867, ayant visité l’Exposition universelle et acquis quelques notions sur la politique, il eut l’idée de fonder, dans le grand jardin d’Arrancy où il passait ses vacances en compagnie de sa sœur et d’un cousin de son âge, un triple gouvernement, une sorte de fédération qu’il appela la Trinasie. ”

“ Vous avez à Nancy, me dit-il, un élève de Mathématiques spéciales extraordinaire. C’est moi qui ai corrigé les compositions du Concours général de Mathématiques ; eh bien ! lors même que Poincaré eût fait des fautes de calcul, qu’il n’eût point achevé sa copie, je l’aurais placé encore premier hors ligne, au-dessus des élèves de Paris, rien que pour la façon dont il avait posé la question. ”

“ Je lui veux peindre, non seulement l’univers visible, mais l’immensité qu’on peut concevoir de la nature, dans l’enceinte de ce raccourci d’atome. Qu’il y voie une infinité d’univers, dont chacun a son firmament, ses planètes, sa terre, en la même proportion que le monde visible ”

“ C’est une branche très difficile de la science mathématique, où l’on étudie les relations qui subsistent dans une figure lorsqu’on la déforme d’une manière quelconque sans lui imposer ni déchirure ni duplicature. On sait le magnifique usage que Riemann a fait de l’Analysis situs dans ses travaux sur les fonctions algébriques. ”

“ Poincaré, qui y avait été conduit par ses études sur l’intégration qualitative des équations différentielles, lui portait, si j’ose dire, une affection particulière ; elle joue d’ailleurs un grand rôle dans ses études philosophiques, comme dans un grand nombre de ses travaux mathématiques.
À ces recherches déjà si nombreuses, notre Confrère trouvait moyen d’en ajouter d’autres encore ; à partir de 1890, il s’attacha aussi à reprendre et à développer les découvertes de Mécanique céleste qui lui avaient valu de si éclatants succès. ”

“ Sans aller peut-être aussi loin que Poincaré, qui considérait les hypothèses comme des outils et admettait volontiers des théories contradictoires, ne renouvelons pas l’erreur qu’ont commise quelques-uns de nos grands chimistes, en rejetant, sous prétexte qu’elle contenait des lacunes, cette théorie atomique qui a transformé la Chimie moderne. ”

“ Le milieu dans lequel le jeune Henri allait se développer était de ceux qui se rencontrent bien rarement. Le père, Léon Poincaré, qui exerça toute sa vie la médecine dans sa ville natale et y devint professeur à la Faculté de Médecine, était un esprit très original, dont notre Académie appréciait beaucoup et accueillait volontiers les travaux ; on se souvient à Nancy, avec reconnaissance, du dévouement et du désintéressement avec lequel il exerçait sa profession. ”