Courbe à double courbure

“ Ce sera le cercle osculateur de la courbe, dans l'étendue du petit élément compris entre les trois points. On appelle plan oseulateur de la courbe, le plan même du cercle oseulateur. Aucun autre ne pourrait, à partir de l'élément que l'on considère, s'approcher davantage de la courbe à double courbure. Par le moyen des plans et des cercles osculateurs, on pourra, dans les arts, avec une suite d'arcs de cercle qui se raccorderont tangentiellement, tracer par approximation et d'une
manière très-continue, toutes les espèces de courbes à double courbure. ”

“ Supposons que le plan de la courbe tourne d'un mouvement uniforme, qu'en même temps un point M, placé sur la courbe mobile, se meuve sur cette courbe comme si elle était immobile, et que le mouvement de ce point se fasse de manière que ses abscisses croissent uniformément. C'est-à-dire que le mouvement du point, estimé suivant l'axe de rotation, est proportionnel au mouvement de rotation. Le point M décrira ainsi, sur la surface de révolution, une certaine courbe à double courbure. ”

“ On sait que le lieu de toutes les tangentes à une courbe à double courbure est une surface développable dont cette courbe est l’arête de rebroussement.
La courbe étant donnée, la surface développable l’est aussi, et, si on l’étend sur un plan, son arête de rebroussement deviendra une courbe plane qui sera également donnée. ”

“ Ainsi, une courbe peut être à double courbure, parce qu'elle est tracée sur une surface courbe (fig. 2) , ou parce qu'elle provient de l'intersection de deux surfaces courbes (fig. 5) . Un corps ou solide C (fig. 6) sera à double courbure lorsque ses arêtes ne seront pas planes; ainsi, une pierre ou un morceau de bois peut toujours être déduit de l'un des trois solides élémentaires représentés sur la fig. 6. Le premier A est un parallélipipède rectangle dont on peut déduire toute espèce de pièce droite. ”

“ Les surfaces cylindriques, coniques et sphériques, sont la base essentielle de presque toutes les combinaisons de l'industrie; mais il est utile cependant de considérer les surfaces courbes sous un point de vue plus général. Quoique la courbure des surfaces puisse être variée d'une infinité de manières, on peut renfermer tous les cas particuliers dans une même définition, en disant que toute surface est engendrée par le mouvement d'une ligne, droite ou courbe, plane ou à double courbure, constante ou variable de forme, et qui se meut suivant des condi tions données. ”

“ Semblablement, on prendra les distances bb" = BB", nn" = HN", mm" = GM", ., aa" = AÀ", et la courbe a"m" n" b" sera la transformée de l'arc de tête sur le berceau, lequel était projeté suivant A"M"N"B". Il importe d'observer que cette courbe ail mil n" b" doit être tangente à la droite a"b" dans ses deux points extrêmes; car nous avons dit au n° 627 que la tangente au point B" de la ligne à double courbure projetée sur A"M"B" était verticale, et conséquemment elle formait un angle droit avec la génératrice BB" ”

“ Les arêtes de la pièce à double courbure qu'il s'agit d'exécuter, devront être obtenues en appliquant quatre fois le principe connu en géométrie descriptive pour déterminer la courbe d'intersection de deux cylindres.
674. On peut, si l'on veut, construire les quatre courbes à la fois ; ainsi, par exemple, on coupera les quatre cylindres par le plan P8 parallèle aux deux axes , et par conséquent au plan vertical de projection. Ce plan coupera chaque cylindre suivant deux génératrices , ce qui fera , par conséquent, huit droites désignées sur toutes les figures par le n° 3. ”

“ Concevons un plan assujetti à se mouvoir suivant une certaine loi, telle, par exemple, que d'être constamment perpendiculaire à une courbe à double
courbure donnée XZ; soient PMN une des positions de ce plan, P, M, Ni une seconde position consécutive à la première, et qui la rencontre suivant la ligne M,N,; soit encore P, M. N, une troisième position consécutive à la seconde, et dont la rencontre avec cette dernière soit M, N, ; enfin, soit Ps Ms Ns une quatrième position du plan dans laquelle il rencontre la troisième suivant la ligne Ms Ns ”

“ La courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est étudiée au moyen d'un système quelconque de coordonnées. Sa composante normale ne dépend dans ce cas le plus général que des composantes normales de la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. ”

“ SUPPOSONS qu'on chemine sur une courbe, en regardant toujours dans le sens de la tangente à cette courbe, pour le point où l'on se trouve. Il ne suffira pas d'avancer devant soi, il faudra tourner à chaque instant vers la partie rentrante de la ligne qu'on suit. La courbure de cette ligne est proportionnelle à la quantité dont on tourne ainsi, divisée par chaque petit espace qu'on parcourt. ”

“ Les surfaces réglées paraissent devoir offrir de grandes facilités, relatives du moins, dans l'étude des courbes à double courbure, à raison de leurs génératrices rectilignes , qui seront un élément aussi simple qu'on puisse le désirer, soit pour la description des courbes par points, soit dans le système de coordonnées dont on fera usage. ”

“ La courbe que parcourt chaque point de la spirale génératrice, est constamment perpendiculaire à cette spirale ; elle est donc une ligne de l'autre courbure ; mais le point décrivant ne change pas de distance au sommet du cône : donc, chaque ligne de la seconde courbure est sur la surface d'une sphère dont le centre est au sommet du cône , et dont le rayon , constant pour chacune d'elles en particulier, est variable de l'une à l'autre. ”

“ Il sera même facile de juger, par la situation de la courbe par rapport à la normale, si le contact du cercle osculateur avec la courbe est d’un ordre supérieur au second, et si la courbure en est maximum ou minimum. ”

“ Faisons voir maintenant pour quelle raison la courbe élastique approche si fort de se confondre avec l’hyperbole. Lorsqu’une règle est pliée sur deux points d’appui, le long desquels elle peut glisser pour se mettre en équilibre avec les poids qui la chargent, il faut que l’effort produit au point d’appui par la tendance au redressement de la pièce soit nul ou, ce qui revient au même, il faut qu’en ce point la courbure de la règle soit nulle, et par conséquent le rayon de courbure infini. ”

“ Le signe positif ou négatif, que nous avons assigné à la mesure de la courbure pour la position d’une figure infiniment petite, nous l’étendons aussi à la courbure totale d’une figure finie sur la surface courbe. Si cependant nous voulons embrasser cette matière dans toute sa généralité, il est besoin de quelques éclaircissements, que nous ne ferons que toucher ici en passant. Quand la figure sur la surface courbe est de telle nature qu’à chacun des points dans son intérieur répond sur la surface de la sphère un point différent, la définition n’a pas besoin d’explication ultérieure. ”

“ Dans ces différentes questions, on déduit du principe de la courbure inclinée des formules simples relatives à la tangente, au rayon de courbure, à la rectification et à la quadrature de la courbe, ainsi que des constructions faciles des éléments dont il s'agit. La plupart de ces formules sont nouvelles. ”

“ La courbe élastique, considérée dans le sens le plus général, est la figure que prend l'axe longitudinal d'une barre primitivement droite sous l'action d'un système quelconque de forces fléchissantes. Dans tous les exemples de la courbure, de l'inclinaison et de la flèche des poutres, exposés au n° 300 et dans les numéros suivants, nous avons déterminé la courbe élastique avec une approximation bien suffisante pour la pratique, lorsque la flèche était une petite fraction de la longueur. ”

“ Plus tard M. de la Gournerie a donné, dans son Traité de Géométrie descriptive (1) , l'expression suivante du rayon de courbure p d'une branche de la section d'une surface par son plan tangent, dans le cas général où la courbe a un simple contact avec les asymptotes de l'indicatrice :
R,, R2 sont les rayons de courbure principaux de la surface ”

“ En nous conformant à la premiere définition, il est clair que la courbure d’une courbe en un point quelconque est finie, si le rayon osculateur en ce point est fini ; que la courbure est nulle, si le rayon osculateur est infini ”

“ La courbure agit parce que la force centrifuge varie en raison du rayon de courbure, mais il y a des éléments d’une nature différente d’un point à l’autre et d’une crue à l’autre. Si nous imaginons une même courbure sur un point où la pente est très forte, et le sol très affouillable, il ne se produira pas les mêmes faits que sur un point où la pente est faible et le sol très résistant. Si la distribution des courbures est nécessaire pour faciliter le passage d’une courbe à l’autre, elle peut n’être pas suffisante. ”

“ Le problème de la moindre surface entre des limites données est évidemment identique avec celui où l’on demanderait quelle courbure doit affecter une toile parfaitement flexible et élastique, tendue par ses extrémités, sur des lignes fixes données, planes ou courbes, à simple ou à double courbure ; et l’on voit par là que ce problème peut être considéré comme n’appartenant pas moins à la mécanique qu’à la géométrie. ”

“ Ce que nous venons de dire de la tangente à une courbe plane, en l’un de ses points, s’applique littéralement à la recherche de son centre de courbure ; elle n’en a généralement qu’un seul en chaque point, et les procédés généraux, soit graphiques, soit analitiques, n’en doivent pas donner davantage. Il peut cependant arriver que plusieurs branches d’une même courbe se touchent au même point, auquel cas la courbe a, pour ce point, plusieurs centres de courbure ”

“ Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.
Soient et les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, le rayon vecteur de ce point et la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a
étant une constante. ”

“ Si l'on divise une ligne courbe en parties égales et que l'on trace des tangentes par tous les points de division, les déviations de chaque partie de la courbe , par rapport à la tangente correspondante, indiqueront ses divers degrés de courbure; en sorte que la courbure moyenne d'une certaine étendue de courbe sera exprimée, en divisant par sa longueur la quantité, dont elle se détourne de la ligne droite, menée tangentiellement à l'une de ses extrémités. Il résulte de ces considérations : i.° que la courbure d'une circonférence est la même en toutes ses parties ”

“ D'une manière générale, l'épaisseur en chaque point d'un corps est proportionnelle à la courbure de la surface en ce point : on mesure celle courbure par la somme des inverses des rayons des méridiens principaux (403) qui existent en ce point.
Si le corps s'allonge de plus en plus, l'électricité s'accumulera progressivement vers le sommet le plus courbe ; en particulier dans le cône, elle se réunirait entièrement au sommet. ”