Asymptote

“ Donc, d’après les théories connues, l’équation commune aux deux asymptotes de la courbe est
ces asymptotes font donc, pour toutes les sections parallèles à celle que nous avons considérées, un angle constant avec l’axe transverse de la courbe ; puis donc que cet axe transverse est constamment parallèle à lui-même, et qu’il en est de même du plan qui contient cet axe et l’asymptote, il en résulte que les asymptotes des diverses sections doivent être parallèles chacune à chacune [1] . ”

“ L’asymptote aura pour équation :
, et celle de l’asymptote sera :
, d’où : .
Comme ces deux équations appartiennent au système commun des lignes et , on les combinera par voie de multiplication et l’on aura :
; équation qui suffirait, si l’on ne cherchait qu’à représenter le système des asymptotes dont il s’agit ; mais, comme la courbe existe, il faut tenir compte des données que fournit sa situation. Or, on voit que l’équation finale doit être telle que, 1.o si l’on y fait on doit trouver :
, d’où ”

“ Premièrement, si l'on fait x = ± 00 , , E la valeur de l'ordonnée y de la courbe se réduit à — g 3 puisque la seconde des deux parties dont elle se compose devient nulle.
Ainsi
est l'équation d'une droite qui rencontre la courbe en deux points situés à l'infini; c'est donc une première asymptote.
Secondement, soit posé
la valeur de y devient infinie, tant que l'on n'a pas
est celle d'une droite qui généralement ne peut rencontrer la courbe qu'à l'infini, et est, par conséquent, une autre asymptote. ”

“ Je dis 2°. que la distance de l’asymptote à la courbe peut toûjours être trouvée moindre qu’aucune grandeur donnée ; car sans cette condition, la définition conviendroit à l’asymptote, & à ses paralleles. Or une définition ne doit convenir qu’à la chose définie.
On dit quelquefois que deux courbes sont asymptotes l’une à l’autre, lorsqu’indéfiniment prolongées elles vont en s’approchant continuellement, sans pouvoir jamais se rencontrer. ”

“ Les asymptotes fournissent un moyen très-simple de construire une hyperbole lorsqu'on en connaît un point. En effet, soient donnés le point s et les deux asymptotes DD', EE'. On construira dans une direction quelconque, en passant par le point s, la sécante pu, et prenant ps, on le portera de u en v; ce qui donnera le point v. De même, construisant une autre sécante si, on portera st de c en i. En continuant ainsi dans toutes
les directions, on aura autant de points que l'on voudra sur les deux branches de la courbe.108. ”

“ Si l’on tire d’un point quelconque A & d’un autre point quelconque de l’hyperbole M (fig. 20.) les lignes AI, MQ paralleles à l’asymptote CG : le rectangle de MQ par CQ sera égal au rectangle de CI par IA. Donc si QC = x, QM = y, CI = a, IA = b : l’équation qui exprime la nature de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes, sera xy = ab. ”

“ Ces intégrales définies, qui sont des limites de sommes dont le nombre des termes augmente indéfiniment tandis que la valeur absolue de ces termes tend vers zéro, se rencontrent dans un grand nombre de questions d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique [8] . Pour le calcul de certaines de ces limites de sommes, par exemple pour la définition et le calcul de l’aire comprise entre une courbe et son asymptote, l’intégration des fonctions continues ne suffisait plus ”

“ Donc l'équation (2) est bien celle des deux asymptotes.
Remarque. — Ce mode de détermination des asymptotes, que nous appliquerons bientôt à des équations de degré supérieur, se traduit en une règle pratique fort simple : Extrayez algébriquement la racine carrée de la quantité soumise au signe radical, dans l'expression générale de l'ordonnée y, de la courbe, et négligez le reste de l'opération.
La double ordonnée des deux asymptotes est égale à la partie ration-
nelle de ly de la courbe, augmentée ou diminuée de la partie entière de la racine carrée. ”

“ Lorsque les axes 2A, 2B d'une hyperbole sont donnés, la première chose à faire pour sa construction, c'est de fixer la position des asymptotes d'après le moyen indiqué au n° 223, parce que, ces lignes une fois tracées, on a déjà le sentiment du cours de chacune des branches de la courbe à partir des deux sommets, en raison de la propriété qu'elles ont de se rapprocher d'une manière continue et indéfinie de leurs asymptotes respectives. ”

“ M. Sturm, à qui on doit aussi ce théorème, observe qu’on en peut déduire la solution du problème où étant donnés trois points d’une hyperbole et des parallèles à ses deux asymptotes, on demande de construire le centre de la courbe, et par suite ces asymptotes elles-mêmes ? ”

“ On peut déterminer la projection horizontale, en cherchant le Point où chaque génératrice rencontre le plan sécant, ou bien en menant des parallèles de la surface de révolution; on peut aussi se borner à tracer les asymptotes et à déterminer un point de la courbe [Géométrie, 629] ; car la projection de l'hyperbole sur le plan de la base est une hyperbole, et la nouvelle courbe
a pour asymptotes les projections des asymptotes de la première. ”

“ En général, en effet, s’il y a une asymptote double, c’est qu’il y a un « point de rebroussement à l’infini ». Il n’en est pas ainsi pour la courbe mais elle présente deux branches de courbes distinctes se touchant à l’infini, ce qui donne non pas sept, mais huit points d’intersection.
Nous avons donc à l’infini huit points dans la direction de l’axe des et huit dans celle de l’axe des
Il reste donc
points singuliers. Cela posé, est-il possible que les de ces 24 points singuliers ne dépendent que de deux variables ? Appelons et ces deux variables. ”

“ Remarque. On peut déterminer les points où une droite rencontre une hyperbole dont on connaît un point et les asymptotes, sans construire la courbe et même sans déterminer les foyers. (Voir Exercices de Géométrie descriptive, 2e édition. Note; n-, 1052 à 1055.) Exercice 941
2194. Problème. Une hyperbole équilatère étant donnée par ses asymptotes et sa puissance k2, mener une tangente sans construire la courbe et de manière que la partie interceptée entre les asymptotes ait une longueur donnée. ”

“ La théorie des sections coniques doit être précédée d’un traité, qui contiendra les principes généraux de l’application de l’Algebre aux lignes courbes. Voyez Courbe. Ces principes généraux consisteront, 1°. à expliquer comment on représente par une équation le rapport des abscisses aux ordonnées ; 2°. comment la résolution de cette équation fait connoître le cours de la courbe, ses différentes branches & ses asymptotes ; 3°. à donner la maniere de trouver par le calcul différentiel les tangentes & les points de maximum & de minimum ”

“ Égalés à zéro, ils représentent deux droites réelles et distinctes; donc les courbes du second degré sont deux hyperboles ; chacun des deux facteurs Ax + By A'x + B'y, égalé à zéro, donnant la parallèle aux asymptotes menées par l'origine, on voit que les asymptotes des deux hyperboles seront parallèles aux deux droites. Il est même facile de démontrer que les asymptotes seront les deux droites elles-mêmes. ”

“ Si le plan BNB' s'éloigne du sommet, la différence MC diminue, car PV est une quantité constante, et en considérant le cercle décrit
sur le grand axe, on a : ~Pm ~PM -
Ainsi, quand Vn augmente, le radical tend vers l'unité; et par suite la différence de Vn à Pm diminue; il en est donc de même de VN—PM Donc les droites OC et OC' parallèles aux génératrices SN et SN' sont les asymptotes de l'hyperbole. (G., n° 680.) Remarque. L'angle des asymptotes égale l'angle des génératrices SN, SN', déterminées par le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de l'hyperbole. ”

“ En prenant ces asymptotes pour les axes des coordonnées, on pourra prendre, pour l’équation commune à toutes ces hyperboles,
dans laquelle est un paramètre indéterminé. Si alors est le point de l’une de ces courbes où elle est coupée par l’une des courbes cherchées, les équations des tangentes à ces deux courbes en ce point seront
afin donc qu’elles se coupent perpendiculairement, on devra avoir
ou équation qui a pour intégrale, en supprimant les accens,
qui appartient bien, en effet, à toutes les hyperboles équilatères qui ont pour diamètres principaux les asymptotes des premières. ”

“ Pour obtenir la courbe dans sa véritable grandeur on a fait avancer le plan coupant jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position pW", puis on a fait tourner ce plan autour de sa trace horizontale jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan horizontal de projection.
128. Asymptotes. Nous avons vu (106) que l'on peut considérer les asymptotes comme deux droites qui passent par le centre o,o',o" de la courbe, et qui ne la touchent qu'à l'infini.
Pour les obtenir, on déterminera le point o', situé au milieu de la droite u'a'. ”

“ C’est cette méthode de soumettre partout l’infini au calcul algébrique, que l’on appelle calcul différentiel ou des fluxions et calcul intégral. C’est l’art de nombrer et de mesurer avec exactitude ce dont on ne peut pas même concevoir l’existence.
En effet, ne croiriez-vous pas qu’on veut se moquer de vous, quand on vous dit qu’il y a des lignes infiniment grandes qui forment un angle infiniment petit ?
Qu’une droite qui est droite tant qu’elle est finie, changeant infiniment peu de direction, devient courbe infinie : qu’une courbe peut devenir infiniment moins courbe ? ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ À chaque solution périodique instable, correspondent deux systèmes de solutions asymptotiques ; ces solutions sont représentées par des trajectoires (au sens du no 312) et l’ensemble de ces trajectoires forme ce que nous avons appelé des surfaces asymptotiques. L’intersection d’une surface asymptotique avec le demi-plan s’appellera une courbe asymptotique. ”

“ Si l’on emploie l’équation telle qu’elle est, sans changer le signe de auquel cas elle exprimera une hyperbole, on pourra la mettre sous cette forme
qui annonce le caractère asymptotique de cette courbe ; puisque son équation tend, de plus en plus, à se changer en celle-ci
qui serait enfin
si les droites génératrices devenaient parallèles. Pour s’assurer de ces résultats, il faut observer que l’abscisse du point de concours ayant pour expression
devient , si l’on a d’où ”

“ C'est, en effet, sur cette généralité que sont fondées, par leur nature, toutes les solutions dues à la méthode des variations. Si une formule unique ne pouvait point exprimer la longueur ou l'aire de toute courbe quelconque, si on n'avait point une autre formule fixe pour désigner le temps de la chute d'un corps pesant, suivant quelque ligne qu'il descende, etc., comment eût-il été possible de résoudre des questions qui exigent inévitablement, par leur nature, la considération simultanée de tous les cas que peuvent déterminer dans chaque phénomène les divers sujets qui le manifestent? ”

“ On appelle en général quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. L'étendue, la durée, le poids, etc., sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l'objet des mathématiques; mais l'arithmétique, qui fait partie de ces sciences, ne considère les quantités qu'en tant qu'elles sont exprimées en nombres.
2. L'arithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés, et son but est de donner des moyens faciles , tant pour représenter les nombres , que pour les composer et décomposer, ce qu'on appelle calculer. ”

“ Terme d’Algèbre en matière d’équation. C’est ce que Viéte appelle Homogeneum comparationis, & qui fait toujours un côté ou une partie entière de l’équation, & est toujours une quantité connue. C’est encore le rectangle, ou le solide dont on cherche la racine inconnue. Ainsi dans cette équation a a + 16 a = 36. Le nombre absolu est 36, lequel est égal au produit des deux racines ou valeurs de l’a ; c’est-à-dire, à a multiplié par lui-même, plus a pris seize fois. Equation absolue, en termes d’Astronomie, est la somme de deux équations, de l’excentrique, & de l’optique. Harris. Voyez Équation. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”