Racine (mathématiques)

“ Ainsi ; on pourra facilement construire le point duquel menant des normales à la parabole, les abscisses de leurs pieds seront les trois racines de l’équation (12) .
Suivant que ce point tombera dans l’angle formé par les deux branches de la développée, ou sur l’une de ces deux branches ou hors de cet angle, l’équation (12) aura ses trois racines réelles et inégales ou deux racines égales ou enfin une seule racine réelle. En substituant les valeurs (13) dans les inégalités (3, 4) et dans l’équation (5) , on trouve d’ailleurs, en transposant
conformément aux théories connues. ”

“ THÉORÈME II. Si, après avoir divisé successivement chacun des coefficiens négatifs d’une équation par le coefficient du premier terme, on extrait de chaque quotient une racine dont le degré soit le nombre des termes positifs qui précèdent le coefficient négatif dont il s’agit, le plus grand des nombres qu’on obtiendra en augmentant chacune de ces racines d’une unité pourra être pris pour limite supérieure des racines de l’équation proposée. ”

“ La recherche d'un facteur quand on connaît un produit et qu'on sait que tous les facteurs de ce produit sont égaux, c'est l'extraction des racines. Nous avons défini ces mots racine deuxième, troisième, quatrième etc. (racine carrée, racine cubique) , mais nous avons renvoyé à dessein plus loin la recherche des procédés pour extraire les racines des nombres. ”

“ Lorsqu'un nombre entier n'a pas de racine cubique exacte en nombre entier, on prouve, comme pour le cas correspondant des racines carrées, que ce nombre n'a pas non plus de racine cubique exacte en fraction. ”

“ Solution. En extrayant la racine du premier terme du polynôme proposé, on obtiendra (§. II. Lemme I) le premier terme de la racine cherchée. D’un autre côté, les premiers termes de cette racine étant trouvés, si, après avoir retranché la puissance de l’ensemble de ces termes du polynôme proposé, on divise le premier terme du reste par fois la puissance du premier terme de cette racine, on obtiendra pour résultat (§. II. Lemme II) le terme de cette même racine. Ainsi on a, à la fois, par ce qui précède, 1.o le moyen d’obtenir le premier terme de la racine ”

“ Si, par exemple, on demandait la racine entièrement réelle, il faudrait supposer d’où ou ou ce qui ferait retomber sur la valeur
3. Ce qui précède suppose qu’une au moins des valeurs de est réelle ; mais si est pair et négatif, il n’y en a pour lors que d’imaginaires. Dans ce cas, nous désignerons par la valeur positive de purement imaginaire, et nous aurons
En développant et égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires de l’équation résultante, nous trouverons
d’où
et, par suite,
ce qui donne
4. ”

“ Mais quand les coefficients d’une équation ne seront pas tous numériques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur rationnel un diviseur dont les coefficients s’exprimeraient en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
Il y a plus : on pourra convenir de regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle d’un certain nombre de quantités déterminées, supposées connues a priori. Par exemple, on pourra choisir une certaine racine d’un nombre entier, et regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle de ce radical. ”

“ Maintenant nous observerons que, pour toutes les valeurs de qui donnent le même signe à la réalité, ou généralement la forme des racines différentes de est absolument indépendante de la valeur de même, de manière qu’on peut mettre une valeur quelconque pour par exemple, pour un cosinus positif et pour un cosinus négatif, sans passer d’une racine réelle a une racine imaginaire, ou généralement de la forme d’une racine quelconque, correspondant à une certaine valeur de à une autre forme. ”

“ Il faut concevoir à la suite du nombre proposé , deux fois autant de zéros qu'on voudra avoir de décimales à la racine; faire l'opération comme à l'ordinaire, et séparer ensuite par une virgule, sur la droite de la racine, moitié autant de décimales qu'on a mis de zéros à la suite du nombre proposé. En effet [54] , le produit de la multiplication devant avoir autant de décimales qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble, le carré (dont les deux facteurs sont égaux) doit donc en avoir le double de ce qu'a l'un des facteurs, c'est-à-dire, le double de ce que doit avoir la racine. ”

“ III. Une équation numérique en , d’un degré quelconque, étant donnée, et le nombre de ses racines réelles étant supposé connu, on peut toujours obtenir, pour chacune de ces racines, deux limites qui ne comprennent entre elles que cette seule racine, et savoir conséquemment combien elle a de racine positives et de racines réelles négatives. ”

“ III. Cela posé, l’équation du degré , qui donne toutes les solutions d’un problème susceptible d’être résolu au moyen de n équations du second degré, est nécessairement irréductible, c’est-à-dire qu’elle ne peut avoir de racines communes avec une équation de degré moindre dont les coefficients soient des fonctions rationnelles de données
En effet, supposons qu’une équation à coefficients rationnels soit satisfaite par une racine de l’équation , en attribuant certaines valeurs convenables aux quantités . ”

“ Mot de je ne sais quel mathématicien après la lecture de l’Iphigénie de Racine. Lorsque votre imagination s’éveille, laissez-la voler à sa fantaisie. Ne prenez pas de grosses balances pour peser des toiles d’araignée. ”

“ Remarque I. Quelques auteurs (Legendre, Supplément à la théorie des nombres) disent qu’après avoir trouvé une racine approchée il faut diviser la proposée par et chercher les racines du quotient. Ce procédé est très-vicieux ; parce qu’en négligeant le reste de la division, on altère le quotient qui n’est plus exact. Son défaut d’exactitude peut changer des racines imaginaires en racines réelles, égales ou inégales et vice versâ ; et l’on sent que cela arrivera sur-tout quand l’axe de la courbe passera fort près d’un sommet. ”

“ On a, de cette manière, l’équation du second degré
laquelle donne, pour les valeurs approchées des deux autres racines,
Ce que nous venons de dire du troisième degré s’étend, comme l’on sait, à tous les autres ; avec cette seule différence qu’on n’y trouve plus les mêmes facilités pour résoudre l’équation privée de la racine déjà obtenue. Mais, dans tous les cas, ce procédé a l’avantage de réduire d’une unité le degré de l’équation à résoudre ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Or, soient ces deux sommes ; puisque et donnent des résultats de signes contraires, il faut que rende plus grand que et que au contraire, rende plus grand que ou réciproquement. Mais nous venons de prouver que, dans cette hypothèse, on peut toujours trouver, entre et un nombre qui rende la différence, entre et moindre que toute quantité donnée ; on peut donc toujours trouver une racine réelle et positive de l’équation proposée, et cette racine est entre et
20. ”

“ On aura de plus et la racine correspondante de sera ou ou, enfin, Les exemples suivans éclairciront cette méthode ; et nous apprendrons aussi à rendre quarrée la fonction du moins lorsque cela est possible. ”

“ Dans les extractions des racines, pour éviter toute méprise , lorsqu'il entrera des compléments arithmétiques, dans les logarithmes dont on fera usage, on aura soin d'ajouter ou d'ôter à la caractéristique autant de dizaines qu'il
est nécessaire, pour que ce dont elle sera trop forte le soit précisément d'autant de dizaines qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque le degré de la racine; et ayant, conformément à la règle ordinaire, divisé par -le nombre qui marque le degré de la racine, la caractéristique sera trop forte précisément de 10 unités. ”

“ Par M. de Maizière, professeur de mathématiques spéciales
au lycée de Versailles.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ I. On sait que l’emploi des dérivées successives conduit, d’une manière sure, au nombre entier immédiatement supérieur à la plus grande racine additive d’une équation ; que cette méthode est très-rapide, si cette plus grande racine est un petit nombre ; mais qu’elle devient très-pénible, et pour ainsi dire impraticable, lorsqu’au contraire la plus grande racine additive est un grand nombre, surtout si l’équation est d’un degré un peu élevé. ”

“ Admettons ensuite deux racines imaginaires dans Il y en aura également deux dans et sa racine réelle sera positive ; ce qui exige que son dernier terme soit négatif ; on aura donc, pour les formes possibles ; dans la succession des signes de ses termes
une variation et deux permanences ;
trois variations. Ces indices sont donc plus étendus que ceux du cas précédent ; car le premier, une variation et deux permanences est celui de la réalité des quatre racines de la proposée ; donc, si je ne m’abuse (et je désire que cela soit) le théorème est en défaut dès le quatrième degré. ”

“ De là on déduit
ou, en décomposant, divisant par et extrayant la racine quarrée
et on aurait de même
et, comme on a
il viendra, en substituant,
et de là encore
formules très-commodes pour le calcul par logarithmes.
Passons à la recherche de l’angle des diagonales ”

“ On écrira le quotient à côté du premier chiffre de la racine , et on le portera ensuite à côté du double des dizaines qui a servi de diviseur.
Enfin on multipliera par ce même quotient tous les chiffres qui se trouveront sur cette dernière ligne, et on retranchera leurs produits, à mesure qu'on les trouvera, des chiffres qui leur correspondent dans la ligne au-dessus.
Achevons d'éclaircir ceci par un exemple.
grand d'une unité que celui que l'on a à la racine. La même chose auroit lieu, à plus forte raison, si le reste étoit plus grand que le double de la racine plus l'unité. ”

“ RÈGLE. Quand on a écrit la racine du plus grand carré contenu dans un nombre donné, si le reste est égal ou inférieur à la racine trouvée, on conserve cette racine telle qu'elle est; si le reste est plus grand que la racine, on augmente cette racine d'une unité. ”

“ Evaluation des racines carrees.
Les nombres dont on a besoin de chercher la racine dans la pratique ne sont pas toujours des carrés parfaits comme ceux que nous venons de prendre pour modèles. Il arrive même le plus souvent qu'on doit opérer sur des nombres irrationnels ; alors on est obligé d'évaluer leur racine approximativement; mais quelque grande que soit cette approximation, vous n'arriverez jamais à un nombre qui puisse être exprimé par des chiffres. Par exemple, entre 4 et 9, carré des nombres consécutifs 2 et 3, il y a quatre nombres 5, 6, 7, 8 dont on ne peut trouver la racine. ”