Surface courbe

“ Une courbe est plane lorsque tous les points sont situés dans un même plan. Une courbe plane peut être engendrée par un point qui se meut dans un plan, suivant certaines conditions. Mais on peut encore obtenir une courbe plane en coupant une surface courbe quelconque par un plan. ”

“ Une surface courbe rigide et élastique, d’une forme connue et d’une épaisseur constante, ou cariant suivant une loi donnée, est invariablement fixée dans l’espace, par plusieurs de ses points, ou même par une ou plusieurs courbes continues tracées sur elle. On a appliqué des pressions constantes, données d’intensité et de direction, en divers autres points de cette surface, ou même suivant d’autres courbes continues tracées sur elle. On propose d’assigner la nouvelle courbure qu’affectera cette surface ? ”

“ I La nature d’une surface courbe est déterminée par une équation entre les coordonnées relatives à chacun de ses points. En vertu de cette équation chacune de ces trois variables peut être considérée comme une fonction des deux autres. La généralité est encore plus grande si l’on introduit en outre deux nouvelles variables et si l’on représente chacune des variables comme fonction de en sorte que, au moins en général, des valeurs déterminées de correspondent toujours à un point déterminé de la surface et réciproquement. ”

“ Une surface courbe est dite avoir une courbure continue en un point situé sur elle, si les directions de toutes les droites menées du point à tous les points de la surface infiniment peu distants de , ne s’écartent qu’infiniment peu d’un seul et même plan passant par : ce plan est dit tangent à la surface au point . ”

“ Si par un point d'une surface courbe on construit un plan normal, et que l'on fasse tourner ce plan autour de la normale, il coupera la surface suivant une ligne dont la courbure variera pour chaque position. On démontre par le calcul que celle de ces courbes qui, vers le point donné, a le plus petit rayon de courbure, est toujours perpendiculaire à celle qui a le plus grand rayon. ”

“ Au théorème de l’article précédent, nous associons un autre théorème, que nous énonçons ainsi : Si, sur une surface courbe, on conçoit une ligne quelconque, de chacun des points de laquelle partent, sous des angles droits et vers la même région, une quantité innombrable de lignes de plus courte distance de même longueur, la courbe qui joindra leurs autres extrémités, les coupera toutes sous des angles droits. ”

“ PLAN. — La sur face plane ou le plan est une surface infinie sur laquelle, prenant deux points à volonté et les joignant par une ligne droite, cette ligne est entièrement comprise dans la surface. Cette définition revient à dire qu'une ligne droite, barète d'une règle par exemple, peut s'appliquer exactement sur un plan dans tous les sens.
11. SURFACE COURBE. - La surface courbe est celle qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes, c'est-à-dire qu'une portion de plan quelque petite qu'elle soit, ne peut coïncider avec une portion de surface courbe. ”

“ Ainsi, les corps arrondis ou à superficies courbes, sont ceux sur lesquels on ne peut appliquer une règle ; telle qu'une boule ou forme appelée sphérique. Ou peut toujours appliquer la règle en tous sens sur un plan ou superficie plate.
Diversité des corps solides.
Corps rond. — Corps parfait de régularité qui se termine par une seule surface courbe rentrante sur elle-même. Un œuf ou sphéroïde est terminé aussi par une seule surface arrondie et allongée. Les procédés mécaniques de l'industrie produisent une infinité de corps à surfaces courbes. ”

“ Telle est la manière la plus générale dont puisse être conçue une surface développable; car, quoique nous n'ayons considéré qu'un corps terminé par un nombre fini de plans, on peut imaginer qu'ils soient multipliés autant qu'on le voudra, sans que la propriété que nous venons d'énoncer cesse d'avoir lieu ; et il en sera de ce passage comme de celui du contour des polygones à la circonférence du cercle : la multiplication indéfinie des faces des corps que nous considérons, conduira à une surface courbe à laquelle conviendront les résultats que nous venons de trouver. ”

“ Si l'on considère une courbe tracée sur une surface développable, et la transformée de cette courbe dans le développement de la surface sur un plan, le rapport des rayons de courbure des deux courbes, en deux points correspondants, est égal au cosinus de l'angle que le plan osculateur de la première fait avec le plan tangent à la surface (3) . ”

“ Une surface courbe dont l'équation est clonizée , étant liée d'une manière invariable à un axe de révolution , el tournant ensuite autour de cet axe , trouver l'équation de la surface qui touche et enveloppe la surface mobile dans toutes ses positions. ”

“ Les formules relatives à la surface , à sa courbure propre, à sa courbe sphérique, à l'angle de deux normales infiniment voisines , etc., revêtent aussi un caractère de simplicité lorsqu'on y introduit les courbures inclinées des lignes coordonnées : nous exposons ces différentes expressions, qui jouent un certain rôle dans nos transformations. ”

“ L'idée qu'on doit avoir du plan tangent à une surface courbe, emporte avec elle la condition que ce plan doit passer par toutes les tangentes qu'on peut mener à la surface proposée, par le point où il la touche. ”

“ Mais on remarquera que, si on admet que les courbes se touchent toutes comme cela doit être dans la nature, la ligne de plus grande pente, tracée ainsi, est en réalité une courbe continue lorsque la surface est elle-même continue. ”

“ Nous venons de voir que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences partielles , est engendrée par le mouvement d'une courbe plane, dont le plan roule autour d'un cône qui a son sommet à l'origine : ainsi, deux caractéristiques consécutives sur la même surface, se coupent en un point; et le lieu de toutes ces intersections pour la série des caractéristiques d'une même surface, est une courbe , qui est l'arête de rebroussement de la surface. ”

“ Toute courbe tracée sur la surface d'une sphère , a pour lieu de ses développées la surface d'un cône dont le sommet est au centre de la sphère , et dont la base dépend de la nature de la courbe; car tous les plans perpendiculaires aux élémens de la courbe le sont aussi à la surface sphérique, et passent par conséquent par le centre. ”

“ Nous observerons, en général, que l'intersection d'une surface courbe et d'un plan quelconque peut toujours se construire facilement, puisque, quel que soit le système des plans coupans, leurs rencontres avec le plan proposé seront toujours des lignes droites faciles à déterminer. ”

“ Les deux solutions trouvées dans l’article précédent se rapportent, évidemment, à des points opposés de la surface sphérique, ou à des directions opposées ; ce qui est dans la nature même des choses, puisque l’on peut mener une normale aux deux faces (plagæ) d’une surface courbe. Si l’on veut distinguer entre elles ces deux régions, contiguës à sa surface, et appeler l’une extérieure et l’autre intérieure, nous pourrons attribuer à l’une et à l’autre normale sa solution convenable, au moyen du théorème développé dans le no 7 de l’art. ”

“ Quelquefois, la surface est infinie dans ses deux dimensions, comme le plan en général et les cylindres et cônes qui ont pour directrices des courbes infinies; d'autres fois elle n'est infinie que dans un sens, comme le cylindre et le cône, lorsque leur directrice est une courbe fermée; enfin elle peut être finie en tous sens, comme la surface de la sphère.
156. En construisant un certain nombre de génératrices, et sur chacune d'elles les points suivant lesquels elle perce les plans de projection, on obtient les traces de la surface. ”

“ Courbe rampante, c’est le limon d’un escalier de bois à vis, bien dégauchi selon sa cherche rampante.
Courbe, terme d’Architecture. Ligne courbe. Curva. Il y a en Architecture deux espèces de courbes, les unes planes, les autres à double courbure. Les courbes planes, sont celles qu’on peut exactement tracer sur un plan, lesquelles se réduisent pour l’usage de la coupe des pierres aux sections coniques & aux spirales. Les courbes à double courbure sont celles qu’on ne peut tracer sur une surface plane qu’en raccourci, par le moyen de la projection ”

“ De la surface courbé qui enveloppe l'espace parcouru par une autre surface donnée, constante de flfjure;, et qui , sans tourner, se meut le long d'1lle courbe à double courbure entièrement arbitraire. ”

“ A ce point de vue. l'analyse des courbes présente de grandes difficultés, mais, si l'on parvient à les résoudre, elle doit être préférée à toute autre, parce qu'elle a le double avantage de la régularité de la marche et de la généralité dans les résultats.
Les formules que l'on obtient instruisent le géomètre sur les propriétés de la courbe en elle-même et sur l'influence de la surface qui la contient, et la théorie des courbes planes n'est plus qu'un cas particulier de la théorie des courbes tracées sur une surface quelconque. ”

“ Le volume du corps terminé par une surface parallèle à une courbe à double courbure et par deux plans normaux à cette courbe, est égal à la surface de l’une des sections normales multipliée par la longueur de la portion de la courbe comprise entre les deux mêmes plans. ”

“ Cette surface jouit de la propriété que, dans son développement sur un plan, la courbe devient une droite. Après avoir donné les propriétés qui rattachent cette surface à la surface osculatrice, à l'enveloppe des plans normaux, etc. l'auteur détermine l'angle sous lequel les génératrices de la surface rectifiante coupent la courbe, et donne deux formules dont l'une exprime que la tangente de cet angle est égale au rapport de la première flexion à la seconde ”

“ Si la surface de la terre était engendrée par la révolution d’une courbe régulière autour de son axe, il suffirait, pour déterminer les positions respectives des divers points qui y sont placés, de mesurer leurs distances aux deux intersections de cette surface par les plans de son équateur, et de l’un quelconque de ses méridiens. ”

“ La courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est étudiée au moyen d'un système quelconque de coordonnées. Sa composante normale ne dépend dans ce cas le plus général que des composantes normales de la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. ”

“ Si l'on conçoit qu'une ligne droite qui se meut dans l'espace, soit assujettie à passer constamment par un point donné, et à suivre le contour d'une courbe donnée de position sur un plan, elle formera une surface dont le cône n'est qu'un cas particulier, dans lequel la courbe prise pour diriger le mouvement de la ligne droite est un cercle. ”

“ La considération du triangle plan rectiligne, dont l.es côtés sont égaux à est d’une grande utilité ; les angles de ce triangle, que nous désignerons par différent des angles du triangle sur la surface courbe, savoir, de de quantités du second ordre, et il sera essentiel de développer avec soin ces différences. ”

“ On tracera ensuite la courbe X-2 sur la face supérieure de la pierre en relevant le panneau M sur la projection horizontale , les points de répère des courbes B-l et X-2 (fig. 5) détermineront les génératrices de la surface conique. ”

“ Les foyers, où passe une courbe C et une seule, pendant que les autres courbes se rapprochent asymptotiquement du point singulier à la façon des spirales; 4) Les cols foyers, par lesquels passe une courbe C et une seule, pendant qu'une infinité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, se rapprochent asymptotiquement du point singulier. J'ai étudié également le cas où les trois surfaces (5) ont une courbe commune qui devient alors une ligne singulière. ”