Diophante

Définition et enjeux

Portrait de Pierre de Fermat Pierre de Fermat Œuvres de Fermat

En fait, le problème de Diophante consiste à trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son commentaire, Bachet remarque : 1o Comment Diophante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectangles en nombres ayant une même hypoténuse ; 2o Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le choix de deux triangles rectangles non semblables, et en multipliant les côtés de chacun d’eux par l’hypotenuse de l’autre. C’est-à-dire que si l’on a
on aura
(1) .
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Adolphe Desboves Étude sur Pascal et les géomètres contemporains… (1878)

Les premières questions sur les nombres dont s'occupent Sainte-Croix, Frénicle, Descartes, Gillot et Fermat sont d'abord les questions aliquotaires, c'est-à-dire qu'il s'agit de trouver un nombre qui soit une unité fractionnaire donnée de la somme de ses parties aliquotes. Les questions sur les triangles rectangles en nombre entiers et fractionnaires, déjà traitées dans l'antiquité par Diophante et, un peu avant l'époque qui nous occupe, par Bachet de Méziriac, sont aussi débattues entre les mêmes géomètres. Mais bientôt Fermât s'élève plus
haut
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Ces deux triangles, obtenus comme dans le problème précédent V, 24, sont d’ailleurs (13, 12, 5) et (5, 4, 3) .
D’autre part, ayant un triangle () , Diophante sait construire un triangle tel que . Il prend à cet effet
Du triangle (13, 12, 5) il déduit de cette façon le triangle , et du triangle (5, 4, 3) , le triangle . Les deux triangles ainsi formés satisfont évidemment à la condition imposée.
Pour achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés
, , , c’est-à-dire
, , et, égalant leur produit à , il tire pour la valeur .
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