Plan tangent

“ Nous venons de voir de quelle manière les sections planes obliques sont liées entre elles et à la section normale, lorsque les plans coupant passent par une même tangente. Examinons présentement la relation qui existe entre les diverses sections normales.
Nous pouvons, dans cette nouvelle recherche, admettre une simplification de plus : nous pouvons supposer qu’on a pris pour plan des le plan tangent lui-même, en prenant son point de contact pour origine ”

“ Pour les surfaces de révolution, tout parallèle, passant par un point donné est une section circulaire, dont là tangente, jointe à la tangente au méridien du même point, détermine le plan tangent.
10. Quant au plan tangent aux surfaces gauches, en général on substitue à ces surfaces d'autres surfaces gauches plus simples, qui donnent en chaque point deux génératrices rectilignes appartenant à deux systèmes différents; chaque génératrice étant sa propre tangente, par conséquent leur plan est le plan tangent demandé. ”

“ Dans plusieurs cas où la ligne normale à la surface est facile à reconnaître par des conditions de symétrie, on obtient le plan tangent en menant par le point de contact un plan perpendiculaire à la normale.
15. Comme conséquence de ce qui a été indiqué pour le plan tangent au cylindre, on voit que toute courbe
qui a une tangente dans l'espace, aura pour projection sur un plan quelconque une courbe à laquelle la projection de la tangente sera elle-même tangente. ”

“ Un plan normal étant celui qui passe par la normale, il y en a en chaque point une infinité.
5. La tangente à la courbe d'intersection de deux surfaces en un point, est l'intersection des deux plans tangents en ce point à ces surfaces; car cette droite a un élément commun avec la courbe, et elle n'en a qu'un seul.
Voici les surfaces le plus généralement considérées relativement à leurs plans tangents.
PLANS TANGENTS AU CYLINDRE, AU CONE ET AUX SURFACES RÉGLÉES EN GÉNÉRAL.
6. Le plan tangent au cylindre en un point contient toute la génératrice du cylindre qui passe par ce point. ”

“ Il serait superflu de citer ici un plus grand nombre d'exemples pour établir clairement, en général, que, quel que soit le mode de génération, toutes les surfaces d'une même famille naturelle sont susceptibles d'être représentées analytiquement par une même équation aux différences partielles contenant des constantes arbitraires, d'après une propriété commune de leur plan tangent. ”

“ Pour obtenir une grande exactitude, on conçoit une suite de plans tangents perpendiculaires au plan sur lequel on veut projeter la surface, ou, ce qui revient au même, parallèle à une droite pp' perpendiculaire au plan de projection, on détermine le point de tangence pour chaque plan tangent, et l'on projette la courbe qui contient tous ces points de tangence. ”

“ Voici le théorème analogue dans les surfaces du second degré : La normale et le plan tangent, menés en un point quelconque d'une surface du second degré, rencontrent chacun des trois plans diamétraux principaux de la surface 2, en un point et suivant une droite; Ce point est toujours le pôle de la droite, par rapport à une certaine conique, située dans le plan principal; Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface, cette conique est une ellipse; Sur le plan du grand et du petit axe, elle est une hyperbole; Et sur le plan du moyen et du petit axe, elle est toujours imaginaire. ”

“ Pour construire le plan tangent dont nous venons de parler, faisons-lui faire un quart de révolution, ainsi qu'au cylindre latéral qu'il touche, et au point de vue, autour de la verticale C'C élevée par le centre C' de la voûte d'arêtes. ”

“ Or, de toutes les surfaces en contact avec une sphère, celle qui répond le mieux au second emploi, au second but, est celle d'un plan tangent à la sphère ; le contact étant réduit à un point se déplace avec la plus grande facilité, mais il offre peu de stabilité ”

“ Cela posé, je dis que tout plan tangent aux deux.sphères C et CI passe par l'un des centres 0 et 01 de similitude. En effet, les rayons menés aux deux points de contact sont perpendiculaires au plan tangent et par suite parallèles; la droite qui joint leurs extrémités rencontre dès lors la droite CC' au point 0 ou au point 01, selon que ces rayons parallèles sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire. Le plan tangent passe donc par le point 0, s'il touche extérieurement les deux sphères; il passe au contraire par le point 0', s'il les touche intérieurement. ”

“ N° H. NOTE sur les changements des plans de projection. 78 N° 2. NOTE sur la démonstration de la propriété dont jouit le plan tangent, savoir : que le plan tangent en un point d'une surface, quel que soit le mode de génération de cette surface, contient les tangentes à toutes les courbes qui, tracées sur la surface, se croisent au poinlûecontacl. 74
Pages. ”

“ Toute analyse vraiment sérieuse aboutit toujours à la découverte d’un élément primordial. De tout point de la surface de la terre, une ligne droite perpendiculaire à la tangente aboutit à son centre : il en est ainsi de la voie logique, qui, de toutes choses, même des manifestations éphémères, conduit directement au centre de la force. ”

“ La ligne se forme par le mouvement d’un point qui s’oppose à lui-même ; le plan naît d’un mouvement analogue de la ligne, et le solide d’un mouvement semblable du plan. Les mathématiques sont pleines de ces aperçus dualistiques : le dualisme, employé seul, n’en est pas moins stérile pour l’intelligence des mathématiques. Essayez de déduire, par le dualisme, de l’idée de ligne celle de triangle ? ”

“ Conséquemment, tout déplacement d'une figure dans son plan n'est autre qu'une rotation autour d'un point qui reste fixe.
Méthode des tangentes. — Si l'on suppose le déplacement infiniment petit, il en résulte une méthode pour mener les normales, et conséquemment les tangentes, aux points d'une courbe, quand on peut considérer celle-ci comme décrite par quelque point d'une figure en mouvement, ce. dont il existe beaucoup d'exemples. ”

“ Depuis deux mille ans, il est rigoureusement démontré qu’aucune ligne droite, partant du sommet de l’angle de contingence, ne saurait être comprise entre ses deux côtés, qu’elle ne saurait passer entre la courbe et la tangente. ”

“ Quels que soient le mouvement du système et les variations qu’il éprouve par l’action mutuelle de ses parties, la somme des produits de chaque corps par l’aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui, passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum conserve une situation parallèle pendant le mouvement du système ”

“ Sous ce nouveau rapport, la perpendicularité de ces deux plans détermine au contraire l'absence d'action, soit attractive, soit répulsive: il y a attraction tant que l'angle est aigu, et elle augmente à mesure qu'il diminue, son maximum ayant lieu au moment de la coïncidence; quand l'angle est obtus, l'action devient répulsive et présente une intensité d'autant plus grande que chaque plan s'approche davantage du prolongement de l'autre, situation qui produit le maximum de répulsion. ”

“ Si l'on suppose, en effet, qu'un point se meuve sur un plan sans que son cours soit déterminé en aucune manière, on devra évidemment regarder ses deux coordonnées, dans quelque système que ce soit, comme deux variables entièrement indépendantes l'une de l'autre. ”

“ Mais voici l’analyse audacieuse. Je lance la balle obliquement ; il me plaît de considérer ce mouvement comme résultant de deux autres que ferait la bille en même temps, l’un normal au plan, et l’autre parallèle au plan. Le premier est renvoyé normalement, le second se continue sans obstacle, ce qui donne, par une construction simple, l’égalité de l’angle de réflexion à l’angle d’incidence. Rien n’éclaire mieux que la peur des esprits faibles devant cette hardie décomposition. ”

“ S’il est une chose évidente, c’est qu’un plan quelconque, digne du nom de plan, doit avoir été soigneusement élaboré en vue du dénoûment, avant que la plume attaque le papier. Ce n’est qu’en ayant sans cesse la pensée du dénoûment devant les yeux que nous pouvons donner à un plan son indispensable physionomie de logique et de causalité, — en faisant que tous les incidents, et particulièrement le ton général, tendent vers le développement de l’intention. ”

“ Quand j’étudiais la géométrie — ça n’était déjà pas rigolo ! — j’avais une horreur particulière pour la circonférence. Oh ! le supplice de cette ligne qui tourne en rond sans commencement ni fin... Jamais je n’ai pu m’appliquer aux problèmes qui concernaient la circonférence. Je n’avais de soulagement que quand je pouvais mener la tangente. La tangente, en voilà une qui a de la veine ! Elle touche la circonférence juste le temps nécessaire pour se rendre compte de ce que c’est, et apprécier son bonheur quand elle file, ouf ! dans l’infini... ”

“ On peut se représenter une droite par l’imagination, et on peut la concevoir aussi par la raison. On peut considérer son image ou sa définition. On peut l’étudier en elle-même ou dans les élémens générateurs. Je puis me représenter une droite toute faite, mais je puis aussi la résoudre en ses facteurs. Je puis assister à sa formation, et dégager les élémens abstraits qui l’engendrent, comme j’ai assisté à la formation du cylindre et dégagé le rectangle en révolution qui l’a engendré. ”

“ Nous savons tous comment, avant définition rigoureuse, on fait observer aux débutants qu’ils ont déjà l’idée de la continuité. On trace devant eux une belle courbe bien nette, et l’on dit, appliquant une règle contre ce contour : « Vous voyez qu’en chaque point il y a une tangente. » ”

“ Et remarquez que, puisqu'il est naturellement aisé de concevoir que, pour faire que la réflexion se fasse à angles égaux, le mouvement ne doit en aucune façon être augmenté ni diminué par la rencontre du plan, il semble que la raison nous doive aussi naturellement porter à croire que, lorsque ce plan l'augmente ou la diminue, l'angle de réflexion doit être à proportion ou plus grand ou plus petit que celui d'incidence, et non pas qu'il doive toujours être égal, comme il suit de votre raisonnement qui pour cela vous doit être suspect, quoiqu'il soit très ingénieux. ”

“ Nous nous efforçons d’atteindre en chaque objet les éléments générateurs, comme nous les atteignons dans la sphère, dans le cylindre, dans le cercle, dans le cône, et dans tous les composés mathématiques. Nous réduisons les corps naturels à deux ou trois sortes de mouvements, attraction, vibration, polarisation, comme nous réduisons les corps géométriques à deux ou trois sortes d’éléments, le point, le mouvement, la ligne, et nous jugeons notre science partielle ou complète, provisoire ou définitive, suivant que cette réduction est approximative ou absolue, imparfaite ou achevée. ”

“ Voyez aussi sa Géométrie descriptive, page 130. ↑ Comme on peut varier, à l’infini, la direction de la droite , il s’ensuit qu’au moyen de la solution de ce problème, on peut déterminer tant de points qu’on voudra de la trace de la surface gauche sur le plan et construire, pour chacun de ces points, la tangente à cette trace. ”

“ Dans ce système, la droite se transforme en conique ayant son foyer au centre de transformation ; le plan, en surface de révolution du second degré. On donne la construction par la règle , du point, de la tangente, du rayon de courbure de la figure transformée ; ainsi que les applications les - plus intéressantes propres à ce système. ”

“ N’est-ce pas à priori que l’esprit construit le triangle, le cercle, la sphère, le mouvement uniforme, les forces parallèles et, en général, les définitions mathématiques et mécaniques ? Ces définitions exactes, complètes, adéquates peuvent-elles dériver de l’existence ? Si l’esprit n’en a pas créé la matière, il en a créé la forme, car elles sont des modèles que la nature ne peut égaler. Il n’y a pas de droite réelle, de cercle réel, d’équilibre réel. ”

“ Qu’ils veuillent bien alors nous confier le secret qu’ils possèdent pour construire les sciences mathématiques et physiques sans aucune de ces idées qu’ils appellent absolues, comme les idées de cause, d’unité, d’esprit, de temps, d’identité ? Quoi ! ils veulent construire la mécanique rationnelle sans les notions de force et de temps, l’arithmétique et l’algèbre sans l’idée de l’unité, la géométrie sans l’idée de l’espace et sans les axiomes ? ”

“ Leurs concepts, malgré les définitions très précises, sont doués chez l'élève d'évolution psychologique. Le concept du plan, par exemple, dans la première leçon de géométrie dans l'espace, s'enrichit chez l'élève de toutes les propriétés étudiées dans les chapitres sur les droites et les plans parallèles et perpendiculaires. Si dans un problème l'élève trouve que le lieu géométrique demandé est un plan, ce n'est pas le concept pauvre de la première leçon qui lui aurait servi, c'est le complexe de complexes enrichi par les leçons qui donne la solution. ”

“ Le même auteur ajoute que nous croyons par une nécessité de pensée qu'une tangente ne touche un cercle qu'en un seul point, et que pourtant cette croyance nécessaire, bien loin d'être le résultat de l'expérience uniforme, en reçoit un démenti, puisque les tangentes et les cercles de l'expérience se touchent par plus d'un point, se fondent dans une partie appréciable de leur étendue. ”

“ Entre ces deux pôles il y a des degrés intermédiaires... L’esprit en soi n’est ni dans le temps, ni dans l’espace ; mais quand il commence à entrer dans le temps et dans l’espace, son action, qui tombe sur le variable, devient elle-même variable... ”

“ N. B. — Comme du point K il est toujours possible de mener deux tangentes KD, KD', il s'ensuit que l'on a deux points M et M' qui satisfont à la question. Ainsi, le problème admet, en général, deux solutions.
Ce résultat s'accorde avec celui de la première méthode employée pour résoudre le problème, puisque l'on est parvenu à une équation du second degré.
22. Remarque. — La construction de la tangente DK, qui a conduit d'une manière si simple à la résolution du problème, est une de ces idées qui s'offrent rarement à l'esprit de ceux qui n'ont pas déjà une grande habitude. ”

“ « Ce gâchis est vraiment trop pourri pour qu’on le manipule — dit quelque part M. Wells [5] . — Nous reprenons sur nouveaux frais. Faisons d’abord table rase... et recommençons. » Recommençons sur un plan rationnel : tout est là. S’il n’y a rien à faire du gâchis actuel, c’est précisément parce qu’il est irrationnel. La vie d’aujourd’hui n’est pas organisée ; elle s’est développée au hasard, empiriquement. Cela se voit partout, dans l’ensemble et dans le détail. Considérez, à votre choix, un des aspects familiers de notre monde, ce paysage de ville, par exemple ”