Henri Poincaré

“ Rien ne s’oppose donc à ce qu’il existe une intégrale autre que celle des forces vives, et il en existe une en effet, à savoir l’intégrale des aires.
Pour qu’il y eût deux intégrales, il faudrait qu’il y eût une relation entre trois quelconques de ces expressions ; c’est-à-dire que toutes ces expressions dépendissent seulement de deux d’entre elles. Il n’en est pas ainsi.
Donc, en dehors de l’intégrale des forces vives et de celle des aires, le problème n’admet pas d’autre intégrale uniforme. ”

“ Les coefficients sont les constantes d’intégration que j’appelais jusqu’ici mais que j’appelle maintenant parce que je vais bientôt les prendre pour variables indépendantes nouvelles.
Quant à c’est une fonction périodique de
dépendant en outre de de sorte que la valeur moyenne de n’est autre chose que et que l’expression considérée de ne diffère pas de celle à laquelle conduisent les équations (1) du no 202. ”

“ Il est clair alors que, si est une somme de termes de la forme et on aura une solution particulière de l’équation (1) qui sera une somme de termes de la forme
 ou  et l’on obtiendra la solution générale en ajoutant à cette solution particulière la solution générale de l’équation sans second membre.
Il y aurait exception dans le cas où l’un des coefficients définis par les équations (4) et (4 bis) du no 184, serait infini ; c’est ce qui arrive, comme il est aisé de le voir, si λ est égal à étant un entier. ”

“ Soient les trois coordonnées de la planète ; les trois composantes de la quantité de mouvement.
Soient les trois coordonnées de la planète, rapportées à des axes particuliers, à savoir : le grand axe de l’orbite, une parallèle au petit axe et une perpendiculaire au plan de l’orbite, on aura
les étant des constantes liées par les relations bien connues qui expriment que la transformation des coordonnées est orthogonale.
On aura de même
étant la masse de la planète. ”

“ Pour avoir le prolongement analytique cherché, construisons la seconde branche de cette hyperbole et associons-la à l’ellipse décrite par le premier point.
Considérons alors deux trajectoires particulières de notre système. Pour la première, les conditions initiales du mouvement seront telles que si est positif et très grand, le point se trouve très voisin de la première branche de l’hyperbole et le point très voisin de l’ellipse, de telle façon que la distance de ces deux points, soit, à l’hyperbole, soit à l’ellipse, tende vers zéro quand croît indéfiniment. ”

“ En résumé, si l’inclinaison est nulle, la différence très petite, l’excentricité petite, l’excentricité très petite par rapport à les seuls points admissibles seront D, T, U et leurs réciproques.
Supposons maintenant que l’inclinaison n’est plus nulle, mais très petite.
Si nous écrivons que la distance des deux planètes est nulle, nous n’obtiendrons plus, comme dans le cas précédent, deux équations distinctes (3) et (4) , mais une équation unique
qui, si l’on considère (comme dans la fig. 1) et comme les coordonnées d’un point dans un plan, représentera une courbe du sixième ordre. ”

“ Quand on fera varier les éléments des orbites, d’une manière continue, les points singuliers de varieront aussi d’une façon continue. Supposons que l’on fasse varier ces éléments de telle sorte que les orbites restent réelles et qu’à aucun moment elles ne se coupent en un point réel, de telle sorte aussi qu’à aucun moment deux points singuliers de ne viennent à se confondre. Considérons un point singulier de il va varier d’une façon continue et, comme nous supposons qu’il ne se confond jamais avec aucun autre, on pourra le suivre dans ses variations sans avoir à craindre aucune ambiguïté. ”

“ Dans tous les cas, on peut répartir les polynômes en plusieurs groupes ; dans chaque groupe, le premier polynôme se réduit à une constante et chacun d’eux est la dérivée du suivant.
Pour qu’il existe invariants intégraux linéaires, il ne suffit donc pas que des exposants caractéristiques soient nuls ; il faut encore que des polynômes Ph se réduisent à des constantes (ou, ce qui revient au même, que ces polynômes se répartissent au moins en groupes) .
Quelle est alors, au point de vue qui nous occupe, la signification des équations (10) où ne se réduit pas à une constante ? ”

“ Si l’on tient compte de l’équation des forces vives
d’où
l’action maupertuisienne deviendra
Le principe de Maupertuis est donc applicable au cas qui nous occupe, comme à celui du mouvement absolu ; mais il y a une différence essentielle au point de vue de ce qui va suivre.
Dans tous les problèmes que l’on rencontrera, la force vive ou est essentiellement positive ; c’est une forme quadratique définie positive. Dans le cas du mouvement absolu (no 337) l’action
est essentiellement positive ; elle ne change pas quand on permute les limites. ”

“ Je dis que ne peut être nul ; sans quoi l’expression (1) ne dépendrait pas des constantes si alors nous supposions que toutes les constantes et et sont nulles à l’exception des deux constantes et auxquelles nous attribuerions des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une relation
qui serait linéaire par rapport aux inconnues et et où les coefficients et seraient des fonctions données du temps, différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque les variables et sont indépendantes. Donc ne peut être nul. ”

“ L’aire ne peut être tout entière intérieure à puisque l’invariant intégral a même valeur pour les deux aires. Pour la même raison l’aire ne peut être tout entière intérieure à Les deux aires ne peuvent non plus coïncider ; si en effet une portion d’une courbe asymptotique (de la première famille par exemple) coïncidait avec sa ième conséquente, il en serait de même de sa ième antécédente quelque grand que soit or, si est grand, cette ième antécédente est très voisine des points périodiques et les principes du Chapitre VII suffisent pour montrer que cette coïncidence n’a pas lieu. ”

“ Sans doute, cela importe peu pour le moment, puisque l’on est assuré que le calcul des premiers termes donne une approximation très satisfaisante ; mais il n’en est pas moins vrai que ces séries ne sont pas susceptibles de donner une approximation indéfinie. Il viendra donc aussi un moment où elles deviendront insuffisantes. D’ailleurs, certaines conséquences théoriques que l’on pourrait être tenté de tirer de la forme de ces séries ne sont pas légitimes à cause de leur divergence. C’est ainsi qu’elles ne peuvent servir à résoudre la question de la stabilité du système solaire. ”

“ Ainsi, si les équations différentielles admettent une intégrale uniforme, l’un des exposants caractéristiques d’une solution périodique quelconque sera nul, à moins que toutes les dérivées partielles de l’intégrale ne s’annulent en tous les points de cette solution périodique. ”

“ Nous voyons apparaître simultanément deux solutions périodiques et d’abord très peu différentes l’une de l’autre ; l’une est stable et l’autre instable ; l’exposant pour la solution instable est réel. Tout cela est conforme aux conclusions du no 378.
Le passage de la stabilité à l’instabilité du satellite ne soulève pas non plus de difficulté ; car l’exposant dans le cas de l’instabilité est complexe ; on se trouve donc dans les conditions du no 380. Il existe donc des solutions périodiques du deuxième genre, correspondant à des courbes fermées faisant deux fois le tour de Jupiter. ”

“ Mais on sera souvent conduit à tenir compte des perturbations éprouvées par la Terre de la part d’autres planètes, tout en continuant à négliger l’action directe de ces planètes sur la Lune. Si l’on se place à ce point de vue, le mouvement relatif de la Terre et du Soleil n’est plus un mouvement képlérien, mais il est connu, et la Lune reste soumise seulement à l’action de ces deux corps mobiles qui se meuvent d’après une loi connue. ”

“ Il pourrait arriver enfin que fût un point singulier de plus compliqué qu’un point de rebroussement ordinaire ; je dirais alors que c’est un foyer singulier.
Je ferai seulement observer qu’on ne peut passer d’un foyer en pointe à un foyer en talon que par un foyer singulier ; car, au moment du passage, doit être de l’ordre de
372.Considérons maintenant une solution périodique quelconque ; elle correspondra à une trajectoire fermée. Soit l’exposant caractéristique et la période. ”

“ Une intégration complète et rigoureuse étant manifestement impossible, c’est aux procédés d’approximation que l’on a dû faire appel. Les méthodes employées d’abord ont consisté à chercher des développements procédant suivant les puissances des masses. Au commencement de ce siècle, les conquêtes de Lagrange et de Laplace et, plus récemment, les calculs de Le Verrier, ont amené ces méthodes à un tel degré de perfection qu’elles ont pu suffire largement jusqu’ici aux besoins de la pratique. ”

“ À la limite, le temps très court du choc se réduit à un instant ; les petits arcs se réduisent à un point et l’orbite, se réduisant à deux arcs d’ellipse, présente un point anguleux.
Pour achever de définir les orbites il faut connaître en grandeur et en direction les vitesses des deux planètes et avant et après le choc. Quelles relations y a-t-il entre ces vitesses ? J’observe d’abord que la vitesse du centre de gravité des deux corps et doit être la même avant et après le choc et cela tant en grandeur qu’en direction. ”

“ Il est clair alors que, si le point se trouve dans le domaine à l’origine du temps, il y restera toujours.
Pour montrer que les résultats des paragraphes précédents sont applicables au cas qui nous occupe, il nous reste à faire voir que l’intégrale
étendue au domaine est finie.
Comment cette intégrale pourrait-elle devenir infinie ? La courbe étant fermée, et sont limités ; l’intégrale ne peut donc devenir infinie que si et sont infinis. Mais, à cause des inégalités (5) , et ne peuvent devenir infinis que si
devient infini, ou, puisque et sont limités, si devient infini. ”

“ Heureusement M. Flamme, dans une Thèse récente [2] , a donné l’expression approchée des termes de rang élevé dans le développement de la fonction perturbatrice et cette expression approchée, beaucoup plus simple que l’expression complète, peut suffire pour notre objet.
Toutefois, la forme que lui a donnée M. Flamme n’est pas la plus convenable pour le problème qui nous occupe ; nous serons obligé de compléter ses résultats et de les transformer considérablement. ”

“ Si n’est pas nul, c’est une solution de l’équation (1) ; or, est une fonction paire ; donc est paire et impaire ; donc se réduit à un facteur constant près à alors est périodique.
Si est identiquement nul, est périodique. ”

“ Observons que la courbe est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées et que deux points doubles symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine ne correspondent pas à deux solutions périodiques véritablement distinctes.
Les points doubles ne peuvent se trouver que sur l’un des axes de coordonnées, de telle sorte qu’on les trouvera tous en faisant
Si l’on fait
la courbe passe par l’origine et y présente un point double. Les tangentes au point double sont données par l’équation
Si donc
les tangentes sont imaginaires. Si
les tangentes sont réelles. ”

“ Supposons d’abord qu’un point de la courbe ait son premier foyer sur la courbe de telle façon que l’arc soit plus petit que la courbe fermée tout entière.
C’est ce qui arrive pour les solutions instables de la première catégorie, nous avons vu que pour ces solutions la courbe se divise en un certain nombre pair d’arcs et que tout point d’un de ces arcs a son premier foyer sur l’arc suivant ; de telle façon qu’en partant d’un point quelconque on rencontrera son premier foyer avant d’avoir fait le tour complet de la courbe
C’est ce qui arrive également pour certaines solutions stables. ”

“ Il ne faudrait pas croire que, pour obtenir les éphémérides avec une grande précision pendant un grand nombre d’années, il suffira de calculer un plus grand nombre de termes dans les développements auxquels conduisent les méthodes anciennes.
Ces méthodes, qui consistent à développer les coordonnées des astres suivant les puissances des masses, ont en effet un caractère commun qui s’oppose à leur emploi pour le calcul des éphémérides à longue échéance. ”

“ Dans le cas des équations de la Dynamique [ou plus généralement quand il y a une relation de la forme (4) ] , nous avons pu encore obtenir un résultat ; il suffit de donner aux constantes d’intégration des valeurs particulières de façon à annuler celles de ces constantes qui correspondent à un exposant nul, et l’une des deux qui correspondent à chaque couple d’exposants égaux et de signe contraire. ”

“ On pourrait croire que les solutions périodiques ainsi définies sont moins générales que celles dont nous avions d’abord démontré l’existence. Il n’en est rien ; il y en a aussi une quadruple infinité ; car nous pouvons choisir arbitrairement l’époque de la conjonction et de l’opposition, et la longitude des trois corps au moment de cette conjonction et de cette opposition ; il reste donc quatre arbitraires : ce qui montre que toutes les solutions de la première sorte rentrent dans cette même catégorie. ”

“ Le problème est alors ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles
à laquelle la méthode d’approximations successives du no 125 est directement applicable.
Mais il n’y aurait pas grand avantage à l’employer, à moins que l’équation (1) ne soit qu’une expression approximative du problème qu’on se propose et qu’après avoir intégré cette équation on ne veuille pousser plus loin l’approximation en employant la méthode de la variation des constantes ou qu’on ne veuille s’en servir comme vérification. ”

“ Chaque couple d’équations nous en donnera une, et toutes les autres équations de la forme (9) ne seront que des combinaisons linéaires de celles qu’on peut ainsi former.
Parmi toutes les équations de la forme (9) ainsi obtenues, choisissons-en une ; opérons de même pour toutes les autres solutions périodiques ; nous aurons alors une relation
dont le premier membre sera une fonction linéaire des déterminants ; les coefficients de cette fonction linéaire seront des fonctions des définies seulement pour les valeurs des qui correspondent à une solution périodique. ”

“ Supposons maintenant que la partie imaginaire des quantités reste constamment plus petite en valeur absolue qu’un certain nombre positif si l’on a alors
la partie imaginaire de (5) et, par conséquent, son module seront encore plus grands que de telle sorte qu’il ne peut y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels aucune des inégalités (7) et (8) n’a lieu. Mais ces diviseurs qui ne satisfont à aucune de ces inégalités sont en nombre fini. ”

“ Dans beaucoup de problèmes mécaniques, le nombre des degrés de liberté peut en effet être réduit à 2. C’est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie le mouvement d’un point matériel libre dans un plan ou, plus généralement, le mouvement d’un point matériel assujetti à rester sur une surface, toutes les fois que la force ne dépend que de la position de ce point. ”