Élie Cartan

“ Nous avons déjà introduit la notion de caractéristiques d'un système différentiel, ces caractéristiques entrant dans le génération des variétés intégrales qui ne sont contenues dans aucune variété intégrale à un plus grand nombre de dimensions. Ces caractéristiques n'existent du reste que pour certains systèmes différentiels. Nous les désignerons sous le nom de caractéristiques de Cauchy. ”

“ Si à un moment donné le système obtenu est incompatible, il en est de même du système initial ; si le système obtenu n'admet pas d'éléments intégraux à deux dimensions ayant pour origine un point générique de l'espace des variables dépendantes et indépendantes, on en déduit un système nouveau pour lequel l'entier p a diminué ; si le système obtenu admet des éléments intégraux à deux dimensions ayant pour origine un point générique, mais sans que le système soit en involution, on en déduit un système nouveau pour lequel l'entier p a encore diminué. ”

“ L'opération du prolongement d'un système différentiel est au fond identique à celle qui consiste, étant donné un système d'équations aux dérivées partielles, à ajouter aux équations de ce système celles qu'on en déduit en les dérivant en totalité ou en partie, par rapport à une ou plusieurs des variables indépendantes. ”

“ Le problème de savoir si le système différentiel donné est en involution se pose différemment pour ces différentes familles, car les variétés intégrales à p dimensions cherchées ne sont pas les mêmes dans les différents cas, puisque leurs éléments tangents à p dimensions varient d'une famille à l'autre. Il est donc possible que le système donné soit en involution pour une des familles de variétés intégrales à p dimensions et ne soit pas en involution pour une autre. ”

“ On peut généraliser le problème des systèmes triples orthogonaux en cherchant trois familles à un paramètre de surfaces se coupant deux à deux sous des angles constants donnés. Si nous attachons à chaque point A de l'espace un trièdre dont les vecteurs unitaires de base sont tangents aux trois courbes d'intersection deux à deux des trois surfaces du système qui passent par ce point, les faces de ce trièdre sont des angles constants dont nous désignerons les cosinus par a, j3, 7. ”

“ Elle est caractéristique si l'on a en même temps
(VIII, 5)
c'est-à-dire si la courbure est la même fonction de l'abscisse curviligne pour les deux courbes. On devra alors prendre xs — m. D'autre part, les égalités a — a, a + c == a + c, ac — lJ2 — ac — b2 entraînent c = c, b = ± b ;
les deux courbes ont donc des torsions géodésiques égales ou opposées. C'est une condition nouvelle à laquelle doivent satisfaire les deux courbes pour que le problème de Cauchy soit possible (1) . ”

“ Problème de Cauchy. — Cherchons une solution à une dimension du système des équations (VII, 1) et (VII, 2) . On pourra supposer, à cause de l'indétermination des trièdres attachés aux surfaces S et S, que l'on a oj2 = 0 pour cette solution. Nous prendrons donc deux courbes orientées C et C avec correspondance conservant les arcs (ds == ds) . A chaque point de chaque courbe nous attachons un trièdre dont le vecteur el soit tangent à la courbe dans le sens positif. ”

“ On peut remarquer que si on n'avait pas imposé le choix des variables indépendantes, on aurait eu un système en involution avec une seule famille d'éléments intégraux ordinaires à deux dimensions, à savoir la première famille considérée. ”

“ Donnons-nous les deux courbes C, C ainsi que la correspondance ponctuelle qui les relie. La troisième et la cinquième équations (XV, 3) donnent m et w, la seconde donne a, la première donne u, la quatrième donne v et l'équation (XV, 4) donne c au moyen d'une équation différentielle. Les données dépendent de cinq fonctions arbitraires d'une variable. On ne devra utiliser que les portions
correspondantes des courbes C et C pour lesquelles les fonctions a et c sont positives. ”

“ Après un premier Chapitre, de nature purement algébrique, sur les formes extérieures et les systèmes d'équations extérieures, le Chapitre II est consacré aux formes différentielles extérieures (formes symboliques de E. GOURSAT) et à l'opération de la différentiation extérieure. Le Chapitre III introduit la notion de système différentiel extérieur fermé et de système caractéristique, expose la théorie des systèmes complètement intégrables avec applications au problème classique de Pfaff. ”

“ Les systèmes différentiels que nous nous proposons d'étudier sont obtenus en annulant un certain nombre de fonctions de n variables xl, X2,..., af, que nous considérerons toujours comme les coordonnées d'un point de l'espace à n dimensions ou d'un domaine (J) de cet espace, ainsi qu'un certain nombre de formes différentielles extérieures définies dans ce domaine et pouvant avoir des degrés quelconques. Nous serons obligés, dans le cas général, de supposer essentiellement que les fonctions qui s'introduisent sont analytiques ; nous nous supposons aussi dans le domaine réel (1) . ”

“ Comme tout point non générique peut être regardé comme la limite d'une suite de points génériques, les relations (6) , étant vraies pour tout point générique, seront par continuité vraies aussi pour tout point non générique.
Les relations (6) donnent donc les conditions nécessaires et suffisantes d'intégrabilité complète du système (1) , et sous une forme en général plus commode que celles qui ont été d'abord indiquées. ”

“ Formons maintenant le déterminant de la matrice polaire de l'élément linéaire (Wio) ; c'est une forme homogène de degré SI en 1, W2, - • •, cop. Supposons, pour rester dans le cas général, que pour W3 = . • • = wP = 0, le déterminant se décompose en un produit de formes linéaires distinctes en w1, W2. ”

“ Il y a certainement des cas où il comporte une infinité de solutions, sans quoi les surfaces cherchées ne pourraient dépendre au plus que d'une fonction arbitraire d'une variable, comme les courbes de torsion constante donnée. ”

“ Supposons d'abord les vecteurs h, k, l linéairement indépendants. Si A est négatif, il est clair que les équations (IV, 14) n'admettent aucune solution réelle. Si A est positif, elles admettent deux solutions réelles et distinctes ; nous verrons au numéro suivant que les données ne sont pas caractéristiques et que par suite il passe par la surface L. deux variétés à trois dimensions réalisant au voisinage de 2: l'espace riemannien donné 9. ”

“ L'élément polaire d'un élément intégral linéaire de composantes dx, úy, oz, op, aq est donné par les équations (14) auxquelles il faut adjoindre l'équation
(16)
Le caractère SI est donc égal à 1. Une variété intégrale singulière pourrait en principe se présenter si pour tous les éléments linéaires tangents, le rang du système (14) et (16) était abaissé d'une unité ; cela arrive si l'on a
(17)
mais les relations (17) montrent qu'en un point donné de la variété intégrale il n'existe qu'un seul élément linéaire tangent singulier. ”

“ On peut démontrer, sous certaines conditions qu'il n'est du reste pas facile de préciser, qu'on finira par arriver à un système en involution.
Nous ne nous arrêterons pas au cas général et nous allons nous contenter de montrer comment on peut faire la démonstration dans le cas le plus simple, celui où il- n'y a que deux variables indépendantes. La démonstration que nous allons donner ne s'étend pas du reste au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. ”

“ On peut démontrer facilement le théorème de Poincaré dans le cas où les coefficients de la différentielle extérieure dw d'une forme ne sont pas dérivables : il suffit de supposer l'existence de cette différentielle. En effet supposons w de degré p ; la formule de Stokes généralisée nous apprend que l'intégrale
fdot étendue à un domaine quelconque à p + 1 dimensions est égale à l'intégrale /*M étendue à la frontière de ce domaine. ”

“ On aura les intersections de deux hypersurfaces du système quadruple orthogonal donné.
66. Remarque. — II n'y a rien à changer à la solution du problème des systèmes p-uples orthogonaux si l'espace à p dimensions est à courbure constante. Mais il n'en est plus de même si l'on est dans un espace de Riemann arbitraire (1) ; cela tient à ce que les équations (III, 4) font intervenir les différentielles extérieures des formes wij, et qu'en général tout élément à trois dimensions qui satisfait aux équations (III, 3) ne satisfait pas aux équations (III, 4) . ”

“ Nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, que le système ne comporte pas d'équations finies. S'il est à p variables indépendantes, nous désignerons par co1, W2, • - ., wP un système de p combinaisons linéaires indépendantes de leurs différentielles. ”