Courbe de niveau

“ Dans les courbes d’accroissement comme dans toutes celles qui représentent des mouvements de rapidité variables, on estime à chaque instant la vitesse de la croissance d’après l’inclinaison de la tangente au point de la courbe que l’on considère. ”

“ Les plus remarquables des courbes planes sont les courbes du second degré (pl. 5) , ainsi nommées, parce que toutes leurs propriétés peuvent être exprimées par une équation du second degré. Les courbes du second degré sont au nombre de trois, savoir : l'ellipse (fig. 1.6) , la parabole (fig. 7, 8 et 9) , et l'hyperbole (fig. 10, 11 et 12) .
83. Ellipse. L'ellipse est une courbe telle que la somme des distance.ç de chacun de ses points à deux points fixes pris dans son plan, et que l'on nomme FOYERS, est une quantité constante. ”

“ Si l'on ver se de l'eau au point d' attouchement d'une surface horisontale d'un corps auquel l'eau ne
s'attache pas facilement, elle semettra de niveau, c'est à dire que lors qu'elle fera calme & arrestée tous les points pris en sa surface superieure feront également distants du centre de la terre, hormis vers ses extremitez où elle prendra une figure courbe fort convexe, comme si la ligne mixte ABCD , est la fection d'un plan & d'une surface d'eau estenduë sur une surface plane horisontale ”

“ A ce point de vue. l'analyse des courbes présente de grandes difficultés, mais, si l'on parvient à les résoudre, elle doit être préférée à toute autre, parce qu'elle a le double avantage de la régularité de la marche et de la généralité dans les résultats.
Les formules que l'on obtient instruisent le géomètre sur les propriétés de la courbe en elle-même et sur l'influence de la surface qui la contient, et la théorie des courbes planes n'est plus qu'un cas particulier de la théorie des courbes tracées sur une surface quelconque. ”

“ Déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui jouissent de cette propriété, savoir : que toutes celles de leurs cordes dont la direction passe par un certain point de leur plan sont d’une longueur donnée et constante ?
Construction. Soit, le point donné, et la longueur constante de toutes les cordes dont la direction passe par ce point. Soit tracé à volonté une courbe continue ou discontinue que nous désignerons par ; soit mené par le point, une suite de droites coupant en une suite de points ”

“ La courbe qu'on appelle anse de panier, qui est d'un usage très-fréquent en architecture, n'est pas, à proprement parler, une courbe particulière, c'est un composé d'arcs de cercle raccordés les uns aux autres, au moyen desquels on imite à peu près une ellipse. ”

“ Combinant cette équation avec celle du globe, savoir : on pourra en tirer celles des trois projections de la courbe demandée, faites sur les trois plans principaux, et dont la forme, très-compliquée, nous annoncera d’abord une courbe à double courbure. ”

“ Caustique, s. f. dans la Géométrie transcendante, est le nom que l’on donne à la courbe que touchent les rayons réflechis ou réfractés par quelqu’autre courbe. Voyez Courbe. Si une infinité de rayons de lumiere infiniment proches tombent sur toute l’étendue d’une surface courbe, & que ces rayons soient supposés réfléchis ou rompus suivant les lois de la réflexion & de la réfraction, la suite des points de concours des rayons réflechis ou rompus infiniment proches, formera un polygone d’une infinité de côtés ou une courbe qu’on appelle caustique ”

“ Savoir, à chaque partie de la surface courbe enfermée dans des limites déterminées, nous assignons une courbure totale ou entière, qui est exprimée par l’aire de la figure qui lui correspond sur la surface sphérique. ”

“ I. La caustique par réflexion pour une courbe plane quelconque, et pour un point rayonnant, situé d’une manière quelconque dans le plan de cette courbe, est la développée de l’enveloppe de tous les cercles qui, ayant leurs centres sur la courbe réfléchissante, passent par le point rayonnant. ”

“ Le signe positif ou négatif, que nous avons assigné à la mesure de la courbure pour la position d’une figure infiniment petite, nous l’étendons aussi à la courbure totale d’une figure finie sur la surface courbe. Si cependant nous voulons embrasser cette matière dans toute sa généralité, il est besoin de quelques éclaircissements, que nous ne ferons que toucher ici en passant. Quand la figure sur la surface courbe est de telle nature qu’à chacun des points dans son intérieur répond sur la surface de la sphère un point différent, la définition n’a pas besoin d’explication ultérieure. ”

“ On montre très facilement, d’une façon expérimentale, qu’une courbe quelconque est graphiquement déterminée quand on connaît la distance de plusieurs de ses points à deux axes fixes, perpendiculaires l’un à l’autre. ”

“ Si nous construisons maintenant la courbe en regardant et comme des constantes et et comme les coordonnées d’un point dans un plan, la courbe différera peu de et pourra encore être représentée par la fig. ”

“ Dans ces différentes questions, on déduit du principe de la courbure inclinée des formules simples relatives à la tangente, au rayon de courbure, à la rectification et à la quadrature de la courbe, ainsi que des constructions faciles des éléments dont il s'agit. La plupart de ces formules sont nouvelles. ”

“ Si la surface courbe est coupée par un plan normal, et passant par l’axe des coordonnées le rayon de courbure de la section au point sera égal à le signe positif ou négatif indiquant que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers la région où les coordonnées sont positives. ”

“ Si l'on considère une courbe tracée sur une surface développable, et la transformée de cette courbe dans le développement de la surface sur un plan, le rapport des rayons de courbure des deux courbes, en deux points correspondants, est égal au cosinus de l'angle que le plan osculateur de la première fait avec le plan tangent à la surface (3) . ”

“ Une courbe est plane, lorsque tous ses points sont dans un même plan; dans le cas contraire, on dit que la courbe est gauchi ou à double courbure.
5. On dit qu'une ligne courbe est convexe, lorsqu'elle
ne peut être coupée par une droite en plus de deux points. ”

“ Considérons maintenant une courbe quelconque ; menons une conique tangente en M à cette courbe et passant par les points A et B ; cette conique a même axe d’aberration, et par conséquent même aberration de courbure en M que la courbe proposée ; or, A et B sont des points indéfiniment voisins du point M et à la limite se confondent avec lui. ”

“ La courbe élastique, considérée dans le sens le plus général, est la figure que prend l'axe longitudinal d'une barre primitivement droite sous l'action d'un système quelconque de forces fléchissantes. Dans tous les exemples de la courbure, de l'inclinaison et de la flèche des poutres, exposés au n° 300 et dans les numéros suivants, nous avons déterminé la courbe élastique avec une approximation bien suffisante pour la pratique, lorsque la flèche était une petite fraction de la longueur. ”

“ Nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe du second degré. — Cas où l'on donne le centré ou un système d'axes ou de diamètres conjugués; moyen assez simple de construire la courbe dans ces derniers cas. 347 324.326. Cas où l'on donne un foyer. — Propriété remarquable du foyer et de la directrice. — Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant un foyer et trois points, ou une parabole, connaissant lUi foyer et deux points 351 327. La connaissance d'un sommet de la courbe équivaut à deux conditions. ”

“ Les formules relatives à la surface , à sa courbure propre, à sa courbe sphérique, à l'angle de deux normales infiniment voisines , etc., revêtent aussi un caractère de simplicité lorsqu'on y introduit les courbures inclinées des lignes coordonnées : nous exposons ces différentes expressions, qui jouent un certain rôle dans nos transformations. ”

“ Tout l'objet du nivellement consiste à connaître de combien un lieu est plus élevé qu'un autre, et sa théorie est fondée sur la connaissance de la ligne de niveau vrai et de la ligne de niveau apparent. ”

“ Voulez-vous donc savoir si une courbe a un centre ? L’équation étant ordonnée par rapport à x & à y, imaginez que l’origine soit transportée dans ce centre, ensorte que l’on ait ; & déterminez a & b à être telles, qu’il ne reste plus dans la transformée que des dimensions paires, ou des dimensions impaires sans terme constant ; si la courbe a un centre possible, vous trouverez pour a & b des valeurs réelles. ”

“ Pendant qu’une surface plane terminée par une courbe donnée, tourne sur un plan, autour de l’un quelconque de ses points, avec une vitesse donnée quelconque, constante ou variable, le point décrit, dans le même plan, une circonférence d’un rayon donné, ayant pour centre un autre point de ce plan, avec une vitesse constante ou variable, également donnée et quelconque ; on demande quelle est la courbe à laquelle, dans ce mouvement, la courbe est continuellement tangente ? ”

“ La courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est étudiée au moyen d'un système quelconque de coordonnées. Sa composante normale ne dépend dans ce cas le plus général que des composantes normales de la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. ”

“ Si nous construisons la courbe
Fig. 11.
cette courbe sera symétrique par rapport à l’axe des ; elle coupe cet axe au point , et présente ensuite des ordonnées maxima et minima qui vont en décroissant à mesure que devient plus grand (fig. 11) . ”

“ Courbe rampante, c’est le limon d’un escalier de bois à vis, bien dégauchi selon sa cherche rampante.
Courbe, terme d’Architecture. Ligne courbe. Curva. Il y a en Architecture deux espèces de courbes, les unes planes, les autres à double courbure. Les courbes planes, sont celles qu’on peut exactement tracer sur un plan, lesquelles se réduisent pour l’usage de la coupe des pierres aux sections coniques & aux spirales. Les courbes à double courbure sont celles qu’on ne peut tracer sur une surface plane qu’en raccourci, par le moyen de la projection ”

“ Au contraire, la courbe tracée par l'artiste, si belle et si harmonieuse qu'elle nous paraisse, aura d'invisibles tares, des reprises de trait, des changements un peu trop brusques de direction ou tout au moins de courbure tels que si on étudiait la courbe par le calcul, au bout de deux ou trois dérivations, une cassure apparaîtrait. De là résulte la supériorité écrasante, en tant que régularité, des courbes mathématiques sur les autres. ”

“ Le volume du corps terminé par une surface parallèle à une courbe à double courbure et par deux plans normaux à cette courbe, est égal à la surface de l’une des sections normales multipliée par la longueur de la portion de la courbe comprise entre les deux mêmes plans. ”

“ On donne le nom de courbe méridienne a la courbe génératrice ABCK ; elle a sa symétrique en c~~, et l'ensemble de ces deux courbes représente la section faite dans le corps de révolution par un plan vertical parallèle au tableau et passant par l'axe MN. On appelle plan méridien tout plan qui passe ainsi par l'axe. Il y en a, comme on voit, une infiuité, et ce n'est que pour celui qui est en même temps parallèle au tableau que la courbe méridienne a, dans la perspective, sa véritable forme; c'est pourquoi on se la donne dans ce plan. ”

“ Au théorème de l’article précédent, nous associons un autre théorème, que nous énonçons ainsi : Si, sur une surface courbe, on conçoit une ligne quelconque, de chacun des points de laquelle partent, sous des angles droits et vers la même région, une quantité innombrable de lignes de plus courte distance de même longueur, la courbe qui joindra leurs autres extrémités, les coupera toutes sous des angles droits. ”

“ PROBLÈME I. Déterminer les intersections d’une droite donnée avec une section conique dont on connaît seulement les élémens, sans construire cette dernière.
Solution I.er Cas. La courbe est une Hyperbole. Nous supposerons l’hyperbole donnée par ses asymptotes et par son premier axe.
Soient et les deux asymptotes se coupant au centre de la courbe (fig. 1) ; et soit l’un de ses sommets ; de manière que soit la direction de son premier axe ou axe transverse. Soit de plus la droite donnée, dont il s’agit de déterminer les intersections avec la courbe, sans construire cette dernière. ”

“ Une courbe quelconque étant conçue comme enveloppée d’un fil dans toute son étendue, si l’on prend une des extrémités de ce fil, & qu’on l’étende en ligne droite en le déroulant, de manière que par son extrémité il soit toujours une tangente de la courbe, il décrira par son autre bout une autre courbe, par rapport à laquelle la première est appelée la développée. ”

“ J'ai donc démontré qu'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, a une infinité de développées , toutes à double courbure , à l'exception d'une seule pour chaque courbe plane, et j'ai donné la manière de trouver les équations de toutes ces développées , d'après celles de la développante, ce que je m'étois d'abord proposé dans ce Mémoire ; ainsi il n'y a point de courbe que l'on ne puisse engendrer par le développement d'une infinité d'autres. ”

“ Pour les autres suites j'en ai aisement trouvé la raison. Au reste cette equation exprime dans un cas parliculier la courbe de descente que vous ayez proposée autrefois aux Cartesiens. Voici comment. On demande la courbe (fig. 42.) AD telle qu'un corps pesant en descendant par cette courbe s’eloigne egalement du point fixe A en temps egaux. ”

“ On appelle développante la courbe OPQX qui sert à développer la courbe 00'0"0", laquelle est développée de manière que m longueur soit partout égale au rayon de courbure 00', PO", QO",.XO ', de la courbe OPQX.
Les arts font un grand usage des développantes et particulièrement de la développante du cercle, fig. 5. Le méclianicien l'emploie pour tailler convenablement ses cames. ”

“ Imitons cette génération par le calcul, et cherchons, pour la courbe (1, 1′) quel est l’axe de courbure qui répond à l’origine ; le plan normal en ce point, au moyen des abréviations (26) , a pour son équation, comme nous l’avons déjà observé,
(30) Au moyen de ces mêmes abréviations, l’équation (13) du plan normal, en un autre point quelconque devient (Sect. I, §. 2) , sous les conditions (11, 11′) ,
Ces deux plans se coupent suivant une droite déterminée par le système de leurs équations, laquelle doit devenir l’axe de courbure à l’origine, lorsque les coordonnées deviennent nulles. ”