M.-R.-A. Barailon

“ Cette règle est suffisante pour trouver les cubes de la racine qui augmente d'unité en unité , de dizaine en dizaine , de centaine en centaine, de mille en mille , de dix mille en dix mille, etc. ; mais lorsque nous passons d'une dizaine à une autre immédiatement supérieure ou à une autre immédiatement inférieure, nous nous servons, dans l'un et l'autre cas, de la multiplication et de la soustraction. Nous avons vu la manière de nous en servir dans les six articles de la section II concernant les dizaines ascendantes qui se rapprochent de plus en plus de l'infini. ”

“ Les principes sont également uniformes tant pour la formation des puissances que pour l'extraction de leurs racines, au sujet de chaque puissance d'un degré impair, et se réduisent à partager l'exposant de la puissance supérieure d'un degré impair en deux parts inégales et seulement différentes d'une unité. La plus petite part désigne l'exposant de la puissance qui indique le nombre des termes à calculer, dont chacun doit être pris autant de fois que la racine a d'unités, pour former la puissance supérieure d'un degré impair correspondante à la racine cherchée. ”

“ La nouvelle méthode de multiplier un nombre par un autre en employant seulement les simples règles d'addition et de soustraction, consiste: 1°, à additionner le multiplicande et le multiplicateur, et à prendre la moitié de cette somme;
2°. à soustraire le multiplicateur du multiplicande, et à prendre la moitié de la différence ; 3°. à chercher le quarré de la moitié de la somme, et le quarré de la moitié de la différence; 4°. à ôter du premier quarré le second, pour avoir un reste, qui est exactement le produit du multiplicande par le multiplicateur. ”

“ Le calcul numérique est le calcul naturel des chiffres qui expriment séparément une valeur. Il est une lumière directe qui, en éclairant notre esprit et notre entendement, nous fait découvrir des méthodes simples, lumineuses et utiles dans les sciences mathématiques. C'est en décomposant, par la soustraction, les deuxième, troisième, quatrième, cinquième, sixième, septième, huitième, neuvième puissances que nous sommes parvenu à connaître les progressions arithmétiques de chacune d'elles. ”

“ Comme nous voulons généraliser ces principes certains, relatifs à la multiplication, il est essentiel de considérer le multiplicateur comme racine et de l'élever successivement au quarré et au cube, afin de pouvoir multiplier un nombre par un autre. ”

“ Nous observons que lorsque chaque puissance qui divise est numériquement plus grande que le reste du dividende sans avoir obtenu le quotient qu'on cherche, il faut employer la puissance inférieure pour continuer la division, et placer au quotient la puissance qui précède immédiatement celle qui lui sert de diviseur et qui lui correspond, afin d'éviter, par cette succession de puissances descendantes, de prendre la moitié, le quart, le huitième, des premières puissances, pour terminer cette opération , et d'avoir aussi au quotient des fractions qui rendent ce calcul très pénible. ”

“ Lorsque le reste du multiplicande est numériquement plus petit que le quarré, alors il faut en ôter le nombre suffisant du multiplicateur, et prendre le même nombre de fois le quarré correspondant pour second produit partiel. Le reste, qui ne peut pas être ôté du multiplicateur, comme plus grand, doit être multiplié par le multiplicateur, pour avoir le dernier produit partiel : le numérateur d'une fraction, en ôtant son dénominateur, est sa vraie valeur. ”

“ L'élévation des dixaines ascendantes de la racine qui se rapproche de plus en plus de l'infini nous a fait penser qu'il fallait employer les séries ascendantes pour nous faire trouver les règles de la formation de leurs cubes ; aussi, par une raison inverse, l'abaissement des dixaines descendantes de la racine qui se rapproche de plus en plus de ses unités nous a fait penser qu'il fallait employer les séries descendantes pour nous faire trouver les règles de la formation de leurs cubes. ”

“ Dans la première suite du tableau premier, au lieu de placer tous les zéros absolument nécessaires pour la formation de chaque quarré des dixaines de la racine et pour la composition de chaque terme de la série, nous observons que, pour faciliter uniquement l'impression, nous supprimons dans l'un et l'autre deux zéros , que nous indiquons en faire partie, à cause de l'exactitude du calcul. ”

“ Lorsqu'on passe des unités de la racine à ses dixaines, de ses dixaines à ses centaiues, etc., nous mettons, à chaque transition, un zéro à la racine, et trois zéros à son cube, et ensuite nous prenons la racine suivante, dont nous cherchons le cube. ”

“ Dans la transition d'une dixaine de la racine à une autre dixaine immédiatement supérieure, la transformation du 9 compris dans le dernier terme de la série qui a servi à trouver les quarrés des dernières dixaines, en deux zéros, qui en précèdent quelques autres, nous fait trouver le terme de la série ascendante appropriée à la dixaine supérieure de la racine et à son quarré, lequel terme de la même série, augmenté à chaque addition de sa différence, produit les termes suivans, qui, additionnés consécutivement, forment tous les quarrés des mêmes dixaines ascendantes. ”