Gaspard Monge

“ INTÉGRATION d'une équation quelconque aux différences partielles du premier ordre à trois variables ne dépend que de celle d'une seule équation aux différences ordinaires à deux variables , et dans laquelle la différentielle d'une des variables est regardée comme constante. Le procédé consiste a rechercher d'abord les équations aux différences ordinaires de la caractéristique de la surface , et à intégrer ensuite ces équations ; ce qui divise naturellement l'objet dont nous nous occupons en deux parties distinctes. ”

“ L'APPLICATION de l'Analyse à la Géométrie se divise en deux parties ; l'une, algébrique , traite de la ligne droite , du plan et des surfaces du second degré ; l'autre, fondée sur le calcul des fonctions et de leurs dérivées , comprend la théorie des surfaces courbes et des courbes à double courbure. Aucun géomètre n'avoit encore , avant M. Monge , exposé cette théorie avec autant de clarté et de développement qu'il l'a fait pour l'instruction des Elèves de l'Ecole Polytechnique. ”

“ Lorsqu'une surface courbe n'a qu'une seule caractéristique, c'est-àdire , lorsque les fonctions arbitraires qui complètent son équation intégrale sont toutes composées d'une même quantité α , il est toujours possible de déterminer quelles doivent être les formes de toutes ces fonctions , parce que la surface passe par autant de courbes données arbitrairement dans l'espace, ou embrasse autant de surfaces courbes données. ”

“ Il est bien évident que la surface développable touchée par toutes les normales, ou sur laquelle roule le plan générateur , est la surface des centres d'une des courbures ; mais nous venons de voir qu'en considérant le plan générateur dans une position quelconque , toutes les normales à la surface qu'il contient sont tangentes à la développée plane de la génératrice : cette développée est donc sur la surface des centres de l'autre courbure ; surface qui est le lieu de toutes les développées qui conviennent aux positions différentes et successives du plan générateur. ”

“ Nous venons de voir que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles , est engendrée par le mouvement d'une courbe plane, dont le plan roule autour d'un cône qui a son sommet à l'origine : ainsi, deux caractéristiques consécutives sur la même surface, se coupent en un point; et le lieu de toutes ces intersections pour la série des caractéristiques d'une même surface, est une courbe , qui est l'arête de rebroussement de la surface. ”

“ Le mouvement d'une droite dans l'espace est déterminé lorsque cette droite est assujétie à s'appuyer perpétuellement contre trois courbes à double courbure données. En effet, si l'on prend sur la première de ces courbes un point arbitraire , la droite qui passe par ce point, et qui s'appuie contre les deux autres courbes , est entièrement déterminée de position ; car il est évident que cette droite doit être l'intersection des deux surfaces coniques dont le sommet commun est au point arbitraire , et qui passent , l'une par la seconde courbe donnée , l'autre par la troisième. ”

“ Lorsque le sommet du cône est un point lumineux, la courbe de contact dont nous venons de trouver les équations, est celle qui , sur la surface donnée , sépare la partie éclairée de la partie obscure. ”

“ Si l'on conçoit une droite menée par le centre d'un cercle perpendiculairement à son plan , et prolongée de part et d'autre à l'infini, tout le monde sait que chacun des points de cette droite sera à égales distances de tous les points de la circonférence ”

“ J'ai donc démontré qu'une courbe quelconque, plane ou à double courbure, a une infinité de développées , toutes à double courbure , à l'exception d'une seule pour chaque courbe plane, et j'ai donné la manière de trouver les équations de toutes ces développées , d'après celles de la développante, ce que je m'étois d'abord proposé dans ce Mémoire ; ainsi il n'y a point de courbe que l'on ne puisse engendrer par le développement d'une infinité d'autres. ”

“ Donc la caractéristique jouit de la double propriété d'être l'intersection de deux enveloppées consécutives inscrites dans la même enveloppe , et d'être l'intersection de deux enveloppes consécutives circonscrites à une même enveloppée.
Il est facile de vérifier ce résultat sur toutes les surfaces dont nous avons étudié les générations, nous allons le faire sur celles de révolution prises pour exemple.
Une surface de révolution est l'enveloppe d'une suite de sphères dont les centres sont sur raxe, et dont les rayons sont variables suivant une certaine loi. ”

“ La surface doit être regardée comme enveloppe; il faut donc employer l'équation d'une enveloppée. Mais, les sept autres équations de l'article XIII sont celles d'autant d'enveloppées différentes au moyen desquelles on peut, à volonté, en former une infinité d'autres ; et de toutes ces enveloppées, celle à laquelle appartient l'équation io (X-f-pZ) dq — (Y-qZ) dp = 0,.
est l'enveloppée développable dont la génération est simple et la considération facile; c'est donc celle que nous allons employer. ”

“ Quelle que soit la courbe qui sert d'axe, l'angle que le plan tangent de la surface fait avec le plan horisontal pour un point de contact pris à une certaine hauteur , doit donc être égal à celui que fait avec le même plan horisontal le plan tangent à une des sphères enveloppées, pour un point de contact pris à la même hauteur. ”