Pierre de Fermat

“ Il semble donc que l'examen de l'écriture des notes inscrites sur les exemplaires des Ouvrages du temps pourrait amener la constatation de leur passage entre les mains de Fermat et conduire à des découvertes intéressantes [23]
Il est à remarquer que les recherches faites dans ce sens à Toulouse n'ont amené que la découverte, par Libri, à la Bibliothèque de la Ville, d'un exemplaire de la première édition du Dialogue de Galilée des Massimi Sistemi [24] . ”

“ Or il est difficile de croire qu'il y ait eu destruction complète de tous les Ouvrages qui ont fait partie de la bibliothèque d'un homme qui n'était pas seulement un mathématicien de premier ordre, mais qui s'intéressait à toutes les questions scientifiques et qui était un humaniste très distingué. ”

“ Lors de la préparation de l'édition des Œuvres de Blaise Pascal, 1779, Bossut retrouva, dans les papiers conservés par la famille de l'auteur des Pensées, quelques autographes de Fermat qu'il comprit dans ce qu'il publia [21] . Depuis, ces autographes ont été perdus ou dispersés dans des collections particulières, sauf trois, qui se trouvent reliés dans un recueil des opuscules mathématiques de Pascal, conservé à la Réserve des imprimés de la Bibliothèque Nationale, sous la cote V-848-3. ”

“ Propositio VI. « Si a duobus punctis datis inflectantur rectæ lineæ; a puncto autem ad positione ductam linean abscissa a recta linea positione data ad datum punctum, et sint species ab inflexis æquales ei, quod a data, et abscissa continetur, punctum ad inflexionem positione datam circumferentiam continget. » ”

“ Propositio. — Si a dato puncto in rectam lineam duæ lineæ agantur, datam habentes proportionem, et terminus unius contingat locum < planum > positione datum (hoc est : aut rectam, aut circumferentiam circuli positione datam) , alterius terminus continget rectam aut circuli circumferentiam positione datam.
Esto datum punctum A (fig. 1) , per quod agantur in directum rectæ AB, AF, in proportione data, et sit, verbi gratia, punctum B in recta linea HCBD positione data : Aio punctum F esse quoque ad rectam positione datam. ”

“ Sans l'offre gracieuse du prince Baldassare Boncompagni, sans sa singulière complaisance pour nous, la présente édition n'aurait pu être entreprise ; le monde savant lui en doit une reconnaissance dont nous ne pouvons être ici que les trop faibles interprètes ; nous devons aussi un tribut de remerciements à nombre de personnes qui ont bien voulu nous prêter leur concours et nous fournir divers renseignements ; nous avons tout particulièrement à nommer M. Léopold Delisle, administrateur de la Bibliothèque Nationale, qui a facilité nos recherches avec tant de bienveillance ”

“ Nous n'avons d'ailleurs à nous étendre un peu longuement que sur le n° 3280 fonds francais nouv. acq., désigné par nous sous la lettre A1 et formé, conmme nous l'avons dit, avec les papiers relatifs à Fermat qui ont été saisis en 1848 chez Libri.
Nous avons déjà noté plus haut l'existence, dans ce manuscrit, de l'original : Doctrinam tangentium etc., et de deux feuillets ayant fait partie du recueil d'Arbogast; ce sont là des pièces que Libri a certainement laissées par mégarde en France, tandis qu'il négligeait le reste de « l'énorme cahier » qu'il a dit avoir acquis à Metz. ”

“ Le Complément comprendra encore, dans le même but historique, les nombreux extraits que l'on peut tirer, relativement au géomètre de Toulouse, des lettres de Descartes et divers autres témoignages des contemporains, en particulier de Mersenne.
Enfin, la Commission a jugé que les éditeurs devaient limiter leurs notes au minimum indispensable pour l'intelligence du texte (renvois compris) et les renseignements bibliographiques ; mais elle a décidé la rédaction de trois index : l'un des noms propres ; le deuxième de la langue mathématique de Fermat ; le troisième des matières. ”

“ La Bibliothèque de l'Université de Leyde conserve dans la Collection Huygens n° 30 deux lettres autographes de Fermat au mathématicien hollandais. En les publiant (Recherches, etc., p. 77 et suiv., 211 et suiv.) , M. Charles Henry a devancé la splendide édition des Œuvres complètes de Christiaan Huygens, publiées par la Société hollandaise des Sciences, qui contient d'ailleurs d'autres matériaux à utiliser pour la Correspondance de Fermat [22]
Nous donnons ci-contre un fac-similé de la première page de l'écrit Doctrinam tangentium etc. ”

“ Appendix ad Isagogem topicam continens solutiones problematum solidorum per locos, commence par ces mots : Patuit methodus, etc., et finit par ceux-ci : per rectas et circulos expedire ; 2 pag. in-folio (imprimé dans les Opera Varia) . No 10. Opuscule sur la méthode des tangentes, commence par ces mots : Doctrinam tangentium antecedit, etc. ; le même que no 4, 2 pag. 1⁄2 in-folio (imprimé) . No 11. Des nombres des parties aliquotes de F. Commence ainsi : Propos. (i) . Tout nombre impair non quarré est différent d’un quarré, etc., et finit par ces mots : sont beaucoup éloignez l’un de l’autre ”

“ De locis quamplurima scripsisse vetercs, haud dubium: testis Pappus initio Libri septimi [2] , qui Apollonium de locis planis, Aristeum de solidis scripsisse asseverat. Sed aut fallimur, aut non proclivis satis ipsis fuit locorum investigatio; illud auguramur ex eo quod locos quamplurimos non satis generaliter expresserunt, ut infra patebit. Scientiam igitur hane proprime et peculiari analysi subjicimus, ut leinceps generalis ad locos via pateat.
Quoties in ultima sequalitate duæ quantitates ignote reperiuntur, fit locus loco et terminus alterius ex illis describit lineam rectam aut curvam. ”

“ Fermat, qui est sans doute le veritable sens de Synesius. Cet instrument servoit pour examiner le poids des differentes eaux pour l'usage des malades; car les Medecins sont d'accord que les plus legeres sont les meilleures; le terme [10] ῥοπὴ, dont se sert Synesius, le monstre clairement. Il ne signifie pas icy librarmentum le nivelement, cornme a cru le Pere Petau, miais en matiere de NMachines, il signifie le poids, que les Latins appellent momentium1, et de la le traite des equiponderans d'Archimede a pour titre Ἰσοῤῥοπικῶν [11] . ”

“ L'intention que lui prete Fermat un peu plus bas est done improbable, et elle restreint trop le sens general du mot porisme, sans d'ailleurs designer en aucune façon la nature réelle des propositions traitees par Euclide. ↑ Voici comment Chasles (p. 14) traduit ce texte, assez obscur et mal assuré : « Les Porismes... collection ingénieuse d’une foule de choses qui servent à la solution des problèmes les plus difficiles et que la nature fournit avec une inepuisable variété. » ”

“ On peut y distinguer :
1° Divers brouillons des copies au net contenues dans le manuscrit A, savoir la lettre n° 9 et les opuscules 13, 6, 7, 11, 12 de la liste d'Arbogast (textes publiés par M. Ch. Henry, Recherches, 2e partie, nos 15, 17, 18, 19, 21, 22) ; 2° Des copies ou extraits de quelques pièces déjà imprimées dans les Varia; 3° Des extraits (ou notes tirées) des Ouvrages de Descartes (en particulier de ses Lettres) , Fagnano, Mersenne, Wallis, Hérigone, Viète, Albert Girard, Euler, Lagrange; 4° Des essais de démonstrations sur diverses questions traitées par Fermat ”

“ On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermat Conseiller au Parlement de Tolose. C’estoit un des plus beaux esprits de ce siecle, et un genie si universel et d’une estendue si vaste, que si tous les sçavans n’avoient rendu temoignage de son merite extraordinaire, on auroit de la peine a croire toutes les choses qu’on en doit dire, pour ne rien retrancher de ses loüanges. ”

“ De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'antiquité, et qu'il estoit consulté de toutes parts sur les difficultez qui se presentoient; il a éclaircy une infinité de lieux obscurs qui se rencontrent dans les anciens. On a imprime depuis peu quelques-unes de ses observations sur Athenée; et celuy qui a traduit le Benedetto Castelli de la mesure des eaux courantes, en a inseré dans son ouvrage une tres-belle sur une Epistre de Synesius, qui estoit si difficile, que le Pere Petau qui a commenté cét autheur, a advoiie qu'il ne l'avoit peu entendre. ”

“ Je me trouve si mal, que j'ay besoin d'un hydroscope. Je vous prie d'en faire faire un de cuivre, et de me l'acheter. C'est un tuyau en forme de Cylindre, qui a la figure et la grandeur d'une fleute; sur sa longueur il porte une ligne droite, qui est coupee en travers par de petites lignes, par lesquelles nous jugeons du poids des eaux. L'un des bouts est convert d'un cone, qui est pose egalement dessus, en telle sorte que le tuyau et le cone out une mmee base. L'on appelle cet instrument Baryllion. ”

“ Quum enim, ex hypothesi, tangens KI occurrat basi AF extra curvam, ergo angulus CHI, qui fit ab intersectione perpendicularis in basim HC et tangentis HI, erit minor recto, ideoque a puncto H demissa perpendicularis in rectam BI cadet in punctum V supra puncta B, R, I. Patet itaque rectam HV minorem esse recta HI; item rectam HI minorem esse recta que puncta H et R conjungit: ergo, a fortiori, recta HI minor erit portione curvet HR, quam recta ab H ad R ducta subtendit. ”

“ Ex istis auterm operibus, Erudite Lector, fructus, ni fallor, et voluptatis non parum percipere poteris et si quid incuria Typographorum erratum sit, illud suppleas aut ignoscas quæso.
Scllemata suis locis in toto opere, ut in illius parte, reperirentur, nisi defuisset sculptor ligni notis Geometricis incidendi peritus; sed figure [5] quæ cum textu edita non fuerunt, ad libri calcem sunt rejecta, numeris paginarum, ad quas referuntur, apposilis, quod semel monuisse sufficiat. ”

“ Si singulæ ex applicatis sint semper ad abscissas per tangentes ab axe in ratiolne correlatarum,
hoc est : si, ductis tangentibus ad puncta F, H, I, M ex una parte et ad puncta 8, 9, Z, T ex altera, semper contingat ut applicata FE, verbi gratia, sit ad rectam KE, quam tangens FK abscindit ab axe, in eadem ratione quæ est applicatæ 8 7 ad rectam 7 2, quam tangens 8 2 ab axe pariter abscindit ; item applicata DH sit ad abscissam ab axe per tangentem quæ ducitur ad punctum H ut applicata 6 9 ab abscissam ab axe per tangentem ad punctum 9 ductam ; et sic de reliquis ”

“ Quoniam primum triangulum est : 3, 4, 5, et rectangulum sub lateribus : 2, eo cleventum est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo triangula ut productus ex lateribus circa rectum prodacti ex lateribus circa rectum sit duodecuplus ; et ratio est quia tune productus ex lateribus unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis 12, atque ideo eorum mutua multiplicatione fiet quadratus, quod vult propositio. ”

“ Sit illa recta ABC. Quum in hyperbole per B transeunte ducta sit tangens cum asymptotis in punctis A et C concurrens, ergo, ex Apollonio [30] , rectae AB, BC sunt aequales, ideoque aequales rectse FE, EC, et AF dupla BE sive AN. Est autem, propter circulum, BA equalis AF: ergo BA est dupla AN et, in triangulo simili, posito centro M, semidiameter MB dupla ME. Datur autem semidiameter: ergo et punctum E.
Et generalis ad inventionem maximin et minimæ geometrica est quaestionum ad tangentes abductio ”

“ Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même ; car on la retrouve, si l'on change x en N - 2. ↑ L'emploi de la double équation tait indiqué par Bachet, d'apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. ”

“ Les figures composées donnent en nombres entiers les longueurs des cordes de deux genres comparés l'un à l'autre. Fermat a déjà touché plus haut (fol. 184vo) la comparaison du mol tendu et du diatone égal et (fol. 185) celle du mol tendu et du syntone diatone. Il reprend maintenant l'exposé du système de ses corrections sur la premiere figure composée de Manuel Bryenne (syntone diatone et diatone égal) et sur la suivante (mol tendul et diatone égal) , qu'il avait déjà corrigée. ”

“ Zpl. equabitur A in E, et erit, ex nostra methodo, extremitas ipsius E ad hyperbolen positione datam.
Sed jam probavimus esse ad parabolen positione datam: ergo dabitur positione, et est facilis ab analysi ad synthesin regressus.
Nec dissimilis est methodus in omnibus æquationibus cubicis: constitutis enim ex una parte solidis omnibus ab A affectis, ex altera solido omnino dato vel etiam cum solidis al A vel Aq. affectis, poterit fingi equalitas superiori similis. ”

“ « Si a datis punctis rectæ lineæ inflectantur, et sint quæ ab ipsis fiunt dato spatio differentia, punctum positione datas rectas lineas continget. »
Fig. 24.
Sint data duo puncta A et B (fig. 24) , et sit datum quodlibet spatium quadrato AB minus. Dividatur AB in C, ita ut quadratum AC quadratum CB superet dato spatio, et educatur perpendicularis infinita CE, in qua sumatur quodlibet punctum D, et jungantur DA, BD: Aio quadratum AD superare quadratum DB dato. Quod quidem patet, quum quadratum AD eodem superet quadraturn DB, quo quadratum AC superat quadratum CB [15] . ”

“ Sit curva cujus proprietas det Tquationem sequentem:
Bq.-- Aq. æquale Eq. (apparet autem statim hanc curvam esse circulum) ; certum est otestatem ignotam, Eq., posse reduci, per applicationem seu parabolismum, ad latus. Possumus enim supponere
Eq. equari B in U, quum sit liberum quantitatem ignotam U, in notam B ductam, aquare quadrato E etiam ignotæ. ”

“ Ejus vero constructionem non adjungeremus, quum jam ab aliis [3] inventam audierimus (licet eorum scripta hac de re ad nos non pervenerint) , nisi quod nostra hec constructio ad methodum generalem in omnibus conoidibus circa axes BD, BE, BF novarum istarum curvarum in infinitum producendis facillime producitur. ”

“ Exponatur quodvis planum positione datum et in illo, juxta praeceptalocorum planorum et solidorum alias tradita, quaeratur locus ad quem a punctis datis inflexarum quadrata æquentur spatio dato.
Hoc autem est facile : sit factum et locus in piano exposito sit curva NIP (fig. 89) . In illud planum, a punctis A, E, C datis ex hypothesi, demittantur normales AB, EF, CD. Quum igitur planum hoc sit positione datum, dabuntur in illud a punctis A, E, C datis demissae normales AB, EF, CD ”