Calcul des variations

“ Il suit nécessairement de là que les caractères développés par son moyen seront présents dans tous les individus d'une espèce, et, tout en variant, ne s'écarteront pas beaucoup d'un type commun. Nous avons vu, dans notre troisième chapitre, que la somme de variation peut s'estimer au cinquième ou au sixième de la valeur moyenne, c'est-àdire que si la valeur moyenne est de 100, les variations atteindraient de 80 à 120, ou un peu plus, si l'on comparait des nombres très grands. ”

“ Une variation accidentelle, si minime soit-elle, implique l’action d’une foule de petites causes physiques et chimiques. Une accumulation de variations accidentelles, comme il en faut pour produire une structure compliquée, exige le concours d’un nombre pour ainsi dire infini de causes infinitésimales. ”

“ Le problème est encore plus flagrant lorsque le facteur de variation s'exprime dans une autre unité de compte ou comme c'est souvent le cas, quand le résultat final provient de la combinaison.
2.114 Le bilan qualitatif d'éléments décompose, pour chaque classe, la variation globale appelée solde des variations qualitatives constatées :
- variations qualitatives à champ constant;
- flux de la période résumée par l'accumulation nette (pour les flux courants) , la mor talité naturelle exceptionnelle et les destructions accidentelles. ”

“ C'est, en effet, sur cette généralité que sont fondées, par leur nature, toutes les solutions dues à la méthode des variations. Si une formule unique ne pouvait point exprimer la longueur ou l'aire de toute courbe quelconque, si on n'avait point une autre formule fixe pour désigner le temps de la chute d'un corps pesant, suivant quelque ligne qu'il descende, etc., comment eût-il été possible de résoudre des questions qui exigent inévitablement, par leur nature, la considération simultanée de tous les cas que peuvent déterminer dans chaque phénomène les divers sujets qui le manifestent? ”

“ Si est l’un des nombres dérivés d’une fonction continue , pour que soit à variation bornée il faut et il suffit que soit sommable dans l’ensemble des points où il est fini et positif, que l’ensemble des points ou est infini positif soit de mesure nulle et qu’il puisse être enfermé dans des intervalles fournissant une somme de variations totales positives qui soit bornée. ”

“ Le tracé des droites d'ajustement (graphiques III à VI) visualise ces informations. Sur ces droites sont hachurés les intervalles utiles de variation 2 : la projection de ces hachures sur l'axe des abscisses donne en fait l'amplitude des variations de la donnée explicative. ”

“ Pour calculer la variation totale d’une fonction discontinue comme limite d’une suite de variations , il faut choisir d’une manière très particulière les points de division ; par exemple, pour une fonction qui est partout nulle, sauf à l’origine, il faut que l’origine soit un point de division. Pour les fonctions continues, au contraire, on a cette propriété : la variation d’une fonction continue, relative à une division quelconque, tend uniformément vers la variation totale de cette fonction quand le maximum de la longueur des intervalles employés tend vers zéro. ”

“ Je crois, au contraire, que le procédé de modification doit être extrêmement lent et que la variabilité de chaque espèce est complètement indépendante de la variabilité de toutes les autres. C'est un concours de circonstances parfois très-complexes qui détermine jusqu'à quel point la sélection naturelle se saisira des variations survenues par hasard pour les accumuler, les conserver et produire ainsi une somme plus ou moins considérable de modifications définitives dans l'espèce variable. ”

“ On essaye deux valeurs de prises en dessus et en dessous de cette valeur déterminée, et l’on resserre les hypothèses ; une nouvelle proportion établie entre les variations de et les variations de l’intervalle calculé, permet enfin de trouver une valeur de suffisamment exacte, et à l’aide de laquelle on a et avec assez de précision. ”

“ Nous observons, à l'état domestique, que les changements des conditions d'existence causent, ou tout au moins excitent une variabilité considérable, mais souvent de façon si obscure que nous sommes disposés à regarder les variations comme spontanées. La variabilité obéit à des lois complexes, telles que la corrélation, l'usage et le défaut d'usage, et l'action définie des conditions extérieures. ”

“ Dans l'état actuel de nos connaissances, nous devons admettre que la variation existe, non seulement la variation individuelle qui fait osciller l'espèce autour d'une sorte de forme moyenne, mais aussi la variation spécifique qui change une forme moyenne en une autre forme moyenne, dite spécifiquement distincte. ”

“ On peut dire que dans un certain sens non seulement les conditions d’existence déterminent, directement ou indirectement, les variations, mais qu’elles influencent aussi la sélection naturelle ; les conditions déterminent, en effet, la persistance de telle ou telle variété. Mais quand l’homme se charge de la sélection, il est facile de comprendre que les deux éléments du changement sont distincts ; la variabilité se produit d’une façon quelconque, mais c’est la volonté de l’homme qui accumule les variations dans certaines directions ”

“ Mais les faits déjà relatés, conjointement avec le témoignage beaucoup plus complet de la variation dans tous lesoaganes extérieurs, nous font conclure que l'on ne manquera jamais de trouver des variations quand on les cherchera dans un nombre considérable d'individus des espèces les plus communes ; que, partout, on les trouvera en quantité considérable, atteignant quelquefois vingt pour cent de la taille de la partie dont il s'agit; et qu'elles sont, en grande partie, indépendantes les unes des autres, et présentent ainsi presque toutes les combinaisons de variation qu'on pourrait demander. ”

“ Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites comme la limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles comme les limites des équations aux différences finies.
Je ne disconviens pas qu'on ne puisse, de cette manière, démontrer la légitimité des résultats du Calcul différentiel; mais, quoique cette
marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l'infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions. ”

“ Comme la nature du problème peut fournir aussi des équations de condition entre les variables x, y, z, t, rapportées à ces limites, désignons par A = o, B = o, ces équations de condition, de manière que A, B, soient des fonctions données de xo, x1, y0, y1, y'0, On formera les équations variées À = o, B = o, dues aux variations de chacune des quantités xo, x,, Yo, y,, io, y'1, on ajoutera ces équations multipliées par les coefficients indéterminés x, à l'équation aux limites. ”

“ Ainsi, par exemple, sur cent mille individus un premier changement peut faire disparaître tous les faibles d'une façon générale; puis les changements se spécifient et vont par exemple agir d'abord sur tous ceux qui sont trop sensibles aux variations de température et ainsi de suite. ”

“ Et si nous essayons de mesurer le degré de variation dans la faculté elle-même, entre un mathématicien de premier ordre et le commun des hommes qui trouvent que toute espèce de calcul les trouble et manque d'intérêt, il est probable que ces derniers ne pourraient être estimés à moins de cent pour un des premiers, et peut-être même le chiffre de mille pour un exprimerait-il plus exactement la proportion.
La faculté artistique paraît se produire dans la même proportion de fréquence que la faculté mathématique. ”

“ Les difficultés sont grandes, mais ce n'est pas là une raison pour ne pas les aborder. Seulement on doit commencer par bien distinguer. Et dans ce but il me semble qu'il est indispensable de séparer la mutabilité de la variabilité proprement dite. Le grand domaine de la variabilité se trouve ainsi séparé en deux provinces de valeur et d'étendue égales. A première vue, il pourrait sembler que les mutations seraient en minorité, mais bientôt on s'aperçoit du contraire. Quoique rares, les Mutations sont beaucoup plus multiformes et différentes entre elles que les variations ”

“ Quant aux mouvements du style, ils doivent, dans un bon apJeil, être proportionnels à l'intensité de la variation qu'ils trad UISent; des divisions ou degrés, tracés sur l'axe des y, permettent de déterminer la valeur des ordonnées correspondantes aux diff erents points de la courbe. La bonne fonction d'un appareil inscripteur réside tout entière dans le choix des moyens qui dontrad au style des excursions proportionnelles aux variations qu'il ~aduif. ”

“ Imaginons que l’on s’arrête à un certain terme de développement, puis qu’appliquant la méthode de la variation des constantes, on prenne pour variables nouvelles les les les et les Ces variables nouvelles varieront avec une extrême lenteur et les procédés anciens pourront être appliqués avec avantage aux équations différentielles qui définissent leurs variations. On pourra, par exemple, développer ces variables nouvelles suivant les puissances du temps. ”

“ Dans la nouvelle Géométrie, il y a le calcul différentiel, & le calcul intégral. Calculus differentialis, calculus integralis. Le calcul différentiel, est la méthode de différentier les quantités ou grandeurs ; c’est-à-dire, la méthode de trouver une quantité infiniment petite, qui prise une infinité de fois, égale une quantité ou grandeur donnée. Ce que nous appelons différences, les Anglois l’appellent fluxions. Le calcul intégral, est la manière de former les différences, c’est-à-dire, la somme ou la grandeur égale à une infiniment petite donnée, prise une infinité de fois. ”

“ On voit que, la différentiation des fonctions implicites se déduisant de celle des fonctions explicites par un seul principe constant, et la différentiation des fonctions à plusieurs variables se ramenant, par un autre principe fixe, à celle des fonctions à une seule variable, tout le calcul différentiel se trouve reposer, en dernière analyse, sur la différentiation des fonctions explicites à une seule variable, la seule qui s'exécute jamais directement. ”

“ Nous avons supposé jusqu'ici que la variation de x était nulle; c'est ce qui a toujours lieu lorsque les limites sont fixes; mais, comme dans la plupart des cas les limites sont variables, il est bon de voir ce que doit donner la variation de x. ”

“ On exprime communément les variables par les dernieres lettres de l’alphabet x, y, z.
Quelques auteurs au-lieu de se servir de l’expression de quantités variables, disent des fluentes. Voyez Fluente & Fluxion.
La quantité infiniment petite, dont une variable quelconque augmente ou diminue continuellement, est appellée par les uns sa différence ou différencielle, & par les autres, sa fluxion. Le calcul de ces sortes de quantités est ce qu’on appelle le calcul differentiel ou le calcul des fluxions. ”

“ « Le nombre des taches et les variations moyennes en déclinaison sont non seulement soumis à la même période de dix ans un tiers, mais ces périodes coïncident jusqu’aux moindres détails, de manière que le nombre des taches présente des maxima à la même époque que les variations. » ”

“ Etant données les faibles variations de cet indice, qui montre une assez grande homogénéité dans les groupements observés (variations de 4,5 unités) il semble que l'on peut lui accorder une certaine valeur. ”

“ Ainsi le calcul des fonctions dérivées relatives à une seule variable conduit naturellement à celui des fonctions dérivées relatives à différentes variables, lequel n'est, comme l'on voit, qu'une généralisation du premier, et dépend des mêmes principes. ”

“ Si par le point déterminé auquel répondent les valeurs des variables, nous supposons qu’on mène quatre lignes appartenant à chacun de ces systèmes, aux variations positives répondront les éléments
Nous désignerons les angles que les directions de ces éléments font avec une direction fixe arbitraire, par en comptant dans le sens où est placée la seconde par rapport à la première, de façon que soit une quantité positive : nous supposerons (ce qui est permis) que la quatrième est placée dans le même sens par rapport à la troisième, de façon que soit aussi une quantité positive. ”

“ Dans la première suite du tableau premier, au lieu de placer tous les zéros absolument nécessaires pour la formation de chaque quarré des dixaines de la racine et pour la composition de chaque terme de la série, nous observons que, pour faciliter uniquement l'impression, nous supprimons dans l'un et l'autre deux zéros , que nous indiquons en faire partie, à cause de l'exactitude du calcul. ”

“ Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition, outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites. ”

“ Ainsi, la sélection naturelle ne peut accumuler que les variations accidentelles qui se présentent. Or, toute variation ne peut avoir que trois causes : 1° l'action directe des conditions locales ou du milieu ambiant sur les générations successives; 2° la corrélation de croissance ; 3° l'hérédité, dont la réversion à des caractères plus ou moins anciens, et les variations résultant de croisements entre des variétés ou des individus plus ou moins distincts ne sont que les diverses conséquences. ”

“ Les notions sommaires que nous possédons maintenant sur les causes et sur le mécanisme de la variation nous montrent que la doctrine transformiste, qui repose essentiellement sur la variabilité des espèces, s'impose de plus en plus à tout esprit réfléchi. ”

“ Conservons les notations de l’art. 19. La méthode dont il s’agit consiste à regarder , , , etc., comme les véritables valeurs des inconnues , , , etc., et , , , etc., comme celles des fonctions , , , etc. Si toutes les observations ont une égale précision et que leur poids commun
soit pris pour unité, ces mêmes quantités, changées de signe, représentent, dans cette supposition, les erreurs des observations, et, par conséquent, d’après l’art. 15,
sera l’erreur moyenne des observations. ”