Joseph-Louis Lagrange

“ Parmi ces jeux de son génie qui cherchait des difficultés pour mieux montrer sa force, se rangerait encore le Mémoire ou il indique les moyens de construire les Tables astronomiques, d’après une suite d’observations, et sans connaître la loi des mouvements célestes. C’est le problème que résolvaient de tout temps les Astronomes, par les voies les plus élémentaires. Les moyens de Lagrange sont plus analytiques et plus savants ; mais dans l’exemple même qu’il a choisi, et qui est des plus simples, il est permis de douter que les moyens qu’il emploie soient les plus sûrs et les plus faciles. ”

“ Ce fut pour eux une bien bonne fortune que le système du monde, découvert par Newton. Jamais l’Analyse transcendante ne pouvait trouver un sujet plus digne et plus grand ; quelques progrès qu’on y fasse, le premier inventeur conservera son rang ; aussi M. Lagrange, qui le citait souvent comme le plus grand génie qui eût jamais existé, ajoutait-il aussitôt : et le plus heureux ; on ne trouve qu’une fois un système du monde à établir. ”

“ L’École Normale, dont il fut nommé Professeur, mais qui n’eut qu’une existence éphémère, lui donna à peine le temps d’exposer ses idées sur les fondements de l’Arithmétique, de l’Algèbre et de leurs applications à la Géométrie.
L’École Polytechnique, fruit d’une idée plus heureuse, eut aussi des succès plus durables ; et parmi les meilleurs effets qu’elle a produits, nous pouvons mettre au premier rang celui d’avoir rendu M. Lagrange à l’Analyse. ”

“ Depuis la découverte du Calcul infinitésimal, la facilité, l’universalité de la méthode, qui souvent dispense le calculateur d’avoir du génie, a fait que dans les cas plus difficiles on s’est appliqué principalement à perfectionner l’instrument universel. Mais aujourd’hui que les ressources de ce genre paraissent entièrement épuisées par les travaux d’Euler, de Lagrange et de leurs dignes émules, il serait temps peut-être de revenir à l’ancienne méthode, et d’imiter D. Bernoulli, que Condorcet a loué de s’être montré sobre de calculs. ”

“ Euler sentit le mérite de la nouvelle méthode, qu’il prit pour l’objet de ses méditations les plus profondes ; d’Alembert ne se rendit pas. Dans ses lettres particulières, comme dans ses Mémoires imprimés, il proposait de nombreuses objections, auxquelles Lagrange a répondu depuis, mais qui peuvent au moins laisser ce doute : Comment, dans une science à laquelle on accorde universellement le mérite de l’exactitude, se peut-il que des génies du premier ordre soient divisés entre eux et puissent disputer longtemps ? ”

“ Satisfaits d’avoir écarté les difficultés plus réelles, ils s’inquiètent trop peu de l’embarras où ils laissent les calculateurs et du travail que doit leur imposer l’usage de la formule, même après qu’elle a été convenablement réduite. Nous n’oserions assurer que Lagrange n’ait pas été le plus souvent de cette opinion. Plus d’une fois il a exprimé ouvertement son vœu de voir encourager les recherches purement analytiques ; et, même quand il paraît se proposer la plus grande facilité des calculs usuels, c’est encore l’Analyse principalement qu’il perfectionne. ”

“ Cette sublime composition réunit en outre tous ceux de ses travaux précédents qu’il a pu y rattacher ; elle se distingue encore par l’esprit philosophique qui y règne d’un bout à l’autre : elle est aussi la plus belle histoire de cette partie de la science, une histoire telle qu’elle ne pouvait être écrite que par un homme au niveau de son sujet, et supérieur à tous ses devanciers, dont il analyse les Ouvrages ; elle forme une lecture du plus haut intérêt, même pour celui qui serait hors d’état d’en apprécier tous les calculs de détails. ”

“ Or dans les fluides compressibles la densité est toujours donnée par une fonction connue de dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Ainsi, combinant les trois équations précédentes avec l’équation générale de la densité (4) , on aura quatre équations aux différences partielles entre les quatre inconnues et les variables lesquelles équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides compressibles et élastiques. ”

“ Lagrange, le plus sage, et peut-être le seul philosophe vraiment pratique qui ait jamais existé, recommandable par son imperturbable sagesse, ses mœurs, sa conduite de tout genre, en un mot l’objet du plus tendre respect du petit nombre d’hommes dont il se laisse approcher, Lagrange est mécontent, tout le convie à se retirer d’un pays ou rien n’absout du crime d’être étranger, et où il ne supportera pas de n’être pour ainsi dire qu’un objet de tolérance... ”

“ Cette belle découverte m’a causé d’autant plus d’admiration qu’elle est plus différente des méthodes que j’avais données et qu’elle les surpasse considérablement en simplicité. C’est ainsi qu’Euler commence le Mémoire dans lequel il expose, avec sa lucidité ordinaire, les fondements de la méthode de son jeune rival, et la théorie de ce nouveau calcul, qu’il a nommé le calcul des variations. ”

“ On y voit enfin sa nouvelle Théorie des variations des constantes arbitraires du mouvement des planètes, qui avait paru avec tant d’éclat dans les Mémoires de l’Institut, où elle avait prouvé que l’Auteur, à l’âge de plus de soixante-quinze ans, n’était pas descendu du haut rang qu’il occupait depuis si longtemps, de l’aveu de tous les Géomètres.
Partout dans ses écrits, quand il rapporte un théorème important, il en fait hommage au premier Auteur.
Quand il rectifie les idées de ses prédécesseurs ou de ses contemporains, c’est avec tous les égards dus au génie ”

“ À la surface extérieure du fluide la pression doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force donnée, alors la valeur de doit être égale à cette force.
Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le fluide se meuve uniquement en vertu de sa gravité ; ainsi la quantité devra être nulle à sa surface extérieure ; par conséquent sera l’équation de cette surface. ”

“ On pourra donc aussi traiter l’équation des ondes par les méthodes que l’on a déjà employées dans la Théorie de la propagation du son, et l’on expliquera par ces mêmes méthodes les phénomènes singuliers de la propagation uniforme des ondes, de son indépendance des ébranlements primitifs de l’eau, du mélange et de la réflexion des ondes, etc., ainsi que je l’ai fait autrefois à l’égard des ondes sonores dans les deux premiers tomes des Mémoires de l’Académie des Sciences de Turin [3] . ”

“ Soit une masse quelconque de fluide que l’on considérera comme composée d’une infinité de particules et soient les coordonnées rectangles de chaque particule les vitesses de cette particule parallèlement aux mêmes coordonnées et dans le sens dans lequel ces coordonnées augmentent ; et enfin le temps écoulé depuis le commencement du mouvement. Ces quantités devant appartenir, en général, à chaque particule et à chaque instant du mouvement, ne peuvent être que des fonctions des variables et c’est de la détermination de ces fonctions que dépend celle du mouvement du fluide. ”

“ L’Académie des Sciences de Paris avait proposé pour le sujet d’un de ses prix la théorie de la libration de la Lune, c’est-à-dire qu’elle demandait la cause qui fait que la Lune, en tournant autour de la Terre, lui montre toujours cependant la même face, à la réserve de quelques variations observées par les Astronomes et dont Cassini Ier avait fort bien expliqué le mécanisme. ”

“ Les premières tentatives pour déterminer le maximum et le minimum dans toutes les formules intégrales indéfinies avaient été faites à l’occasion de la courbe de la plus vite descente et des isopérimètres de Bernoulli. Euler les avait ramenées à une méthode générale, dans un ouvrage original, où brille partout une profonde science de calcul ; mais quelque ingénieuse que fût sa méthode, elle n’avait pas toute la simplicité qu’on peut désirer dans un ouvrage de pure analyse. L’auteur en convenait lui-même ”

“ Mais un travail, grand dans son objet, utile par ses applications continuelles, et digne en tout de son génie, c’est celui dans lequel il a calculé les changements successifs qui s’opèrent dans les dimensions et les positions des orbites planétaires. Tous les Géomètres, depuis Newton, s’étaient occupés de ce problème ; leurs formules différentielles, appliquées successivement à chaque planète, pouvaient, jusqu’à un certain point, et pendant un certain temps, satisfaire aux besoins de l’Astronomie ”

“ Mais, s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement du mouvement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles, que
soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas la quantité
sera toujours intégrable, et dans le second elle ne le sera jamais.
Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, on peut démontrer que
doit être intégrable dans le premier instant. ”

“ Un pareil lecteur y apercevra du moins la liaison intime de tous les principes sur lesquels les plus grands Géomètres ont appuyé leurs recherches de Mécanique. Il y verra la loi géométrique des mouvements célestes, déduite de simples considérations mécaniques et analytiques. De ces problèmes qui servent à calculer le véritable système du monde, l’Auteur passe à des questions plus difficiles, plus compliquées, et qui tiendraient à un autre ordre de choses ; ces recherches ne sont que de pure curiosité, l’Auteur en avertit ; mais elles prouvent toute l’étendue de ses ressources. ”

“ C’est dans ce repos philosophique qu’il vécut jusqu’à la révolution, sans rien ajouter à ses découvertes mathématiques, sans même ouvrir une seule fois sa Mécanique analytique, qui avait paru depuis plus de deux ans.
La révolution offrit aux savants l’occasion d’une grande et difficile innovation : l’établissement d’un système métrique, fondé sur la nature, et parfaitement analogue à notre échelle de numération. Lagrange fut un des Commissaires que l’Académie chargea de ce travail ”

“ Lagrange le démontre ; il fonde ses nouvelles recherches sur les lois connues de la Dynamique ; en ne considérant dans l’air que les particules qui se trouvent en ligne droite, il ramène le problème à celui des cordes vibrantes, sur lequel les plus grands Géomètres étaient divisés ; il fait voir que leurs calculs sont insuffisants pour décider la question, il entreprend une solution générale par une analyse aussi neuve qu’intéressante, puisqu’elle permet de résoudre à la fois un nombre indéfini d’équations, et qu’elle s’étend jusque sur les fonctions discontinues ”

“ Lagrange a fait plus habituellement un autre usage de ses sublimes talents ; il tire tout de l’Analyse. Il est pourtant plus vrai de dire qu’il a réuni au plus haut degré l’une et l’autre méthode ; la preuve en est dans le Calcul des variations, auquel ne peut se comparer, ni pour la grandeur, ni pour l’universalité, aucune des idées les plus heureuses des autres Géomètres ”

“ Oh ! la mort n’est pas à redouter, et lorsqu’elle vient sans douleur, c’est une dernière fonction qui n’est ni pénible ni désagréable. Alors il leur exposait ses idées sur la vie, dont il croyait que le siége est partout, dans tous les organes, dans tout l’ensemble de la machine, qui, chez lui, s’affaiblissait également partout et par les mêmes degrés. ”

“ Car il faut que les vitesses que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface, soient telles, que si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse en vertu de l’impulsion appliquée à la surface, et des vitesses ou forces appliquées à chacun des points de son intérieur ”

“ Lorsque le fluide est incompressible, la densité de chaque particule ne varie point d’un instant à l’autre ; ainsi il faudra que l’on ait dans ce cas
et l’équation précédente se réduira alors à celle-ci
Donc pour les fluides incompressibles l’équation de la densité se décompose en deux de cette forme
dont la première sert à déterminer la densité en fonction de et la seconde renferme la condition de l’incompressibilité du fluide, et peut être nommée en conséquence équation de l’incompressibilité. ”

“ D’ailleurs, de ce que le parallélépipède rectangle est celui qui a la plus grande capacité parmi tous ceux qui ont les mêmes côtés, il s’ensuit qu’en faisant varier infiniment peu les angles d’un parallélépipède rectangle, sa capacité ne saurait varier que dans une proportion qui ne différera de l’unité que par des quantités infiniment petites du second ordre, celles du premier devant disparaître par la propriété du maximum. ”

“ Nous supposerons pour cela que le fluide dans son mouvement ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous de son niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées de la surface supérieure soient toujours très-petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales et soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité elle-même soit infiniment petite. ”

“ Il a fallu cent ans de travaux et de découvertes pour élever l’édifice dont Newton avait posé les fondements, mais on lui tient compte de tout, et l’on suppose qu’il a parcouru en entier la carrière qu’il avait ouverte avec un éclat qui a dû encourager ses successeurs.
Beaucoup de Géomètres, sans doute, s’étaient exercés sur les théorèmes de Fermat ; aucun n’avait réussi. Euler seul avait fait quelques pas dans cette route difficile où se sont depuis signalés M. Legendre et M. Gauss. ”