Normale (géométrie)

“ Nous avons vu que les équations de la normale sont
et pour que cette droite coupe l'axe , il faut que ces équations et celles de l'axe aient lieu en même tems, indépendamment des valeurs de x, y, z, ou que, en éliminant x, y , z de ces quatre équations, l'équation résultante soit satisfaite. Or, l'élimination de x , y , z donne l'équation (A) ; donc cette équation exprime qu'une surface est de révolution.
Seconde manière, en quantités finies.
3. Les surfaces de révolution ont un second caractère indépendant de la nature de la courbe génératrice ”

“ Soit un système de forces sollicitant un corps solide; que, pour chaque point m de l'espace, on conçoive le plan principal de ce système de forces, relatif à ce point, et la normale à ce plan, menée par ce point : Celles de toutes ces normales qui passeront par un point donné de l'espace, formeront un cône du second degré ; et les points m par lesquels elles seront menées, seront sur une courbe à double courbure, du troisième degré.
(14) Les tangentes aux différents points d'une courbe à double courbure, du troisième degré, forment une surface développable du quatrième degré ”

“ La normale d'une surface courbe étant la perpendiculaire menée au plan tangent, par le point de contact (3og) , il est clair que tous les rayons de la sphère sont des normales ou que toutes les normales de la surface sphérique passent par le centre.
Conséquemment, le plan normal, c'est-à-dire celui qui contient une normale, passe par le centre et coupe la sphère selon un grand cercle.
ApPL. (a) : Quand le tourneur fait une boule à vue , il dirige son dscau plan de manière à le rendre constamment tangentiel à la sur-
face qu'il veut produire. ”

“ La normale n'2r fait connaître n'lr ; il faut projeter l' en l et joindre ni.
Les projections a, l, étant sur une parallèle à xy, la droite (al, AT) est parallèle au plan vertical de projection et appartient au plan des normales; donc, de n' il faut abaisser la perpendiculaire n' t' sur hi.
Pour avoir la projection horizontale nt, menons une horizon-
Il faut mener la ligne n'h' jusqu'à la rencontre de r
\
aie (., p', rp) du plan des normales; r' déterminerait mal la projection r; mais r', donne ri} et par suite r; puis on abaisse
la perpendiculaire nt sur rp. ”

“ Soient les coordonnées de la courbe donnée, celle de la courbe cherchée, et à la longueur commune des normales à la première terminées à la seconde. Soit un point de la première courbe ; et soit le point correspondant de la seconde ; l’équation de la normale à la première courbe, au point particulier que l’on considère sera, comme l’on sait,
puis donc que le point est sur cette normale, et à une distance de son point de départ, on doit avoir, à la fois,
ou, en supprimant les accens, désormais inutiles,
équations qui résolvent le problème. ”

“ On demande l’équation la plus générale de la courbe qui jouit de cette propriété que, si par chacun de ses points on lui mène une normale terminée à l’axe des abscisses, cette normale ait même longueur que l’ordonnée qui a son pied au même point de cet axe ? ”

“ Étant données deux normales à une parabole, mener, par leur point de concours, une troisième normale à la courbe ? Si deux des normales se confondent, auquel cas elles doivent être tangentes à la développée, la distance de leur pied à l’axe sera moitié de la distance de la troisième au même axe ; ce qui fournit un moyen simple de résoudre ce problème : Étant donnée une normale à la parabole, trouver en quel point elle coupe la développée de cette courbe ? développée que l’on suppose d’ailleurs n’être point encore tracée. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ THÉORÈME. Si un point est tellement situé, sur une surface quelconque, par rapport à trois autres points hors de cette surface, que la somme des produits de ses distances à ces trois points par des coefficiens soit un minimum ; le plan conduit par la normale à la surface au point et par l’une quelconque des trois droites divisera l’angle des deux autres en deux parties dont les sinus seront en raison inverse des coefficiens qui répondent à ces deux dernières droites. ”

“ À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre, par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont elle est susceptible. ”

“ S’agit-il de mener un plan tangent ou une normale à une surface courbe, par l’un quelconque de ses points ; on y transportera d’abord l’origine, en changeant respectivement, dans son équation en l’ensemble des termes indépendans de dans l’équation résultante, égalé à zéro, donnera l’équation de condition ; exprimant que le point est sur la surface courbe ; et l’ensemble des termes d’une seule dimension, par rapport aux mêmes variables, égalé pareillement à zéro ”

“ Cet élément devenu infiniment grand par le calcul intégral, ou ce qui est la même chose, changé en une grandeur finie, est la surface entière parabolique.
La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ La raison en est bien simple : c'est que les objets qui peuvent devenir imaginaires n'entrent pas sous forme explicite dans les théorèmes dont on fait usage, mais s'y trouvent représentés par des éléments réels ; de même que les racines d'une équation n'entrent pas explicitement dans les calculs de la Géométrie analytique, mais y sont représentées collectivement par les coefficients de cette équation. ”

“ PREMIÈREMENT, l'équation (i) , ne renfermant plus les termes du premier degré en .x, y, z, reste la même lorsqu'on y change -+- x, + y, + z en — x, —y, - z; ce qui prouve que toute droite menée par la nouvelle origine et terminée de part et d'autre par la surface, est divisée en deux parties égales en ce point. Donc (130) toutes les surfaces comprises dans l'équation ( î ) ont un centre, qui n'est autre chose que l'origine actuelle des coordonnées. ”

“ Supposons actuellement que, x et y désignant toujours les distances d'un point à deux axes rectangulaires ou obliques, la résolution d'une question ait conduit à une équation générale entre x et y, que nous représenterons par F (Le caractère F s'énonce : fonction de.) Je dis que, quand on voudra fixer la position du point qui satisfait à l'énoncé de la question ou dont les coordonnées vérifient l'équation, au lieu d'un point, on en obtiendra une infinité; et la série de ces points formera une ligne qui sera droite ou courbe, suivant la nature et le degré de l'équation. ”

“ Les constantes m, n, p, qui entrent dans l'équation du plan, sont faciles à définir. Ainsi les quantités m et n ne sont autre chose que les tangentes des angles que forment les traces DB, DC avec les axes des x et desy. Quant à la quantité p, on l'appelle le z à l'origine : c'est la distance de l'ôrigine au point où le plan rencontre l'axe des z. ”

“ On multiplie une fraction par un nombre entier , puis par un nombre quelconque . On arrive au cas des incommensurables , c' est-à-dire des grandeurs dont le rapport ne peut être exprimé par aucun nombre , ni entier ni fractionnaire . – Il en est de même en géométrie . La géométrie dans l' espace s' appuie sur la géométrie plane , qui en est un cas spécial ; car toute figure plane peut être considérée comme une figure dans l' espace dont une dimension est nulle . ”

“ Une fois le point de départ des normales déterminé, si l’on veut connaître à peu près les valeurs et les signes des racines, il faudra mener ces normales, et déterminer les abscisses de leurs pieds qui seront les racines cherchées. Ces normales seront faciles à tracer par tâtonnement, puisqu’il ne s’agira que de chercher à décrire de leur point de départ, comme centre commun, des arcs de cercles tangens à la parabole ; leurs points de contact seront les pieds des normales. S’il arrivait que l’un d’eux touchât et coupât à la fois la courbe, l’équation (12) aurait deux racines égales ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points,relatif à un plan donné, est le centre de gravité de ces points, supposés matériels, et ayant leurs masses en raison inverse des distances de ces points au plan donné. ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ Remarquons d'ailleurs que l'équation pourrait renfermer les rectangles des variables ainsi que les carrés, sans que la surface cessât d'avoir un centre, et d'être rapportée à ce centre comme origine, puisque la condition caractéristique du centre serait encore remplie. On pourrait même supposer la surface rapportée à des axes obliques menés par cette origine.
Ainsi, dans le cas d'axes quelconques, une équation telle que A H- A'J * + An x.2 + Dyz; + B'.rz -I- B"xy + D = o,
dont plusieurs coefficients peuvent être nuls, représente une surface qui a un centre, et ce centre est l'origine. ”

“ PROBLÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTiVE. (Changement des plans de projection et rotation des figures autour d'un axe.)
42. Lorsque l'équation d'une ligne ou d'une surface est trop compliquée, on cherche, en analyse, à la simplifier en rapportant la courbe ou la surface à de nouveaux axes choisis de manière à faire disparaître certains termes, comme par exemple les rectangles des coordonnées et les termes du premier degré dans les équations des courbes ou des surfaces du second ordre. ”

“ Les sujets de composition sont adressés au président de la commission par le Sous-Secrétaire d'État.
Les épreuves orales et pratiques ont lieu à Paris.
ART. 7. — Le professorat industriel et le professorat commercial compren- nent deux séries d'épreuves : -
PROFESSORAT INDUSTRIEL
Première série
Les matières exigées sont : La géométrie et la géométrie descriptive; Les compléments de mathématiques; La physique et la chimie industrielles; Le dessin industriel; Le travail manuel; La technologie (technologie du bâtiment, organes de machines) . ”

“ Un procédé analogue peut aussi être employé à déterminer le rayon de courbure d’une section normale quelconque faite à une surface courbe. Retournons donc à nos points du §. précédent. Concevons une section par un plan passant par le dernier de ces points et par la normale au premier ; concevons un autre plan perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint ces deux points ; ce dernier plan coupera la normale en un point qui deviendra le centre de courbure de la section normale pour le point de cette section, lorsque le point viendra coïncider avec lui. ”

“ Considérons, en effet, l'équation (a) P - niQ = o, où m désigne un coefficient arbitraire ; cette équation étant vérifiée, en même temps que les deux premières, devra représenter la même courbe qu'elles. D'ailleurs, disposons de m de manière que la courbe (a) passe par un point quelconque du plan ; cela est toujours possible. Alors l'équation (∝) représentera une courbe du second degré et un point : toute droite passant par ce point coupera la courbe en trois points et en fera par conséquent partie. C'est-à-dire que l'équation (∝) sera vérifiée pour tous les points du plan ”

“ On doit remarquer cependant que, si l'équation (1) , outre-les variables x, y, z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces différentes que l'on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l'assemblage d'une infinité de surfaces ou de couches infiniment minces, qui formeraient alors, à proprement parler, un solide. ”

“ Il suit de ce qui précède que la surface courbe à laquelle appartient l'équation aux différences partielles du premier ordre et linéaire F { Pp + Qq x, y, z} — o , de quelque manière que les quantités P, Q soient composées des trois coordonnées x, y, z, peut toujours être regardée comme engendrée par le mouvement d'une courbe déterminée, mobile et variable de forme en vertu de la variation de deux paramètres dont l'un est une fonction arbitraire de l'autre , et dans les équations de laquelle les derivées de cette fonction arbitraire n'entrent pas. ”