équation différentielle

“ Soit une équation différentielle entre deux variables, et que nous désignerons par et soit son intégrale complète, renfermant et et une constante arbitraire les solutions particulières de l’équation représenteront, comme l’on sait, les diverses enveloppes des lignes, en nombre infini, représentées par l’équation générale et que nous supposons rapportées à deux axes rectangulaires. ”

“ Lorsqu’on se sera assuré que est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.
Premièrement, soit une fonction quelconque de
assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation
(7) dans laquelle est une quantité constante quelconque. ”

“ Mais on trouve aussi quelquefois des polynômes qui, sans être des cas particuliers de l’intégrale complète, ni des facteurs communs à tous les coefficiens de dans l’équation différentielle, satisfont néanmoins aux conditions exprimées par cette dernière, quand on les égale à zéro. Nos analistes modernes les ont appelés Solutions particulières ; ils en ont expliqué l’origine, ils ont donné le moyen de les obtenir, sans résoudre l’équation différentielle proposée, et ont fait voir que les lignes qu’elles représentent sont les enveloppes de celles que représente l’intégrale complète. ”

“ Quelques géomètres avaient découvert des méthodes pour obtenir l’intégrale générale d’une équation différentielle donnée, c’est-à-dire l’équation finie d’où l’on pouvait déduire toutes les solutions que l’équation différentielle comportait, et cela par une simple modification dans la valeur numérique de la constante que l’intégration avait introduite. ”

“ A plus forte raison, il ne sera pas permis de n'avoir égard, dans le
calcul, à une petite portion de la courbe, lorsque la fonction différentielle dépendra d'une quantité donnée, simplement par une équation différentielle non intégrable en général ”

“ Or, on ne peut supposer parce que, sous le signe c’est le courant, et qu’il ne peut être nul qu’aux limites ; il faut donc que
(A) de sorte que cette équation sera l’équation différentielle du maximum ou du minimum cherché. Mais si
contient un coefficient différentiel de l’ordre il est clair que cette équation sera de l’ordre de sorte qu’en l’intégrant elle donnera constantes arbitraires ; or ; comme aux deux limites il faut qu’elle reproduise [4] en nombre on aura relations pour déterminer les constantes arbitraires introduites par l’intégration ; et on le pourra aisément. ”

“ Quelle sera donc cette surface ? et sa recherche serait-elle au-dessus des forces actuelles de l’analise ? Que sert donc d’être parvenu à intégrer généralement l’équation différentielle ci-dessus, si, dans les cas particuliers, on ne peut tirer aucun parti de son intégrale pour résoudre les problèmes qu’on se sera proposés, En un mot, à combien de conditions distinctes peut-on assujettir une surface minimum ; et comment, à l’aide de ces conditions, peut-on parvenir à particulariser cette surface ? C’est toujours là la question qu’il s’agirait de résoudre ”

“ Mais on sait que, pour obtenir certaines conditions ou pour parvenir à certains résultats du mouvement d’un système, il faut différentier la seconde équation, et évaluer la différentielle dans une position d’équilibre. Cette différentielle devient alors une fonction des forces en équilibre, telle que ces forces ne s’y évanouissent plus ; ce qui suffit pour prouver que des forces en équilibre ne se détruisent pas toujours et ne sont pas toujours, à l’égard d’un système, comme si elle n’existaient pas. ”

“ Si le point doit être pris sur une surface donnée ; en représentant par les angles que fait avec les axes la normale à cette surface en ce point, son équation différentielle sera
en tirant de cette équation la valeur de pour la substituer dans l’équation (II) , celle-ci deviendra, en divisant par
d’où, à cause de l’indépendance de et
ou bien
c’est-à-dire que la résultante des forces qui sollicitent le point doit, lorsqu’elle n’est pas nulle, être normale à la surface sur laquelle ce point doit être situé ”

“ Soit proposée l'équation générale aux différences partielles du premier ordre F{p> <7> z} = 0 • • • • (A) dans laquelle les cinq quantités entrent d'une manière quelconque mais donnée; si on la différentie aux différences ordinaires , on a une équation aux différences ordinaires de la forme Pdp + Qdq + Xclac + Ydy + Zdz = 9 , dans laquelle les cinq coefficiens P, Q , X, Y, Z , obtenus par la différentiation , sont connus en p , q , x, y, z ; et parce que l'on a d'ailleurs dz = pdx + qdy , cette équation différentielle sera Pdp + Qdq + (X+ pZ) dx + (Y+qZ) dy=zo . ”

“ Mais, il ne faudra ici éliminer ou déterminer ces constantes arbitraires que lorsque, dans l'intégration séparée de l'équation différentielle par les successives variables indépendantes x, y, etc., on parviendra à l'intégration qui embrassera déjà toutes celles de ces variables indépendantes, dont les différentielles combinées (60) sont fonctions. ”

“ THÉORÈME. — Etant donné un système de deux équations aux dérivées partielles du premier ordre à deux fonctions inconnues z1, Z2 de deux variables indépendantes x, y, il peut exister trois classes de solutions singulières, suivant qu'elles satisfont aux équations (24) , aux équations (25) ou aux équations (28) . De plus chaque variété intégrale générale admet deux familles de lignes caractéristiques définies par l'équation différentielle (27) .
77. Equations aux dérivées partielles du second ordre à une fonction inconnue z de trois variables indépendantes xl, x2, x3. ”

“ Si un système différentiel fermé ne comporte que deux variables indépendantes, il ne figurera dans ce système aucune équation différentielle extérieure de degré supérieur à 2. Il ne sera donc pas nécessaire de s'occuper des équations provenant de la différentiation extérieure des équations du second degré que le système peut contenir, car elles sont toujours vérifiées par tout élément plan à deux dimensions. ”

“ Dans un précédent mémoire (pag. 97) , nous avons fait voir que toute équation différentielle de la forme
où sont des fonctions quelconques de admet une intégrale de la forme
dans laquelle sont d’autres fonctions de et où est la constante arbitraire ; et nous avons vu que la détermination de ces dernières fonctions dépend, en général, de l’intégration d’équations linéaires du second ordre à coefficiens variables. ”

“ A ce résultat, il faut joindre l'équation relative au volume du liquide que l'on formera de la manière suivante.
L'équation différentielle de sa surface peut s'écrire sous la forme
b étant toujours la constante qui provient de la valeur de p, c' -désignant une autre constante arbitraire, et le radical étant positif ou négatif, selon que la normale extérieure fait un angle aigu ou obtus avec l'axe des ;= positives. ”

“ L’équation du maximum aussi en x & en y. Je suppose dans cette équation a au lieu de x, & b au lieu de y, & par la comparaison des deux équations, on aura la valeur de a & celle de b par deux équations qui n’auront chacune que x ou y d’inconnues. 3o. On a de plus une équation entre x & z, en faisant dans l’équation différentielle de la courbe. Ensuite on a , & : ce qui donnera une nouvelle équation en u & en t, de laquelle on peut aussi faite évanouir a & b, si on le juge à propos. ”

“ En supposant encore quelconque et indépendante de on aura
(2) Soit la différentielle de ; il viendra, en différentiant l’équation (2) ,
d’où nous tirerons, par le Lemme I,
donc
et, par le Lemme II, ; donc et par conséquent
3.o Soit à différentier pour un système quelconque ?
On aura par la définition de la fonction proposée,
(3) Soit la différentielle de ; il viendra en différentiant l’équation (3)
donc (Lemme I)
d’où
donc (Lemme II) et par conséquent
4.o Soit à différentier ? ”

“ Il est clair que si on prolonge un système en lui ajoutant les équations obtenues par différentiation extérieure, on obtient un système fermé, puisque la différentielle extérieure du premier membre d'une équation du nouveau système ou bien est nulle ou bien est le premier membre d'une équation du système. ”

“ II. Cas où quelques racines seulement sont égales. Lorsqu’il n’y a que racines de l’équation (Q) qui soient égales entre elles et à ; étant supposé égal à l’intégrale se réduit à
ou
intégrale qui n’est que particulière, puisqu’au lieu de ou constantes arbitraires, elle n’en renferme que
Dans ce cas, l’équation (Q) revient à
Considérons séparément le premier facteur, et posons l’équation
Il est évident, par le cas général que nous venons de traiter, que cette équation se rapporte à l’équation différentielle
dont toutes les solutions seraient égales entre elles ”

“ Lorsque le système est de nature à être terminé par plusieurs enveloppes, l’équation résultant de l’élimination de entre la proposée et sa différentielle prise par rapport à ce paramètre, se décompose en facteurs rationnels fonctions de ou du moins de quelques-unes de ces variables ”

“ En conséquence, l’équation différentielle des surfaces auxquelles tous ces rayons sont normaux sera (8) , en supprimant les accents désormais superflus et chassant les dénominateurs,
En l’écrivant ainsi
elle devient, en multipliant par 2,
d’où, en intégrant
étant la constante arbitraire. ”

“ Si l'équation aux différences partielles (G) est linéaire par rapport aux différences partielles de l'ordre supérieur , l'équation (H) sera aussi linéaire par rapport à la différentielle partielle restante; et en supposant que cette différentielle partielle soit u , l'équation (H) sera de la forme M + Nu = 0, dans laquelle M et N, qui peuvent être fonctions de x, j, z , p, q, r, s, t, dx , dy , dr, ds, dt, ne contiennent point u. ”

“ Les coefficiens de la nôtre seront des expressions finies ; et elle se trouvera ainsi exempte du défaut de l’autre.
3. Solution. Le premier terme est ce que devient dans le cas de ce qui donne . Ainsi . Les autres coefficiens seront ce que deviennent, dans ce même cas de les coefficiens différentiels partiels pris en regardant comme la seule variable, et le temps comme exempt de différentiation. Cherchons d’abord l’équation différentielle complète entre et
4. ”

“ Pareillement on aura, en général,
. Soit proposé d’intégrer . On aura
.
car en différentiant cette équation (65) , on retombe sur une équation identique.
Soit proposé d’intégrer . Je remarque que est la différentielle de ; donc cette intégration rentre dans la règle générale des monômes, qui donne
. 87. Considérons maintenant les quantités différentielles qui renferment plusieurs variables.
Puisque pour différentier une fonction qui contient plusieurs variables, il faut différentier successivement, relativement à chacune d’elles, en regardant toutes les autres comme constantes ”

“ Il est d’ailleurs aisé de voir que le coefficient de est égal à la différentielle de celui de divisée par
Intégration de
Suivant la méthode des intégrations réciproques (Art. 217 de l’ouv. cité) , on a
(c)
(d) Mettant successivement dans les équations (c) et (d) , on forme une suite d’équations qui ont chacune leur dernier terme affecté d’un facteur intégral qui est le premier membre de l’équation qui suit immédiatement ; donc, par une suite de substitutions successives, à partir de l’équation (c) , on parvient aisément à celle ”

“ Toutes celles qui sont légitimes ont, du moins aux yeux de ceux qui les proposent, quelques avantages particuliers. Mais, s’il est utile de lier solidement le calcul différentiel avec l’analise algébrique ordinaire ; si le passage de l’une à l’autre doit être facile et s’exécuter, pour ainsi parler, de plain-pied ; si l’on doit pouvoir répondre, d’une manière à la fois claire et précise, aux questions : Qu’est-ce qu’une différentielle ? ”

“ Enfin, notre procédé pourra également être employé à résoudre, par approximation, les équations transcendantes à deux variables non résolubles immédiatement. Il ne faudra pour cela que les différentier un nombre de fois suffisant pour qu’on puisse, entre elles et leurs différentielles, éliminer toutes les transcendantes. Le résultat de l’élimination sera alors l’équation qu’il faudra prendre pour l’équation (1) . ”

“ Ensuite on satisfait à l’hypothèse qui donne et, ce qu’il faut bien remarquer, en général comme il est aisé de le conclure de l’équation (123) ; et on a les quatre coefficiens
La route à suivre pour continuer indéfiniment est suffisamment reconnue ; et il est visible que tout se réduit à des différentiations, suivant et des derniers résultats obtenus, et à l’élimination des différentielles, suivant et de d’après (125) , et des différentielles de la forme d’après les équations (124) différenciées, suivant autant de fois qu’il est nécessaire. ”

“ La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. ”

“ Mais il est essentiel de remarquer que les fonctions et ne sauraient être indépendantes ; et rien n’est plus facile que d’assigner la relation qui doit exister entre elles. Si, en effet, on différentie les valeurs de et trouvées ci-dessus, on aura
et étant les dérivées respectives de et or, ces deux équations, divisées l’une par l’autre, donnent
ouc’est-à-dire, (II) relation qu’on peut encore mettre sous cette forme
ou, en intégrant par parties,
[1] Soit, par exemple, l’équation
dans laquelle on suppose
étant la constante arbitraire. ”