Vito Volterra

“ Il y a dans la vie scientifique moderne, telle que je viens de la présenter, de grands avantages. Le travail est devenu presque collectif. Les énergies des savants se somment, le découvertes se pressent, l’émulation fouette les travailleurs. Leur nombre s’accroît de jour en jour. Mais combien d’inconvénients peut-on opposer à ces avantages ! Que de travail de détail est perdu ! Peut-être cette patience, qui pour Buffon était le génie même, est-elle devenue impossible dans le tumulte de l’heure présente ?
Poincaré fut un savant moderne dans toute l’acception du mot. ”

“ Il est parmi les savants comme un impressionniste parmi les artistes.
C’est peut-être à cause de tout cela qu’il est impossible de rapprocher Poincaré d’autres savants, même des savants des derniers temps. Il est trop moderne pour que toute comparaison soit possible.
Il est bien sûr qu’aucune théorie telle que la gravitation universelle ou l’électrodynamique, ne s’attache à son nom, comme à ceux de Newton, d’Ampère et de Maxwell. Parmi la foule des méthodes que chaque jour il a inventées et exploitées, y en a-t-il de comparables à celles qui ont rendu célèbres Archimède ou Lagrange ? ”

“ Il n’y a pas, écrit Poincaré, de logique et d’épistémologie indépendantes de la psychologie. Si donc nous voulons pénétrer à fond une notion telle que celle de l’espace, et comprendre les raisons des propriétés que le sens commun lui attribue, il nous faut recourir à l’introspection, analyser en détail nos sensations et chercher comment l’homme peut parvenir progressivement à former cette notion dans son esprit. Intéressante en elle-même, cette synthèse psychologique apportera d’ailleurs à la théorie de la science, telle que nous l’avons esquissée plus haut, un complément fort utile. ”

“ C’est par une élaboration progressive que la notion de continu tactile, par exemple, devient la notion géométrique de l’espace. C’est en vain que l’on chercherait à nier les origines roturières de la science.
Qu’on ne s’y trompe pas, cependant. En déclarant qu’il y a continuité entre les divers mode de connaissance, Poincaré n’entend pas abaisser la science. Il anoblit bien plutôt la connaissance vulgaire en la rapprochant du raisonnement mathématique ; car il n’y a selon lui qu’une seule manière de savoir, qui est la manière du savant. ”

“ Contentons-nous de dire que, sur la disposition des courbes intégrales d’une équation différentielle, l’influence de la forme qu’affecte, au sens de la géométrie de situation, la surface sur laquelle sont tracées ces courbes est capitale et absolue.
Lorsque, après l’étude de la sphère, Poincaré entreprend, au même point de vue, celle du tore, il constate que ce second cas peut offrir une foule de circonstances nouvelles que le premier ne permettait nullement de prévoir. Encore s’en faut-il qu’il arrive toujours à déterminer exactement ce qui se passe. ”

“ Il voit qu’elles sont fécondes et utiles, mais il a le sentiment qu’elles sont encore assez vagues et qu’un long travail d’analyse lui est nécessaire pour les développer, avant que le public puisse les comprendre et les apprécier à leur juste valeur. S’il songe alors que la mort peut tout à coup rendre au néant tout ce monde de hautes pensées et que peut-être des siècles s’écouleront avant qu’un autre génie le découvre, on comprend qu’il éprouve soudain un attachement passionné à la vie et qu’à la joie de son travail se mêle désormais la crainte de l’interrompre à jamais. ”

“ Comme il est bien connu, les principes sur lesquels est bâtie la théorie des fonctions elliptiques, sont au nombre de trois : le théorème d’addition, le principe de l’inversion et celui de la double périodicité. Tout le monde a appris dans les éléments de la trigonométrie que l’on peut calculer par des formules algébriques très simples le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, si l’on connaît le sinus et le cosinus de ces arcs. Sous sa forme définitive, le théorème d’addition des fonctions elliptiques est tout à fait pareil à celui que nous venons de rappeler. ”

“ Henri Poincaré a montré comment, dans tous ses domaines, le but de la science est la constitution d’un semblable langage permettant d’exprimer avec précision et généralité les rapports de plus en plus complexes que l’expérience nous révèle. Nous construisons les hypothèses et les principes comme on choisit les mots et les règles, d’une langue, nous les adaptons progressivement ou les modifions s’il est nécessaire pour donner à l’expression plus de rapidité et de précision à la fois, pour lui permettre de rendre des idées nouvelles ou de nouveaux aspects de la réalité. ”

“ La théorie des fonctions a été la conquête la plus importante faite par l’analyse dans le siècle passé. Je n’ai pas hésité, en 1900, au Congrès des mathématiciens de Paris, à appeler le XIXe siècle, le siècle de la théorie des fonctions. Une idée intuitive, telle que l’idée de fonction, que tout le monde possède et qui est liée à la conception élémentaire de quantités qui varient suivant des lois constantes, peu à peu s’est développée et a envahi tout le domaine des mathématiques. ”

“ La loi du courant de déplacement a pour conséquence nécessaire celle du courant de convection : un corps électrisé en mouvement doit produire autour de lui un champ magnétique d’intensité proportionnelle à sa charge et à sa vitesse. Rowland avait vérifié cette conséquence en montrant qu’un disque électrisé tournant autour d’un axe perpendiculaire à son plan en son centre crée autour de lui, comme le veut la théorie, le même champ magnétique qu’un courant de conduction transportant à travers chaque section du disque la même quantité d’électricité que le mouvement de rotation. ”

“ L’arbre de sa pensée, ramifié à l’infini, est solidement attaché au sol par des racines profondes. Rien ne donne mieux une idée de cette puissante et robuste organisation que la lecture des articles nombreux qu’il a consacrés à la discussion des théories électromagnétiques, depuis celles que je viens de rappeler jusqu’aux plus récentes de Hertz, Larmor et Lorentz. Il atteint sans peine aucune, à travers le réseau complexe et touffu des formules, la signification physique, l’affirmation concrète, l’expérience possible. ”

“ L’œuvre critique dont nous venons de retracer les grandes lignes aurait suffi peut-être à un penseur qui n’eût été qu’un mathématicien professionnel. Mais la curiosité d’Henri Poincaré ne s’arrêtait pas aux limites de la science exacte. Il regardait au delà. Au lieu d’accepter les définitions et les axiomes, à la manière de Hilbert, comme des décrets arbitraires dont on ne cherche pas à pénétrer le sens, il voulait en connaître les origines lointaines — prélogiques, pourrait-on dire — et la genèse psychologique. ”

“ Henri Poincaré entreprend donc de décrire à son tour cette genèse, et il aboutit à la conclusion que nous aurions pu facilement prévoir : « l’esprit a la faculté de créer des symboles, et c’est ainsi qu’il a construit le continu mathématique qui n’est qu’un système de symboles. Sa puissance n’est limitée que par la nécessité d’éviter toute contradiction ; mais l’esprit n’en use que si l’expérience lui en fournit une raison ». ”

“ Le psychologue doit se contenter de donner un nom à cette vision instantanée de l’esprit qui se manifeste dans l’invention : il l’appelle « intuition ». Cependant le mot « intuition » est ambigu. Henri Poincaré lui-même ne l’a pas toujours employé dans le même sens. L’intuition dont il parlait naguère était le plus souvent une intuition des sens, ou tout au moins de l’imagination, intuition qui ne peut nous donner ni la rigueur, ni même la certitude [21] . Klein est un intuitif parce qu’il s’aide du geste pour penser ; il voit, il cherche à peindre. ”

“ C’est, nous l’avons vu, l’étude des axiomes géométriques qui, de bonne heure, avait amené Poincaré à repousser la théorie kantienne de l’espace. L’espace n’est pas une forme a priori de notre sensibilité : Poincaré s’en était convaincu avant même d’avoir trouvé une explication satisfaisante de ce fait singulier, fort embarrassant pour les adversaires de Kant, que l’espace possède trois dimensions. D’autre part, Poincaré pensait avoir prouvé contre Russell que les propriétés de l’espace ne peuvent pas être déduites analytiquement de notre croyance à la possibilité de l’expérience. ”

“ Quand on a en vue cette étude, tout s’éclaire par l’introduction des variables imaginaires, tout n’est qu’obscurité si on les laisse de côté.
Mais dès que (comme il arrive dans le cas général) on cesse d’obtenir, dans cette voie, la solution complète, celle qui dispenserait de toute autre, Poincaré établit une distinction fondamentale. Dans la solution de tout problème mathématique, dès que cette solution n’est pas immédiate, il met en évidence deux grandes étapes, l’une que l’on peut appeler qualitative, l’autre quantitative. ”

“ Un travail si intense et si absorbant produit facilement dans un organisme débile et maladif un surmenage dangereux. Est-ce ce surmenage qui a amené fatalement Poincaré au tombeau ?
Le travail scientifique calme et serein est bien souvent un repos pour l’esprit. Le plaisir des résultats nouveaux qu’on découvre tout à coup, comme un beau paysage au tournant d’une route de montagne, repose de la fatigue de la recherche. La difficulté d’approfondir une question est bien souvent largement compensée par des solutions qui jaillissent au moment même où l’on y pense le moins. ”

“ Le mystère de la gravitation a beaucoup préoccupé les meilleurs esprits et, parmi les hypothèses proposées pour l’éclaircir, une des plus remarquables est celle de Lesage. Il imagine l’espace empli de corpuscules se mouvant en tous sens avec d’énormes vitesses. Leurs chocs sur un corps isolé se compensent par raison de symétrie, mais si deux corps sont voisins, chacun d’eux protège l’autre contre les chocs venant du côté où il se trouve lui-même et, ceux qui viennent de l’autre côté n’étant plus compensés, les deux corps semblent s’attirer en raison inverse du carré de la distance. ”

“ Je pense que même un esprit aussi richement doué que Poincaré et qui possédait toutes les virtuosités du savant et du littérateur, devait éprouver une lassitude, souvent une vraie fatigue, devant la masse de labeur qui se succédait sans relâche et sans trêve pendant des années, et qui devenait de jour en jour plus pressant et plus intense. Mais c’est la vie moderne qui le réclamait, et un homme célèbre tel que Poincaré, populaire parmi les mathématiciens, les physiciens et les philosophes, ne pouvait s’y soustraire. ”

“ Pour nombre rentre elles, les choses se passent purement et simplement comme dans les courbes de niveau : toutes les courbes intégrales sont fermées. Tous les autres exemples où les calculs peuvent être menés jusqu’au bout rentrent dans deux ou trois catégories où il semble — si l’on veut me permettre ce langage très fantaisiste — que la nature ait peu varié ses effets.
Elle n’a pas, en réalité, l’imagination aussi pauvre. C’est ce que l’on reconnaît dès l’exemple des lignes de pente. ”

“ Mais lorsqu’on étudie les mouvements de milieux continus (autres que des solides indéformables) , la décomposition en phénomènes élémentaires doit se faire à la fois dans le temps et dans l’espace [4] grâce au fait que chaque molécule est directement influencée par les molécules voisines. Les équations, dites « aux dérivées partielles », auxquelles on est conduit dans ces nouvelles conditions, sont d’un ordre de difficulté encore supérieur aux premières.
Non seulement la Physique, mais la Mécanique céleste elle-même posent des problèmes de cette sorte. ”

“ L’œuvre de Poincaré m’apparaît comme un chêne puissant que les bras d’un seul homme ne sauraient entourer ; en se tenant les mains, il faut être plusieurs pour en faire le tour et lever haut les yeux pour en voir le sommet. Puisée au plus profond de notre sol par les racines de cette subconscience dont il analysa lui-même si finement la structure, son intelligence souveraine est la sève subtile et forte à la fois qui monte, par des branches dont nul ne pourrait dire quelle est la plus robuste, vers les rameaux entrecroisés où se jouent librement tous les vents de l’esprit. ”

“ Poincaré a toujours soutenu — bien que, sur ce point, il n’ait pas tout de suite développé sa pensée, — que les conventions adoptées par les savants leur sont suggérées du dehors. Ne venons-nous pas de dire qu’à nous, qui vivons sur la terre et non dans le monde fictif de Poincaré, la géométrie euclidienne s’impose au point de vue pratique parce qu’étant données les conditions de notre globe, elle est incontestablement celle qui nous permet d’expliquer et de prévoir les phénomènes avec le moins d’effort. ”

“ Il cherche la vérité sans idée préconçue, en faisant soigneusement table rase de tout ce qu’il a pu lire ou entendre, en évitant même de communiquer ses pensées à autrui tant qu’elles ne sont pas définitivement formées. Comme s’il craignait de se laisser influencer et de contrarier le travail d’analyse qui s’accomplit au dedans de lui et, pour ainsi dire, indépendamment de lui, Poincaré médite seul et presque dans le secret. ”

“ Ces faits sont aujourd’hui connus de tous. Henri Poincaré les discuta à plusieurs reprises et, en particulier, dans deux séries de conférences professées à Saint-Louis en 1904 puis à Göttingen en 1909. Il se complut à tirer des hypothèses proposées pour les expliquer toutes les conséquences qu’elles comportent. Avec la théorie d’Abraham, le principe de relativité est battu en brèche. Avec la théorie de Lorentz, c’est la notion même de masse qui s’évanouit. De toute façon, les principes sont assaillis de tous les côtés et certains d’entre eux sont d’ores et déjà condamnés. ”

“ L’erreur des panlogiciens provient de ce qu’ils ne veulent raisonner que sur la science déjà faite. Or, la science la plus instructive pour le philosophe, c’est la science qui se fait ; si nous voulons connaître les caractères les plus profonds de la pensée mathématique, c’est au moment de l’invention qu’il faut la saisir.
Poincaré ne s’était guère préoccupé du problème de l’invention darce ses premiers écrits, et nous comprenons facilement pourquoi. Il voulait faire de la critique objective, il voulait rester placé sur le terrain des faits scientifiques. ”

“ L’idée féconde dont Poincaré a fait usage est celle des équilibres de bifurcation. Considérons un système dont l’état dépend d’un certain paramètre. Si l’on a par exemple une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, ce paramètre sera la vitesse angulaire de rotation. Supposons que plusieurs états différents d’équilibre du système correspondent à une même valeur du paramètre. Changeons cette valeur. Les configurations ou les figures d’équilibre changent. Il peut arriver qu’en s’approchant d’une certaine limite, deux figures d’équilibre viennent se confondre entre elles. ”

“ La théorie cinétique des gaz avait apporté les premiers exemples d’application des raisonnements de probabilité à un système complexe dans lequel les actions élémentaires telles que les chocs entre molécules sont régies par les lois de la dynamique. On n’arriva que progressivement à réaliser cette application avec quelque rigueur, à mêler intimement deux disciplines aussi profondément différentes, les lois rigides de la mécanique rationnelle avec les notions en apparence toujours un peu flottantes des probabilités. ”