Paul Guiraudet

“ La pression normale exercée par un point qui se meut sur une surface est égale à la somme des forces centrifuges que produirait le mouvement de ce même point sur l'une et sur l'autre des deux lignes de courbure, la vitesse de chacun de ces mouvements étant une des composantes de la vitesse réelle. ”

“ Euler commence par établir le partage des problèmes dans lesquels on cherche des courbes jouissant d'une propriété de maximum ou de minimum en différentes classes, suivant que l'on demande, parmi toutes les courbes, quelle est celle qui jouit au plus haut degré d'une certaine propriété, ou bien que l'on astreint la courbe à satisfaire préalablement à une ou plusieurs conditions. Il ne considère toujours qu'une partie infiniment petite de la courbe ”

“ Elles le conduisent de même à trouver l'intégrale première du problème ; et leur forme, quoiqu'elle se rapproche moins de celle qui est restée définitivement à ces calculs, est cependant fort élégante. Ces solutions ont même cet avantage que, quoiqu'il démontre par la géométrie les deux lemmes qu'emploie Jean Bernouilli et sous la même forme ou à peu près, il donne le moyen de résoudre les deux problèmes primitifs en employant seulement le premier, et la solution qu'il obtient du second problème est peut-être un peu plus courte que celle qui est exposée précédemment. ”

“ Trouver entre deux points fixes la forme d'une courbe de longueur donnée qui rende maxima l'aire d'une autre courbe construite avec des abscisses qui soient des fonctions données des arcs de la première, et avec des ordonnées égales aux ordonnées correspondantes de la première Cela revient à trouver la position d'équilibre d'une chaîne de longueur donnée suspendue entre deux points fixes, lorsque sa densité est variable et par conséquent fonction de l'arc : car on cherche à rendre maxima l'intégrale (Cs) pyds, ce qui est la condition pour que le centre de gravité soit le plus bas possible. ”

“ De plus, l'exécution pratique présente, si on veut compléter la solution d'un problème, des difficultés souvent insurmontables : Euler suppose dans sa théorie que l'intégrale considérée a des limites fixes, et la détermination des constantes arbitraires introduites nécessairement par l'intégration est subordonnée à cette intégration , et à la possibilité d'exprimer en termes finis l'intégrale en fonctions de ces constantes et des limites. ”

“ Il est à remarquer au sujet de ces formules que
est la dérivée prise par rapport au temps de la projection sur le plan de l'équateur de l'aire engendrée par le rayon vecteur. En appelant A cette aire, on a donc R2 = -. Par conséquent, si le mouvement était tel que R2 fût nul à chaque instant, il s'ensuivrait — =:0 ; c'est-à-dire que, si la force motrice était à chaque instant située dans le plan méridien, la projection de l'aire décrite sur l'équateur croîtrait proportionnellement au temps. ”

“ Mais Euler a fondé sa théorie sur les mêmes principes qui servaient à ses prédécesseurs ; il les a admirablement développés, suivis dans leurs dernières conséquences; mais il les a conservés, et sa théorie en garde quelque chose d'embarrassé, de peu clair.
Enfin Lagrange, venant effacer les dernières traces des considérations de
géométrie infinitésimale employées par les Bernouilli, fit une révolution complète dans les principes. ”

“ Trois années avant d'avoir traité le problème précédent, Jean Bernouilli avait résolu et proposé aux géomètres celui de la brachistochrone; et la solution, indirecte pourtant, qu'il en publia l'année suivante, est encore fondée, aussi bien que celle de Jacques Bernouilli, sur le principe de la variation élémentaire de la courbe. Si on imagine deux éléments consécutifs de la courbe cherchée, le mobile doit les parcourir en moins de temps que toute autre ligne joignant leurs extrémités. ”

“ On peut reconnaître maintenant les deux caractères que nous avons attribués aux solutions de Maclaurin : d'être extrêmement ingénieuses, de pouvoir acquérir une certaine généralité, et pourtant de ne présenter qu'un intérêt de curiosité, sans pouvoir prétendre à une place importante dans l'histoire du progrès de la science. D'ailleurs , quoique nous ne puissions préciser l'époque à laquelle elles ont été trouvées par Maclaurin, qui les a ensuite placées dans son Traité des fluxions, elles n'y ont été publiées que sept ou huit ans après la fixation des règles générales par Euler. ”

“ Elle fut résolue immédiatement par Jacques Bernouilli, qui publia en 1698 les solutions, sans en faire connaître l'analyse. Plus tard, Jean Bernouilli reprit cette question, la résolut pour toute surface, et proposa le problème en 1728 à Euler, encore très jeune alors, mais déjà célèbre. La solution qu'il en donna se trouve dans les Commentaires de l'Académie de Saint-Pétersbourg, tome III. Elle ne présente rien de saillant, et ne porte la trace d'aucune idée générale : il considère une surface comme le lieu d'une série de coupes faites par des plans parallèles ”

“ L'aire élémentaire que l'on veut rendre maximum est f (x) dy. Donc, si on considère deux points consécutifs F et G, on alira, y étant la variable indépendante , (X) ax (XI) bxl dès lors, en divisant membre à membre la relation (M) par celle-ci, on obtient
ou bien
ce qui donne , en intégrant,
équation qui se réduit immédiatement aux quadratures.
Pour le second problème, où l'abcisse doit être une fonction de l'arc, on emploiera la seconde relation.
Mais il faut ici un peu plus d'attention pour exprimer la condition de maximum particulière au problème.
L'aire B'PIC' (Fig. 4.) ”

“ Souvent on y trouve avantageux de pouvoir déduire de procédés directs les rapports entre les forces et leurs effets : on se dispense en effet par là de longs calculs ; et, de plus, il s'attache presque toujours un véritable intérêt à cette manière d'étudier la question dont on s'occupe sans y introduire aucune considération étrangère, et en se rendant compte, à mesure qu'il se présente, du rôle que joue chacun des éléments que devra renfermer la solution. ”

“ En résumé, lorsqu'il s'agit de formules d'une grande généralité , les considérations géométriques nous paraissent propres à éclaircir et à préciser les idées, en montrant la signification de chacun des éléments analytiques , plutôt que destinées à fournir des démonstrations' complètes et devant se suffire à elles-mêmes. Elles mettent trop vivement en jeu les circonstances spéciales que présente la figure à laquelle elles sont appliquées pour ne pas perdre quelque chose de leur clarté et de leurs avantages à être transformées en formules générales. ”

“ Alors l'accélération normale est - éos J.
V2
ou, d'après le théorème de Meunier, —, en appelant r' le rayon de courbure de la section normale ayant la même direction que la trajectoire. Mais on sait que
Donc
c'est-à-dire
comme le donnaient nos formules. — La géométrie donnerait également une démonstration très'simple de cette expression.
Si la surface que l'on considère est une surface à courbures opposées, on voit qu'en chaque point il y a une direction suivant laquelle le mouvement peut s'effectuer sans faire éprouver aucun effort à la surface. ”

“ Tandis que le.point m décrit Mp, cet élément dr subit un mouvement d'entraînement suivant Mpt avec la vitesse dans ce sens du mobile M, et suivaut Mp2 avec la vitesse correspondante. Mais chacun de ces mouvements d'entraînement doit être influencé par la courbure de l'arc suivant lequel il a lieu, et doit être accompagné
d'une rotation. Il y aura donc : 1° dans le plan du méridien, une rotation d'un angle d'f; faisant décrire à l'extremité p un chemin drdy, ce qui suppose une force 2 dans le sens MR1 ”

“ Quand un point se meut sur une surface, l'accélération suivant le rayon de courV2 bure de la trajectoire a pour expression :'t., V étant la vitèsse.et r ce rayon. Soit A l'angle du plan osculateur de la trajectoire avec la normale, et soit ex l'angle de la V2 trajectoire avec l'une des lignes de courbure. ”

“ Puisque cette différentielle est calculée en prenant l'arc pour variable indépendante, on tire
qu'on ramène facilement aux quadratures.
Telle est, à quelques modifications près, peu importantes, la manière dont Jean BernouiUi présente l'intégration de ces problèmes. La solution de son
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frère, quoique la même au fond, offre des calculs beaucoup plus longs : cela tient à ce que Jacques Bernouilli conserve aux relations (M) et (N) leur première forme; il y fait directement la substitution au moyen des notations infinitésimales, ce qui amène des différentielles du 3e ordre ”

“ Pour le premier, il remarque d'abord que le lemme posé plus haut peut être ainsi énoncé : Pour que eE.a - KE.u soit minimum, il faut que cos E u Dès lors en le généralisant on en conclut que, pour que la quantité (eE+EE' + etc.) ”