Henri Lebesgue

“ La formule d'Euler et Maclaurin s'applique facilement dans deux cas : quand f est indéfiniment dérivable et que Rm tend vers zéro quand m croît, alors la formule conduit au calcul d'une série convergente; quand cette série existe, mais est divergente, elle peut encore servir au calcul si ses termes commencent à décroître pour croître ensuite, car on obtient alors une valeur approchée de la quantité à calculer en prenant la somme de tous les termes jusqu'au plus petit. ”

“ L'emploi de la seconde formule est préférable, parce qu'elle permet de calculer f en tous ses points réguliers. Avec cette formule, on a
en tous les points où notre procédé de sommation s'applique. Précisons quels sont ces points : ce sont d'abord ceux déjà nommés pour lesquels f est la dérivée de F; mais ce sont aussi les points x tels que la fonction de h, f (x+ h) + f (x— h) —2f (x) , qui est nulle pour h nul, soit la dérivée de son intégrale indéfinie. ”

“ Cette méthode est en quelque sorte l'inverse de celle que M. Picard emploie, dans le tome I de son Traité d'Analyse, pour démontrer le théorème de Weierstrass qui nous a servi de point de départ. Riemann avait peut-être prévu une méthode de ce genre; parlant d'un théorème équivalent au principe de Dirichlet pour le cas de la circonférence, il dit : « Si l'on admet ce théorème qui, en fait, est exact, alors la voie suivie par Cauchy (pour étudier la série de Fourier) conduit au but; de même que, réciproquement, ce théorème peut se déduire de la série de Fourier. » ”

“ Ce théorème de Riemann prouve que, pour la convergence de la série de Fourier de f, au point x il est nécessaire que f possède une certaine propriété en ce point; il n'est pas nécessaire que f possède une certaine propriété dans tout un intervalle. ”

“ Exemples de fonctions développables en série de Fourier. — Voici des exemples qui montreront quelques-unes des singularités que peut présenter la somme d'une série de Fourier.
Prenons ƒ (x) telle que
La série de Fourier de ƒ (x) est partout convergente parce que, quel que soit x, φ (t) est nulle pour t assez petit. Cependant ƒ (x)
présente des points de discontinuité de première espèce : les points π, ~, ~, ., qui sont des points réguliers. L'origine est un point de discontinuité de seconde espèce. ”

“ Le théorème est démontré.
Supposons, en particulier, que φ soit constamment nulle; alors Δ2f (x0) est constamment nulle. Quels que soient x, x1, h, on a donc
C'est dire que les deux différences f (x1 + h) — f (x1) et f (x+h) — f (x) sont égales ou, en d'autres termes, que f (x) s'accroît de quantités égales quand la variable s'accroît toujours de la même quantité. D'après un raisonnement bien connu et qu'on développe ordinairement à l'occasion du mouvement uniforme on doit conclure de là que f est une fonction linéaire. ”

“ Voici maintenant un exemple de fonction non intégrable au sens de Riemann et cependant représentée partout par sa série de Fourier. Il nous suffira de définir cette fonction ƒ dans (o, 2π) .
Nous supposons marqué dans (o, 2π) un ensemble fermé E, dont o et 2π font partie, de mesure non nulle. La fonction ƒ (x) aura les points de E pour points de discontinuité, elle ne sera donc pas intégrable dans (o, 2π) par la méthode de Riemann. ”

“ Au paragraphe VII du Mémoire de Riemann on lit: « Si les coefficients an et bn tendent vers zéro pour n croissant à l'infini, les termes de la série Ω [celle qui, peut-être, représente ƒ (x) ] finiront par devenir infiniment petits, quel que soit x; sinon, ils ne pourront le devenir que dans des valeurs particulières de x. » C'est le théorème du n° 57. Quant au théorème de du Bois-Reymond, il est admis, mais moins nettement, à la fin du paragraphe III et dans le paragraphe X. ”

“ Avant lui, Clairaut écrivait au sujet de la méthode de détermination des coefficients indiquée au n° 17 : « Un avantage de la formule précédente, c'est l'universalité de la construction qu'elle donne; elle est telle qu'on peut l'appliquer à des fonctions de t beaucoup plus compliquées que celles que l'on a traitées jusqu'à présent. Dans les cas où la loi de la fonction ne sera pas même donnée algébriquement, dans ceux où la courbe qui l'exprime ne seroit donnée que par plusieurs points, notre manière de résoudre la série s'appliqueroit avec autant de facilité. » ”

“ Alors, si f (x) est une fonction impaire, continue, de période 2π, à variation bornée sauf autour de x = 0, et, quel que soit p, égale à fp dans Ip, sa série de Fourier converge partout, même à l'origine puisque cette série ne contient que des sinus. Cependant cette série n'est pas uniformément convergente autour de x = 0, puisqu'en xp la somme d'indice μp de cette série surpasse p quand on la prend en valeur absolue, d'après le second énoncé du n" 45 (1) .
Nous venons de construire des fonctions présentant une certaine singularité à l'origine ”

“ Cette égalité est connue sous le nom de second théorème de la moyenne; elle est due à Ossian Bonnet qui l'a donnée dans son Mémoire Sur les séries trigonométriques ( Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique, t. XXIII) . Weierstrass a indiqué un autre énoncé qui, grâce surtout aux recherches de P. du Bois-Reymond, de MM. Dini et Jordan, est maintenant l'un des plus généraux que l'on connaisse concernant les fonctions intégrables au sens de Riemann. Ce théorème a servi de base à plusieurs des recherches sur les séries de Fourier ”

“ Une série dont les coefficients ne tendent pas vers zéro peut avoir des points de convergence dans tout intervalle; on en trouvera des exemples dans le dernier paragraphe du Mémoire de Riemann, le plus simple est celui de la série Σsinn! ”

“ Supposons maintenant que f soit comprise entre l et L quand on ne s'occupe que de (x—h, x+h) , alors, en modifiant f à l'extérieur de cet intervalle de façon qu'elle soit partout comprise entre et L, on ne modifie σn (x) que d'une quantité qui tend vers zéro quand n croît, donc : les limites inférieure et supérieure de la fonction f au point x2 comprennent entre elles toutes les limites vers lesquelles tendent σn (x2) quand n croit indéfiniment. ”

“ Soit C une courbe plane fermée sans points multiples, rectifiable, c'est-à-dire de longueur finie L; M. Jordan a démontré qu'une telle courbe partageait le plan en deux régions et que la région intérieure est de celles qu'il a appelées quarrables et auxquelles on peut attacher une aire A. M. Jordan a montré de plus que, de quelque façon qu'on exprime les points de C comme fonctions continues d'un paramètre, ces coordonnées sont des fonctions à variation bornée de ce paramètre. ”

“ Théorème de M. Georg Cantor. — Lorsqu'une série trigonométrique est convergente pour tous les points d'un in- tervalle, ses coefficients tendent vers zéro. Cela sera évidemment prouvé si nous démontrons que la série trigonométrique dont le terme général est ρn cos n (x — αn) ne peut converger que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle lorsque ρn ne tend pas vers zéro quand n croît. En effet, lorsqu'il en est ainsi, on peut trouver une suite croissante d'entiers ni tels que les nombres ρni correspondants soient tous supérieurs à un nombre fixe m diffé- rent de zéro. ”

“ Il serait facile, bien entendu, de la démontrer dans des cas plus généraux et de la démontrer directement; il serait facile aussi d'étudier la convergence uniforme, quand n croît, de l'intégrale de Fourier qui figure au premier membre de la formule.
Fourier a obtenu sa formule sous une autre forme qu'il est intéressant de connaître; je ne la démontrerai que dans le cas très simple où |ƒ (θ) | dθ a un sens et où il n'existe qu'un nombre fini de points en lesquels ƒ ( θ ) cesse de croître pour décroître, ou inversement ; on supposera de plus comme plus haut que f n'a que des points réguliers. ”

“ Le principe de Dirichlet est l'affirmation de la possibilité du problème de Dirichlet. Le seul cas qui va être examiné est celui où C est une circonférence (1 ) .
Faisons quelques remarques préliminaires. Si l'on pose z=x + iy, tout polynome en z, décomposé en sa partie réelle et sa partie imaginaire, fournit deux polynomes en x et y qui satisfont à l'équation de Laplace ΔU = 0, ce que l'on exprime en disant que ce sont des polynômes harmoniques. ”

“ Théorèmes de Riemann. — La quantité |ψ (t + δ) — ψ (t) |, intégrée de α à (0<α<~) , tend vers zéro avec δ, puisque, dans (α, ~) , ψ a une intégrale (n" 13) ; on peut, par conséquent, remplacer dans la condition de convergence qui précède
Cette remarque conduit à un théorème important dû à Riemann.
Soient deux fonctions f1 et f2, ayant des séries de Fourier, et égalés entre elles autour du point x. Les fonctions φ et ψ correspondant à la différence f1 — f2 sont nulles pour t assez petit, par suite Φ est nulle autour de t = o et pour α et δ assez petits
est aussi nulle. ”

“ Les points A, , A2, sont sur la normale A X à C en A; les points B, B1, B2, sont sur la tangente B X' à C en B.
AX et BX' sont deux droites parallèles. Nous nous proposons de rechercher si les courbes Ci et les courbes Γi, qui s'éloignent indéfiniment entre AX et BX', ne tendraient pas vers une forme limite.
Considérons un point M de C et les points μ et M1 correspondants de r et C1. Désignons par x l'angle aigu de la tangente en M avec BX', par s l'arc BM de C, par r le rayon de courbure de C en M; par x1, s1, r1 nous désignons les éléments analogues de C1 ”

“ L'idée qui se présente immédiatement à l'esprit consiste à considérer dans les équations (M) les A, B, a et β comme connus et les ɑ et b comme inconnus. Le problème est ainsi ramené à la résolution d'une infinité d'équations à une infinité d'inconnues ”

“ Formule de Fourier. — Les résultats obtenus jusqu'ici sont relatifs à la convergence de l'intégrale πSn
quand n augmente indéfiniment. Nous avons vu que la limite de cette intégrale restait la même quand on l'étend de β à γ au lieu de l'étendre de α à 2 π + α, pourvu que l'on ait β < x < γ < β + 2 π.
Il existe toute une classe de fonctions φ (n, θ) des deux variables n et θ qui jouissent des propriétés suivantes : 1° pour une certaine valeur x de θ la fonction φ (n, θ) croît indéfiniment avec n; 2° φ (n, θ) dθ tend vers zéro avec n pourvu que x n'appartienne pas à l'intervalle (β, γ) ”

“ Il est évident que tend vers zéro avec de même que εn.
Comme on a
il en résulte
Pour étudier la première intégrale, admettons que l'intégrale indéfinie
ait une dérivée nulle pour t = 0; ce qui est réalisé en particulier
toutes les fois que φ est continue et nulle à l'origine, donc en tous les points réguliers de f. ”

“ Si l'on faisait le changement de variable x = X — a avant le raisonnement, on serait conduit à constater la possibilité d'intégrer la série de Fourier dans (x1, x2) ne contenant pas de valeur congrue à a, c'està-dire, puisque a est quelconque, dans tout intervalle d'étendue moindre que 2π. En partageant un intervalle quelconque en parties d'étendues moindres que 2π, on vérifiera l'énoncé général : La série de Fourier de ƒ, intégrée terme à terme dans un intervalle quelconque, fournit l'intégrale de f dans cet inter- valle. ”

“ Le théorème général sera utilisé au n" 58.
Voici une autre conséquence de la transformation d'Abel.
Supposons les nombres u0, u1, ., un positifs et décroissants, notre identité fondamentale montre que la somme Σn = u0ν0 + u1ν1 + + unνn
est comprise entre les deux produits obtenus en multipliant le plus grand et le plus petit des nombres σ0, σ1, ., σn par Δu0 + Δu1 + + Δun—1 + un = u0.
Considérons alors une intégrale de la forme ~uν dκ, dans
laquelle u est une fonction positive décroissante ( 1 ) ; divisons (a, b) en n + 1 segments égaux, de longueur h. ”

“ D'autre part, dans l'hypothèse considérée, on peut écrire
le second membre tendant vers zéro avec δ.
Donc, si ψ a une intégrale dans (0, ~) ,
tend vers zéro avec Qu'y aurait-il de changé si l'on étudiait la même intégrale étendue de a à b, au lieu de o à ~, ψ ayant une intégrale dans (a, b) ?
Tous nos raisonnements s'appliqueraient; seulement on aurait en général deux termes de forme irrégulière, analogues à celui qui a été désigné par εn, l'un fourni par le commencement de (a, b) , l'autre par la fin. ”

“ Donc, si l'on pose
la fonction φ (κ) égale f (κ) pour Cette formule d'interpolation trigonométrique est due à Clairaut qui a remarqué, de plus, qu'en faisant croître n, α'p tend vers la valeur αp définie par les formules du paragraphe précédent.
On peut traiter de même le cas d'une série de sinus; cela conduit à poser
la fonction ψ (κ) ainsi définie égale f (κ) pour ~2 ., (n — 1) Cette formule d'interpolation est due à Lagrange.
On a parfois considéré comme évident que φ ( x) et ψ (κ) tendent vers f (x) quand n augmente indéfiniment ”

“ Démontrons, par exemple, cette dernière propriété ; soit f la limite des fonctions mesurables f1, f2, Désignons par En l'ensemble des points en lesquels on a a De là résulte, en particulier, qu'une série trigonométrique convergente ne peut représenter qu'une fonction mesurable ”

“ Posons alors
r b1 sinx + b3 sin 3x + b5 sin 5x +., ce qui est possible puisque r n'est encore défini que dans (o,~ ) On pourrait d'ailleurs remplacer cette égalité formelle par une égalité entre nombres telle que la série du second membre soit uniformément convergente, car, à condition peut-être de supprimer les premières courbes C, C1, ., on peut supposer que r (o) = o et que r (x) a partout une dérivée bornée. ”