Pierre de Fermat

“ Ce que vous dites vous-même être contraire aux lois inviolables de la pure Géométrie et qui même est contraire à cette loi de la nature, qui est que chaque corps continue toujours de demeurer dans le même état autant qu'il se peut, et que jamais il ne le change que par la rencontre des autres. Le moyen donc de concevoir qu'un corps puisse tout d'un coup, étant arrivé au point B, perdre la moitié de sa vitesse, lorsqu'il ne se rencontre rien qui la lui puisse faire perdre! ”

“ Dans la condition véritable de ces trois joueurs, il n'y en a qu'un qui peut gagner, car la condition est que, dès qu'un a gagné, le jeu cesse. Mais, en la condition feinte, deux peuvent atteindre le nombre de leurs parties : savoir, si le premier en gagne une qui lui manque, et un des autres, deux qui lui manquent; car ils n'auront joué que trois parties, au lieu que, quand il n'y avoit que deux joueurs, la condition feinte et la véritable convenoient pour les avantages des joueurs en tout; et c'est ce qui met l'extrême différence entre la condition feinte et la véritable. ”

“ Ne suffiroit-il pas, Monsieur, aux amis de M. Descartes que je lui laisse la possession libre de son théorème? N'aura-t-il pas assez de gloire d'avoir connu les démarches de la nature dans la première vue et sans l'aide d'aucune démonstration? Je lui cède donc la victoire et le champ de bataille, et je me contente que M. Clerselier me laisse entrer du moins dans la société de la preuve de cette vérité si importante, et qui doit produire des conséquences si admirables. ”

“ Il semble que, comme la lumière est la plus noble production de la nature, elle la laisse aussi agir d'une manière la plus régulière et la plus universelle, et qu'elle a fait que dans son action tout ce qu'elle emploie de principes dans toutes les autres causes se rencontrent tous ensemble dans celle-ci.
Ainsi, pource que les mouvemens des autres corps dépendent de la force qui les meut et de la détermination de cette force, la lumière, suivant ces lois, tantôt se continue en ligne droite et tantôt s'en écarte, en s'approchant ou s'éloignant de la perpendiculaire. ”

“ Mais la démonstration de Beaugrand est absolument manquée comme fond et comme forme, et elle donnera lieu, dans la correspondance entre Mersenne et Descartes, à de fréquentes railleries de ce dernier contre le géostaticien.
Cette démonstration revient en fait à admettre que, si un corps pesant est suspendu par un fil sans gravité à l'extrémité d'un levier parallèle à l'horizon et maintenu d'ailleurs en équilibre, cet équilibre ne sera jamais détruit, quand même on allongerait, autant que l'on voudra, le fil de suspension supposé dirigé vers le centre de la Terre. ”

“ Car, pour vous parler franchement de la Géométrie, je la trouve le plus haut exercice de l'esprit : mais en même temps je la connois pour si inutile que je fais peu de différence entre un homme qui n'est que géomètre et un habile artisan. Aussi je l'appelle le plus beau métier du monde, mais enfin ce n'est qu'un métier, et j'ai dit souvent qu'elle est bonne pour faire l'essai, mais non pas l'emploi de notre force. ”

“ La proportion du cône, que le triangle équilatéral fait, à la sphère est aisée, puisque les deux termes sont donnés en même espèce de corps, car la sphère peut se réduire en un cône par les propositions d'Archimède. Or, quand les deux termes sont donnés, vous ne doutez pas que la proportion ne soit donnée; vous n'ignorez pas la méthode de mettre toutes proportions, quoique irrationelles, en nombres entiers et approchés si près qu'on voudra. ”

“ Et en ce cas nous ne mettons point d'autre différence entre les poids et les autres puissances, sinon que les poids tendent et aspirent tous vers le centre des choses pesantes, et les puissances peuvent être entendues aspirer vers toutes les parties de l'univers avec autant, plus ou moins de force que les poids. ”

“ Je crois vous avoir fait connoître par là que la méthode des combinaisons est bonne entre deux joueurs par accident, comme elle l'est aussi quelquefois entre trois joueurs, comme quand il manque une partie à l'un, une à l'autre et deux à l'autre, parce qu'en ce cas le nombre des parties dans lesquelles le jeu sera achevé ne suffit pas pour en faire gagner deux; mais elle n'est pas générale et n'est bonne généralement qu'au cas seulement qu'on soit astreint à jouer un certain nombre de parties exactement. ”

“ Et remarquez que, puisqu'il est naturellement aisé de concevoir que, pour faire que la réflexion se fasse à angles égaux, le mouvement ne doit en aucune façon être augmenté ni diminué par la rencontre du plan, il semble que la raison nous doive aussi naturellement porter à croire que, lorsque ce plan l'augmente ou la diminue, l'angle de réflexion doit être à proportion ou plus grand ou plus petit que celui d'incidence, et non pas qu'il doive toujours être égal, comme il suit de votre raisonnement qui pour cela vous doit être suspect, quoiqu'il soit très ingénieux. ”

“ Ce que l'expérience confirme : ainsi, quand une balle est poussée de biais de l'air dans l'eau, bien loin de continuer son mouvement en ligne droite, et beaucoup plus de s'enfoncer davantage en approchant de la perpendiculaire, elle s'en éloigne autant qu'elle peut en s'approchant de la superficie. Et vous avez fort bien reconnu la force de cette objection, que vous appelez pourtant légère, mais que vous ne sauriez résoudre que par le principe de M. Descartes, qui ruine entièrement le vôtre. ”

“ Le principe que je vous ai demandé pour l'établissement de mes propositions géostatiques est que, si deux poids égaux sont joints par une ligne droite ferme et de soi sans poids et, qu'étant ainsi disposés, ils puissent descendre librement, ils ne reposeront jamais jusques à ce que le milieu de la ligne s'unisse au centre commun des choses pesantes. ”

“ Ne doit-on pas plutôt croire, ainsi que j'ai déjà dit, que comme c'est la force du mouvement et sa détermination qui ont conduit ce rayon dans la première ligne qu'il a décrite, sans que le temps y ait rien contribué, c'est le changement qui arrive dans cette force et dans cette détermination qui lui fait prendre la route de l'autre qu'il a à décrire, sans que le temps y contribue, puisque le temps ne produit rien? ”

“ Car si cette démonstration est dans les règles des démonstrations certaines et infaillibles, il n'est rien de plus vrai sinon que ceux qui n'en sont pas convaincus ne l'entendent point. La qualité essentielle d'une démonstration est de forcer à croire, de sorte que ceux qui ne sentent pas cette force, ne sentent pas la démonstration même, c'est à dire qu'ils ne l'entendent pas. ”

“ Il est vrai que M. Descartes entend que le mouvement d'un mobile accroît toujours d'une pareille quantité en pénétrant un même milieu, quoiqu'il tombe sur la surface avec des inclinaisons différentes. Et cela est bien raisonnable, puisque la facilité de se mouvoir dépend de la nature du corps que l'on suppose tel qu'il se peut ouvrir pour faire passage aussi facilement vers un côté que vers un autre, et que de l'inclinaison du rayon d'incidence dépend seulement la détermination à la quantité ”

“ Comme il arrive que quelquefois l'espace prolongé à l'infini, comme BADFEGH, est aussi infini, comme en l'hyperbole ordinaire, et quelquefois fini, comme en celles dont les exposants de BN surmontent ceux de BP, on demande si, lorsque le dit espace prolongé à l'infini est égal à un espace fini, il a un centre de gravité fixe et certain.
Or, il arrive une chose merveilleuse en cette recherche et laquelle j'ai découverte et démontrée, c'est que quelquefois le dit espace,
quoique fini, n'a point de centre de gravité fixe, et quelquefois il en a. ”

“ Mais parce que vous doutâtes d'abord que la nature, en conduisant la lumière par les deux côtés d'un triangle, puisse jamais agir par une voie aussi courte que si elle la conduisoit par la base ou par la soustendante, je m'en vais vous faire voir le contraire de votre sentiment ou plutôt de votre doute, par un exemple aisé. ”

“ A quoi même se rapporte ce que vous dites dans votre dernier écrit (1) , que la balle a toujours une même aisance à pénétrer le second milieu en toutes sortes d'inclinations; d'où il doit suivre, dans l'application du raisonnement de M. Descartes, qu'en toute sorte de cas la réflexion se fera à angles égaux, et que la pénétration se fera de même en tous les cas en ligne droite, le mouvement du dessous en ligne droite suivant les mêmes lois et répondant justement au mouvement du dessus à angles égaux.
Mais il n'y aura donc point de réfraction? me direz-vous. ”

“ Mais, quelle que soit l'inclination du rayon sur le milieu, il y a toujours une partie de la force de son mouvement à laquelle ce milieu est opposé et une autre à laquelle il ne l'est point. Or, tandis que le rayon est dans l'air, la proportion, quelle qu'elle soit, qui est entre ces deux parties du mouvement que nous supposons uniforme, le porte dans la ligne AB et, tandis que rien ne la change ou tandis qu'elles changent en gardant toujours entre elles une même proportion, le rayon va toujours en ligne droite. ”

“ Mais, parce que nous venons de prouver que, soit que la vitesse augmente ou qu'elle diminue au point B, la réflexion ne reste pas de se faire à angles égaux, nous ne devons pas nous mettre en peine de rechercher plus soigneusement la conduite secrète dont se sert la nature en affoiblissant la vitesse de la balle ou également ou inégalement à mesure que les inclinations viennent à changer. ”

“ Quant à nous, nous appelons des corps également ou inégalement pesants, ceux qui ont une égale ou inégale puissance de se porter vers le centre commun [des choses pesantes] , et un même corps est dit avoir un même poids, quand il a toujours cette même puissance : que
si cette puissance augmente ou diminue, alors, quoique ce soit le même corps, nous ne le considérons plus comme le même poids. ”

“ Mais, pour cela, il faut considérer la balle sans pesanteur, sans grosseur, sans ligure et sans changement en sa vitesse dans toutes les lignes qu'elle parcourt : toutes lesquelles choses peuvent causer une infinité de variétés dans la réflexion et la réfraction d'une balle, mais, pource qu'elles n'ont point de lieu en l'action de la lumière [à laquelle se doit rapporter tout ce qu'il dit] , M. Descartes ne les a point considérées dans le mouvement de cette balle dont il parle. ”

“ Ces principes posés, nous démontrerons facilement, imitant Archimède (1) , que sur une balance droite, les puissances, desquelles et de toutes leurs parties les lignes de direction sont parallèles entre elles et perpendiculaires à la balance, contrepèseront et feront équilibre, quand les mêmes puissances seront entre elles en proportion réciproque de leurs bras. Ce que nous pensons vous être aussi facile qu'à nous. ”

“ Or, n'y ayant rien qui change en la balle que la vitesse, ni rien par quoi la détermination doive être altérée plus d'un côté que d'un autre, tout cela fait qu'elle doit continuer dans la même ligne, et aller seulement moins vite selon cette détermination : de même que, lorsqu'un corps tombe perpendiculairement de l'air dans l'eau, il continue d'aller suivant la ligne perpendiculaire et va seulement d'autant moins vite que sa vitesse est diminuée à la rencontre de l'eau. ”

“ Car, soit que vous m'accordiez que le mouvement de la lumière sans aucune succession peut être contesté et que votre preuve n'est pas entièrement démonstrative, soit qu'il faille passer par votre décision, à savoir que la lumière fuit l'abondance de la matière qui lui est ennemie, je trouve, même en ce dernier cas, que, puisque la lumière fuit la matière et qu'on ne fuit que ce qui fait peine et qui résiste, on peut, sans s'éloigner de votre sentiment, établir de la résistance où vous établissez de la fuite et de l'aversion. ”

“ Ce n'est pas que cette proposition ne puisse être vraie, mais elle ne l'est qu'au cas que la conclusion que M. Descartes en tire soit véritable, c'est-à-dire que la raison ou proportion pour mesurer les réfractions ait été par lui légitimement et véritable- ment assignée. Il ne l'a donc pas prouvée par une proposition si douteuse et si peu admissible.
En un mot, quand toutes les oppositions qu'on peut faire à son raisonnement seroient fautives, peut-il faire passer pour véritable ce qui n'est ni axiome, ni déduit par une conséquence légitime d'aucune première vérité? ”

“ Car seroit-il bien possible qu'un rayon qui est déjà dans l'air, qui a déjà sa direction toute droite et qui ne tend nullement ailleurs, sitôt qu'on lui oppose de l'eau ou du verre, s'avisât de se détourner ainsi qu'il fait, pour le seul dessein d'aller justement chercher un point où son mouvement composé soit le plus bref de tous ceux qui y peuvent aller du lieu de son départ? ”

“ C'est à vous, Monsieur, et aux amis
de M. Descartes, à lui fournir un passeport et à lui marquer sa route en la faisant sortir de ce point fatal. J'en dirois davantage si je n'appréhendois de passer dans votre esprit pour un homme qui auroit envie de
Barbam vellere mortuo leoni (1) .
J'attends, Monsieur, votre réplique ou celle de M. Rohault, que j'estime comme je dois; et je vous assure à l'avance que je ne cherche que la vérité sans chicane, et que je suis de tout mon cœur, Monsieur, votre très humble et très affectionné serviteur, FERMAT.
XCVI.
FERMAT A KENELM DIGBY ( 2 ) . ”

“ En un mot, il faut déterminer quels nombres premiers sont ceux qui mesurent leur première puissance — I en telle sorte que l'exposant de la dite puissance soit un nombre impair, ce que j'estime fort malaisé, en attendant un plus grand éclaircissement de votre part et qu'il vous plaise d'étendre cet endroit de votre lettre, où vous dites qu'après avoir trouvé que le diviseur doit être multiple + I de l'exposant, il y a aussi des règles pour trouver le quantième des dits multiples + I de l'exposant doit être le diviseur. ”

“ Car il peut arriver que quelquefois, suivant la diversité des proportions de B et de D, la ligne courbe sera convexe et d'autres fois concave; quelquefois encore que la tangente sera parallèle au diamètre BC; quelquefois enfin que le concours avec le diamètre se fera de l'autre côté, ce qui se détermine aisément par la méthode même, lorsqu'on nous donne la proportion des deux lignes données BA et BC, comme il est très aisé de voir et de faire comprendre. Lorsque je parle de la proportion des deux lignes données, j'entends leurs valeurs, en nombres ou sourds ou rationaux ”

“ Le principe de Physique est que la nature fait ses mouvements par les voies les plus simples. Or, la ligne droite étant plus simple que la circulaire ni que pas une autre courbe, il faut croire que le mouvement du rayon qui tombe sur la courbe se rapporte plutôt à la droite qui touche la courbe qu'à la courbe même. ”

“ Sur le sujet des triangles rectangles (1) , voici mes fondements : I° Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
20 Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés ; Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de deux quarrés ; Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux quarrés; Etc., à l'infini. ”

“ La première objection (2) consiste en ce que vous ne voulez pas accorder que le mitan d'une ligne qui conjoint deux poids égaux descendant librement, s'aille unir au centre du monde. En quoi certes il me semble que vous faites tort à la lumière naturelle et aux premiers principes : car, puisque ces deux poids sont égaux et qu'ils ont tous deux même inclination pour s'unir au centre du monde, s'ils n'étoient pas empêchés, il est clair qu'ils y approcheront tous deux également. ”

“ Je réplique que le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent que par la comparaison imaginaire de M. Descartes, et qu'au pis aller, si le détour de la balle en passant par le second milieu est véritable, il en faut chercher la raison ailleurs que dans la composition des mouvements, qui ne produira jamais en ce rencontre qu'un cercle dialectique. ”

“ Nous appelons en général une puissance cette qualité par le moyen de laquelle quelque chose que ce soit tend ou aspire en un autre lieu que celui où elle est, soit en bas, en haut ou à côté, soit que cette qualité convienne naturellement à la chose ou qu'elle lui soit communiquée d'ailleurs. De laquelle définition il s'ensuit que tout poids est une espèce de puissance, puisque c'est une qualité par le moyen de laquelle les corps aspirent vers les parties inférieures. ”