Henri Poincaré

“ Si nous avions les coefficients de développement de la fonction perturbatrice sous la forme analytique, il serait aisé d'en déduire les coefficients correspondants dans le développement des dérivées partielles, ou des composantes de la force. Mais il n'en est plus de même si nous possédons seulement la valeur numérique de ces
coefficients, et c'est là tout ce que nous donnent les méthodes exposées dans le présent Chapitre. ”

“ Appliquons ceci au développement de .Nous prendrons pour origine des longitudes dans les plans des deux orbites la ligne commune des nœuds; la longitude moyenne est égale à l'anomalie moyenne plus la longitude du périhélie (qui ici se réduit à la distance du périhélie au nœud) . Mais, au lieu de prendre pour variables la longitude moyenne et la longitude du périhélie, ou bien encore l'anomalie moyenne et la longitude du périhélie comme on le fait d'ordinaire, nous pouvons évidemment prendre la longitude moyenne et l'anomalie moyenne. ”

“ Quand on prend, comme l'ont fait ces astronomes, pour variable indépendante l'anomalie, soit vraie, soit excentrique, de l'une des planètes, on est obligé à certaines transformations souvent assez longues et compliquées. ”

“ En général, les coefficients des divers termes vont en décroissant très rapidement à mesure que le degré s'élève; mais il peut arriver qu'un terme dont le coefficient est très petit ait néanmoins une grande importance, parce que l'intégration introduit des petits diviseurs grâce auxquels un petit terme produit parfois une perturbation considérable.
Supposons que nous ayons, dans la fonction perturbatrice, un terme B cos (k1 À1 + k2ג2) ,
et que les entiers k1 et k2 soient très grands, mais de telle façon que le rapport k, soit voisin du rapport des moyens mouvements ~n2. ”

“ Le développement (28) et les développements analogues procèdent suivant les puissances de e et les exponentielles Eiml. Si nous les ordonnons d'abord suivant les exponentielles Eiml, le coefficient de chaque terme, étant une fonction de Bessel, pourra être développé suivant les puissances de e en une série toujours convergente ; de plus, dès qu'on aura calculé les coefficients des différents termes de la série de Fourier, cette série elle-même sera toujours convergente. ”

“ Ces relations de récurrence et ces équations différentielles sont analogues à celles que nous avons rencontrées dans l'étude des coefficients de Laplace. Nul doute qu'elles ne puissent rendre les mêmes services dans le cas où les excentricités sont nulles; mais il n'en est pas de même dans le cas général; leur ordre semble trop élevé; heureusement il est permis d'espérer que ces équations ne sont pas irréductibles et que l'étude des périodes de l'intégrale double permettra d'en abaisser l'ordre. ”

“ Ainsi nos coefficients Amm, Bmm' ainsi que leurs dérivées partielles d'ordre quelconque par rapport aux éléments sont des expressions de la forme II.
Les conclusions du n° 290 sont vraies quand le polynome F est le plus général de son degré. Elles subsisteraient bien entendu dans les cas particuliers, par passage à la limite ; mais ici elles sont directement applicables.
En effet le théorème de M. Picard s'applique directement toutes les fois que le polynome F est indécomposable.
C'est ce qui arrive pour le polynome A2 dans le cas général du problème des trois corps. ”

“ Or, ces termes seront ceux où m = h+k+p+q,
c'est-à-dire ceux où l'exposant de β (qui remplace α) est la somme de ceux de μ et de v; il suffira donc de conserver, dans le polynome P, les termes du degré le plus élevé en μ. et v.
Nous avons trouvé plus haut
et nous trouvons maintenant
P0 étant ce que devient P quand on n' y conserve que les termes du degré le plus élevé en μ et en v; or, nous avons, à un facteur constant près,
a, b, c, c' étant des constantes et b entier négatif. Il faut conserver
les termes du degré le plus élevé, c'est-à-dire faire p + q = — b ”

“ Je n'ai pas à revenir sur le passage d'un développement à l'autre; je m'occuperai donc simplement de la manière d'obtenir le développement suivant les anomalies excentriques.
La méthode de Cauchy se rapproche également de celle de Hansen par un autre point. ”

“ Or, si les excentricités et les inclinaisons sont petites, un terme est d'autant plus petit que son degré est plus élevé. On aura donc une bonne approximation de B ou de C en se bornant aux termes dont le degré est précisément | k1 — k2 |. L'ensemble des termes constituera ce que nous pourrons appeler la partie principale du coefficient B ou C. Il sera intéressant de chercher ce que devient la fonction perturbatrice quand on réduit chacun des coefficients de la formule (12) à sa partie principale. ”

“ En revanche, le développement procédant suivant ces nouvelles variables est beaucoup plus facile que celui qui procède suivant les variables elliptiques ordinaires.
Il est aisé de passer de l'un à l'autre et c'est par l'intermédiaire du premier développement qu'il est le plus commode de parvenir au second. C'est ce qui justifie l'étude détaillée que nous ferons de ce premier développement.
Nous aurons donc à étudier quatre développements de la fonction perturbatrice procédant: 1° Suivant les variables
(8) a, e, i, u, g + 0. 6 ”

“ La fonction perturbatrice va donc se développer sous la forme
si l'un adopte l'un des systèmes (9) , (10) et (II) , k1 et k2 étant des entiers, À) et ג 2 les longitudes moyennes. Quant aux coefficients B et C, ce sont des fonctions des autres variables, c'est-à-dire des éléments oscillateurs a, e, i, g + θ, θ des deux planètes, ou bien des L, des ~2 et des w, ou bien encore des L, des £ et des Y|.
Si l'on adoptait les variables (9) , le développement se présenterait sous la forme
où M, et u2 sont les anomalies moyennes et où B' et C' sont des fonctions des éléments a, e, i, g + θ, θ. ”

“ On voit que tous nos opérateurs se présentent sous la forme de polynomes entiers en D.
M. Chessin préfère, au lieu de passer par les intermédiaires des développements (3 ter) et (3 bis) , former directement les opérateurs qui donnent le développement (3) . Ces opérateurs sont encore des polynomes en D, mais dont les coefficients sont beaucoups plus compliqués; mais M. Chessin a donné dans l' Astronomical Journal des relations de récurrence qui en facilitent beaucoup le calcul. ”

“ Ce qui nous intéresse c'est que, quand on développe P suivant les anomalies excentriques, c'est-à-dire suivant les puissances entières, positives et négatives de x et de y, ce développement ne contiendra qu'un nombre fini de termes. ”

“ Si nous considérons z comme un paramètre, x et y comme les coordonnées d'un point dans un plan, les équations (3) représentent un certain nombre de courbes planes.
Les singularités de θ données par un système d'équations de la forme φ1 = φ2 = o
correspondront aux points d'intersection de ces courbes; celles qui seront données par un système de la forme
correspondront aux points de contact d'une de ces courbes avec une tangente parallèle à l'axe des y. ”

“ Mais l'intégrale double (20) possède d'autres périodes que celle que nous considérons; une quelconque de ces périodes est fonction de ∝ et peut être développée suivant les puissances croissantes de ∝. Le coefficient de ∝m dans ce développement satisfera aux mêmes équations différentielles de U. La multiplicité des solutions des équations (19) s'explique donc par la multiplicité des périodes de l'intégrale (20) . ”

“ Un polynome de degré h contient j - h2 + 2h + 1 coefficients arbitraires, mais, s'il est symétrique, il n'en contient plus que (h-+-I) (h+2) .1 d. Ir l ffi (h ~2 est directe et, en effet, les coefficients 2 de z:':- lb se déduisent d'un seul d'entre eux, de sorte que nous n'avons plus à envisager que les termes où les deux exposants sont nuls ou positifs. Si la symétrie est croisée, il arrive (pour P par exemple) que les termes indépendants de z sont nuls, de sorte que nous ne devons plus envisager que les termes où l'un des exposants est nul, et l'autre nul ou positif. ”

“ Si, dans l'expression précédente, nous négligeons le terme en ε2 E-iu, nous commettrons une erreur du second degré et nous trouverons
6.Õ = (2 be' ε' — 2 b E + b Eiu - b' E+iu' ) (2b'1ε' — 2 bl E + bt E-iu - b'1 E-iu') en posant, pour abréger,
Si alors nous désignons par Δ~2 cette valeur approchée de Δ2 et par R l'erreur commise, nous aurons Δ2= ~Δ+R,
et R sera du second degré par rapport aux excentricités.
Si l'inclinaison n'est pas nulle, nous pourrons développer suivant les puissances de l'inclinaison et dans le développement ne figureront que des puissances paires de l'inclinaison. ”

“ Le coefficient de hk sera un polynome de la forme b1 F' + b2 F" +.+ bk F (k) , où les b sont des coefficients constants et les F (k) les dérivées successives de F; ceci peut s'écrire (b1 D + b2D2+.+ bk Dk) F,
où Dk est l'indice d'une différentiation répétée k fois. Cette expression b1 D+.+ bk Dk
sera ce qu'on appelle un opérateur ”

“ Si, e variant d'une manière continue depuis zéro jusqu'à e0, on peut s'arranger de façon que cette condition ne cesse jamais d'être remplie, c'est que e0 n'est pas une véritable valeur critique; e0 ne convient pas; si, au contraire, il est impossible de s'arranger pour que la condition soit remplie (parce que, comme je l'expliquais plus haut, le contour d'intégration se trouve pris entre deux points singuliers) , c'est que e0 est une véritable valeur critique ”

“ Jacobi cherche aussi à former le développement qui procède suivant les anomalies excentriques; il décompose aussi Δ2 en deux parties Af, et R, dont la seconde est du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; mais il n'a pas recours aux quadratures mécaniques. ”

“ P étant le polynome hypergéométrique à deux variables que nous venons d'étudier. Dans le cas de s = 1, nous venons de voir que ce polynome est à un facteur constant près le carré d'un polynome hypergéométrique à une variable. Mais dans ce cas on a
Il est aisé de développer le dernier membre suivant les puissances de a et l'on trouve
Donc le polynome P n'est autre chose que le coefficient de (—,Z \L) tl { Wv) k dans
en su pposant 'l cosσ = μ (,z + z-1) + v ( W + W-I) .
Ce coefficient s'exprime donc à l'aide des polynomes de Gauss (polynomes hypergéométriques à une variable) . ”

“ Ce que nous venons de dire s'applique encore si, au lieu de développer suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons, on développe suivant celles des ξ et des 7j.
217. Il arrive quelquefois qu'on est obligé, dans la fonction perturbatrice, de calculer un terme de degré élevé, sans avoir à calculer les termes de degré inférieur. ”

“ Si l'on envisage le développement de la fonction perturba- trice suivant les anomalies excentriques, il y aura entre les coefficients des relations linéaires de récurrence dont les coeffi- cients seront des fonctions rationnelles des éléments. ”

“ Si les fonctions II ne présentent que des singularités algébriques, ces fonctions uniformes se comporteront comme des fonctions rationnelles. Les coefficients de nos relations seront des fonctions non seulement uniformes, mais rationnelles. C'est ce qui arrive quand Q = o.
Nous pouvons prévoir par là que le nombre des périodes fonda-
mentales est de 16 dans le cas général et de 4 si les excentricités sont nulles. ”

“ Nous avons supposé dans ce qui précède h et k positifs, mais nous n'avons pas ainsi restreint la généralité et, en effet, Z ne change pas quand on change, soit z en z-1, soit w en w-t; d'où il suit que le coefficient de am zh wk
est le même que celui de Ct~~—~t~', r:J.lnzhw-k, r:J.1n.z-hw-k.
261. On sait que la fonction de M. Appell satisfait à deux équations aux dérivées partielles; on doit s'attendre à ce qu'il en soit ainsi de notre polynome P qui n'en diffère que par un facteur constant; c'est ce qu'il est aisé de vérifier. ”

“ Considérons maintenant une fonction périodique quel-
conque F (u, u')
des deux anomalies excentriques u et u' ; elle peut se développer en série de Fourier sous la forme
les p et les p' étant des entiers positifs ou négatifs, mais on peut aussi la développer en série de Fourier procédant suivant les anomalies moyennes l et l' sous la forme
Il s'agit de savoir quelles relations il y a entre les coefficients des deux séries (8) et (9) . ”

“ Une fois les opérateurs formés, il est aisé d'obtenir les développements eux-mêmes. Au Chapitre précédent, nous avons développé 1/Δ en supposant les excentricités nulles et cela sous plusieurs formes différentes. Nous avons trouvé d'abord
B étant égal à un polynome de Gauss en ν = multiplié par un facteur numérique et par des puissances de μ = cos 2 et ν = sin 2 C'est la formule (27) du Chapitre précédent. Il s'agit alors de voir ce que c'est que
on trouve
Il suffit donc de remplacer D, D' D, D'1, par m, — (m + 1) , ip, ip' ”

“ Seulement toutes ces valeurs peuvent ne pas convenir, car les deux singularités qui se confondent peuvent être situées d'un même côté du contour d'intégration.
Et d'ailleurs nous avons vu que nos conditions ne sont que nécessaires.
283. Appliquons ces principes aux intégrales (1) et (2) . La fonction sous le signe sera holomorphe tant par rapport à x et y que par rapport aux excentricités e et e' et à sin ~,J étant l'incli2 naison.
Il y aura exception seulement : 1° Si e = 1 et e' = 1 (condition où x et y n'interviennent pas et sur laquelle nous reviendrons) ; 2° Si x ou y est nul ou infini ”

“ J;;r a le même sens que plus haut; c'est un polynome entier par rapport à D, D', D,, D ', ; dansle second membre, c'est le même polynome, mais où les symboles D1, D'1, sont remplacés par les quantités ip et ip Il ne contient donc plus que deux symboles d'opération D et D' et il est appliqué à la fonction A. qui ne dépend plus que de loga et log a'. ”

“ Dans le développement de ~i les coefficients de za wb, z-awb, Za W-b, z-a w-b sont égaux, et peuvent être représentés à un même coefficient numérique près - ~A par l'une des intégrales doubles num é r i que près - par l'une des int é gra l es dou b les
où
Nous pouvons donc toujours supposer que le polynome H est symétrique.
Nous devons ensuite rechercher quels sont les polynomes H symétriques qui nous conduisent à une intégrale double identitiquement nulle. Ce sont ceux qui sont de la forme (4) . ”