Rayon de courbure

“ Plus tard M. de la Gournerie a donné, dans son Traité de Géométrie descriptive (1) , l'expression suivante du rayon de courbure p d'une branche de la section d'une surface par son plan tangent, dans le cas général où la courbe a un simple contact avec les asymptotes de l'indicatrice :
R,, R2 sont les rayons de courbure principaux de la surface ”

“ Il est aisé de voir que les surfaces dont la mesure de courbure est constante et positive peuvent toujours s’appliquer sur une sphère dont le rayon est égal à l’unité divisée par la racine carrée de la mesure de courbure ; mais, pour embrasser d’un coup d’œil la variété tout entière de ces surfaces, donnons à l’une d’elles la forme d’une sphère, et aux autres la forme de surfaces de révolution la touchant suivant l’équateur. ”

“ Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.
Soient et les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, le rayon vecteur de ce point et la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a
étant une constante. ”

“ La courbure agit parce que la force centrifuge varie en raison du rayon de courbure, mais il y a des éléments d’une nature différente d’un point à l’autre et d’une crue à l’autre. Si nous imaginons une même courbure sur un point où la pente est très forte, et le sol très affouillable, il ne se produira pas les mêmes faits que sur un point où la pente est faible et le sol très résistant. Si la distribution des courbures est nécessaire pour faciliter le passage d’une courbe à l’autre, elle peut n’être pas suffisante. ”

“ Trouver l'expression du rayon de courbure d'une courbe à double courbure quelconque.
SOLUTION. Dans tout ce qui précède , nous avons bien distingué les rayons de développées d'une courbe à double courbure de on rayon de courbure. Nous avons vu que dans chaque point une courb e
quelconque a une infinité de rayons de développées, parce quelle a une infinité de développées différentes ”

“ On se contente généralement - de donner 15 à 20 mètres de rayon aux niveaux les plus perfectionnés, destinés au nivellement. Si l'on dépassait beaucoup cette dimension la bulle deviendrait folle; il faudrait passer un temps considérable pour l'amener à stationner entre ses repères.
Détermination du rayon de courbure.
98. — La détermination du rayon de courbure pouvant présenter un certain intérêt nous allons indiquer la manière d'y procéder. S'il s'agit d'un niveau à bulle simple, à règle ou à pinnules, on fera usage de la formule précédente. ”

“ Dans le sens de sa base, il a pour rayon de courbure le rayon même de la sphère qu'il enveloppe; dans le sens de l'arête, la courbure du cône est nulle.
Les autres espèces de cylindres et de cônes, et généralement les surfaces développables n'ont pas de courbure dans le sens de leurs arêtes rectilignes, tandis qu'elles en ont une plus ou moins marquée dans le sens perpendiculaire.
On remarquera que, dans le cylindre et le cône, les sections faites suivant un rayon AO de la base, fig. 17 et 18, ont toujours leur centre de courbure en dedans de la surface. ”

“ Si par un point d'une surface courbe on construit un plan normal, et que l'on fasse tourner ce plan autour de la normale, il coupera la surface suivant une ligne dont la courbure variera pour chaque position. On démontre par le calcul que celle de ces courbes qui, vers le point donné, a le plus petit rayon de courbure, est toujours perpendiculaire à celle qui a le plus grand rayon. ”

“ Quand le rayon de courbure est nul, les deux courbes se rencontrent et se coupent à angle droit, ce qui est une conséquence de leur génération mutuelle. On trouve -
R = 0 - pour y" = o, ce qui correspond généralement, ainsi qu'on l'a vu,
aux points de rebroussement de première espèce de la développante.
Quant aux rebroussements de première espèce de la développée, ils correspondent d'ordinaire aux maxima et minima du rayon
de courbure de la développante, comme on peut le voir par la fig. ”

“ Dans la dernière génération , si l'on considère la suite des sphères de même rayon, dont les centres sont placés sur la même ligne de courbure de la surface développable , l'enveloppe simple de ces sphères sera la surface d'un tuyau circulaire de rayon constant, et dont l'axe curviligne sera la ligne de courbure elle-même. Cette surface sera touchée par la surface engendrée dans une courbe dont tous les points seront distans de la ligne de courbure , d'une quantité égale au rayon constant du tuyau ”

“ Elle continue ensuite de s'allonger dans la direction verticale, et si une cause quelconque vient à l'en écarter un instant, le géotropisme l'y ramène aussitôt par une courbure nouvelle. Comme la région de croissance intercalaire est beaucoup plus longue, la corbure géotropique est aussi beaucoup plus ouverte dans la tige que dans la racine. Elle n'est pourtant pas un are de cercle, puisque le rayon de courbure est différent aux divers pointe ; il atteint son minimum au maximum de croissance, et de là va en augmentant vers le haut et vers le bas. ”

“ Si toutes les lignes de courbure d'un système appartiennent à des sphères ayant leurs centres sur une même droite, et telles, que le produit de leur rayon par le cosinus de l'angle quelles forment avec la surface soitconstant ou proportionnel à la distance de leur centre à un point fixe situé sur la droite, les lignes de courbure de l'autre système sont dans des plans parallèles à la droite, ou passant par un même point de cette droite. ”

“ Le rayon de courbure de l'intersection de la surface extérieure par le plan vertical d'une ligne de visée prendra une plus grande longueur ; l'arc double de celui qui va de la station au point de repère correspondant conservant sa longueur linéaire, la corde de cet arc diminuera et sa flèche augmentera. Ainsi la station s'élèvera au-dessus de sa position première, et on verra la ligne de visée s'élever au-dessus du point fixe éloigné. ”

“ Ici, l'origine n'est pas un véritable sommet, car le cercle osculateur coupe la courbe.
VI. Nous avons admis , dans le paragraphe précédent, que le point pour lequel on cherchait le rayon de courbure était l'origine elle-même; c'est ce qu'il est toujours facile de supposer, en transportant les coordonnées parallèlement à leur direction. ”

“ Dans ce mouvement d'exhaussement, les strates supposées originairement horizontales, sont obligées de prendre une courbure d'autant plus prononcée qu'elles sont plus voisines de la surface, où leur rayon de courbure est le plus faible elles se plient d'abord, jusqu'à ce qu'elles aient atteint la limite de leur élas-
ticité, puis se fendillent et se fracturent suivant un système de plans dont nous allons indiquer les directions. ”

“ En nous conformant à la premiere définition, il est clair que la courbure d’une courbe en un point quelconque est finie, si le rayon osculateur en ce point est fini ; que la courbure est nulle, si le rayon osculateur est infini ”

“ Le rayon de la terre ayant plus de six millions de mètres, son grand cercle est un million de fois moins courbé qu'un cercle ayant six mètres de rayon, et huit millions de fois moins courbé qu'un cercle tel qu'une roue de cabriolet. Aussi sa courbure nous paraît insensible pour de petites distances, et ne commence à devenir appréciable qu'en mer, ou dans les plus vastes plaines.
La connaissance de la courbure de la terre sert à mesurer, par approximation, la hauteur des montagnes et des côtes, quand on connaît la distance de ces lieux au point où l'on se trouve. ”

“ Étant donné un point (M, M') sur la méridienne g'h'k', trouver quelle doit être la direction du rayon lumineux passant par ce point, pour qu'il soit tangent à la fois à la surface de révolution et à la courbe de séparation d'ombre et de lumière.
D'après les théorèmes relatifs à la courbure des surfaces (G. D., livre VIII) , on sait que, dans toute surface de révolution, les sections normales de courbure maximum et de courbure minimum sont : 10 la méridienne dont je construirai ici le rayon de courbure M'G = R relatif au point M' ”

“ Si l'on détermine exactement le rayon de chaque courbure, en comparant le sinus de l'arc avec la longueur de l'arc ou.de la corde, on arrive à ce résultat que les courbures sont toujours en raison directe les unes avec les autres, et qu'elles varient chez les divers individus beaucoup plus qu'on ne le croit communément. ”

“ La courbe que parcourt chaque point de la spirale génératrice, est constamment perpendiculaire à cette spirale ; elle est donc une ligne de l'autre courbure ; mais le point décrivant ne change pas de distance au sommet du cône : donc, chaque ligne de la seconde courbure est sur la surface d'une sphère dont le centre est au sommet du cône , et dont le rayon , constant pour chacune d'elles en particulier, est variable de l'une à l'autre. ”

“ Je veux parler d’une rivière artificielle qui a été faite pour mettre en lumière ce fait que, dans les courbes circulaires NI. VERNON-HARCOURT. De grand ou de petit rayon. NI. FARGUE de rayon moyen, la profondeur n’est pas constante. (M. Fargue développe un plan et donne quelques explications.) C’est ce que nous exprimons en disant que la courbure est une des causes qui agissent sur le fond du chenal, mais que ce n’est pas la seule, et que, quand elle est constante, les autres causes interviennent pour faire une profondeur variable et non constante. ”

“ Px Q.
(q) (r) (s) |) (u)
ps — zçz Vy1— <2% l’arc s étant compté du point O. Enfin l’expression du rayon de courbure sera . py^_ Q " 106. Ces dernières équations ne contiennent plus que la constante Q, représentant la force horizontale qui doit être appliquée à chaque extrémité de la courbe, et qui, dans tous les points, est égale à la composante horizontale de la tension T. La valeur de Q se calcule immédiatement au moyen de l’équation (t) , quand on se donne la longueur du fil et l’ordonnée du point extrême. ”

“ La courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est étudiée au moyen d'un système quelconque de coordonnées. Sa composante normale ne dépend dans ce cas le plus général que des composantes normales de la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. ”

“ Dans toute surface, à aire minima provenant de la déformation d'une surface de révolution, les lignes de courbure sont coupées sous un angle constant par une même ligne géodésique, transformée d'un des méridiens. ”

“ Une surface courbe rigide et élastique, d’une forme connue et d’une épaisseur constante, ou cariant suivant une loi donnée, est invariablement fixée dans l’espace, par plusieurs de ses points, ou même par une ou plusieurs courbes continues tracées sur elle. On a appliqué des pressions constantes, données d’intensité et de direction, en divers autres points de cette surface, ou même suivant d’autres courbes continues tracées sur elle. On propose d’assigner la nouvelle courbure qu’affectera cette surface ? ”

“ La courbure géotropique, comme toutes les courbures de la racine, du reste, ne se produit que dans les régions en voie de croissance, c'est-à-dire vers l'extrémité de l'organe. La force géotropique va en s'affaiblissant de plus en plus dans les divisions d'ordre de plus en plus élevé de la racine primitive, les premières ont une direction plus ou moins oblique sur la perpendiculaire, les dernières s'allongent dans toutes les directions et peuvent môme, si elles sont sollicitées par d'autres forces, croître momentanément de bas en haut. ”

“ Le signe positif ou négatif, que nous avons assigné à la mesure de la courbure pour la position d’une figure infiniment petite, nous l’étendons aussi à la courbure totale d’une figure finie sur la surface courbe. Si cependant nous voulons embrasser cette matière dans toute sa généralité, il est besoin de quelques éclaircissements, que nous ne ferons que toucher ici en passant. Quand la figure sur la surface courbe est de telle nature qu’à chacun des points dans son intérieur répond sur la surface de la sphère un point différent, la définition n’a pas besoin d’explication ultérieure. ”

“ Cette formule, à l’aide de la série [2] , savoir,
se change dans la suivante :
La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface devient, par l’art. XIX (où étaient ce que sont ici )
De là, quand se rapportent au point ,
et aussi
En introduisant ces mesures de courbure dans la série pour nous obtenons l’expression suivante, exacte jusqu’aux quantités du sixième ordre (exclusivement) ”

“ Ici, il faudrait une égale quantité de chaleur pour faire changer une température moyenne donnée. À l’égard des surfaces, il faudrait des forces égales pour faire changer une courbure moyenne donnée, en sorte que la courbure de la sphère est toujours comparable à celle d’une surface de figure quelconque. Il m’a paru que cette remarque pouvait être de quelque utilité, et elle m’a servi à donner une forme assez simple à l’équation générale des surfaces. ”

“ La courbe élastique, considérée dans le sens le plus général, est la figure que prend l'axe longitudinal d'une barre primitivement droite sous l'action d'un système quelconque de forces fléchissantes. Dans tous les exemples de la courbure, de l'inclinaison et de la flèche des poutres, exposés au n° 300 et dans les numéros suivants, nous avons déterminé la courbe élastique avec une approximation bien suffisante pour la pratique, lorsque la flèche était une petite fraction de la longueur. ”

“ Tout ce qu'on sait de positif, c'est que, comparant des pièces courbes à des pièces droites, de même longueur et de même équarrissage, la courbure naturelle augmente la résistance, tandis que la courbure à la hache la diminue. ”