Henri Lebesgue

“ Avant de rechercher si la fonction y (x) est une dérivée, je vais montrer comment un cas particulier important du théorème de Scheeffer se déduit immédiatement du théorème de Darboux.
Supposons que la dérivée d'une fonction f (xj soit toujours bien déterminée en grandeur et signe (on ne suppose pas qu'elle soit finie) , alors si elle n'est pas toujours égale à un nombre donné A, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f (x) est différent de A a la puissance du continu. ”

“ Les fonctions dont nous venons de nous occuper sont définies dans tout un intervalle, mais il est clair que les notions de dérivée et de nombres dérivés s'étendent de suite à une fonction définie seulement pour les points d'un ensemble, ou considérée seulement pour les points d'un ensemble. La fonction yfx) (p. 15) est discontinue en tout point ; elle admet cependant une dérivée nulle sur l'ensemble des nombres rationnels aux points x rationnels et une dérivée nulle sur l'ensemble des nombres irrationnels aux points x irrationnels. ”

“ D'une façon plus générale, si une grandeur est fonction d'autres grandeurs, toutes ces grandeurs sont coexistantes. Nous sommes habitués à raisonner sur variables et fonctions, mais il y a tout aussi bien lieu de raisonner sur des grandeurs coexistantes : entre la surface et le volume d'un cylindre, on peut, par exemple, établir des relations d'inégalité. Pour donner une base solide aux raisonnements sur les grandeurs coexistantes, précisons cette notion ce qui d'ailleurs va en restreindre la portée. ”

“ En résumé, la construction d'un segment fini de la suite des entiers n'exige que l'emploi de ce qu'on peut appeler une récurrence finie, la démonstration d'une propriété pour tous les nombres de ce segment exige seulement un raisonnement par récurrence finie, " réductible aux syllogismes; la construction de la suite complète des entiers exige un procédé de récurrence indéfinie et la démonstration d'une propriété pour tous les entiers exige le raisonnement par récurrence indéfinie qu'on ne pourrait remplacer que par une suite indéfinie de syllogismes. ”

“ Gt (£) est fermé. En effet, si A est un point limite de G| (E) , tout intervalle contenant A contient des points de GT (£) et Y a une oscillation au moins égale à £ dans cet intervalle.
Pour le nouvel énoncé de la condition d'intégrabilité, je vais faire appel à une notion qu'on retrouvera dans la suite : celle d'ensemble de mesure nulle. C'est un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles dont la longueur totale est aussi petite que l'on veut.
Un point, un groupe intégrable sont des exemples d'ensembles de mesure nulle. ”

“ Mais je n'ai pas parlé des procédés d'intégration par parties et par substitutions, du second théorème de la moyenne, de l'inégalité de Schwarz et de ses généralisations, indispensables pourtant pour l'utilisation mathématique de l'intégrale.
La généralisation est l'un des meilleurs moyens de « faire comprendre» en mathématiques ; alors que, sur le cas particulier, on est gêné par tous les faits que l'on peut observer et qui ne sont propres qu'à ce cas particulier, dans le cas général il n'y a plus rien à observer en dehors des faits mêmes sur
lesquels il faut raisonner ”

“ Que les fonctions de domaine s'introduisent en physique et y apparaissent même comme plus directement adaptées aux besoins du physicien que les fonctions de points ne doit pas nous étonner. Un point n'est que la conception limite de corps de plus en plus petits, une fonction de point ne peut s'introduire en physique que
comme limite d'une fonction de corps, d'une fonction de domaine. ”

“ Si nous faisons la somme des inégalités analogues, relatives aux intervalles partiels, nous avons, en faisant tendre ces intervalles vers zéro,
De cette inégalité il résulte en particulier que : si l'un des nombres dérivés d'une fonction f (x) est intègrablé, auquel cas les trois autres le sont aussi et ont même intégrale, son intégrale indéfinie est de la forme f (x) -+- const. ; et cet énoncé, plus particulier encore : lorsqu'une dérivée est intégrable, il y a identité entre ses fonctions primitives et ses intégrales indéfinies. ”

“ Mais un groupe intégrable dans le plan peut être un ensemble continu, c'est-à-dire un ensemble tel que deux quelconques de ses points puissent être joints par une courbe ne passant que par des points de l'ensemble ; nous savons en effet qu'un segment, une ligne polygonale, une circonférence, une ellipse sont d'étendue superficielle extérieure nulle. ”

“ Deux fonctions F (X) satisfaisant à ces conditions ne différeront, à une constante additive près, qu'en certains de leurs
points de discontinuité ; inversement, si F (X) répond à la question, toute fonction à variation bornée, égale à F (X) en tous les points où elles sont toutes deux continues à la fois, y répond aussi. Nous retrouverons souvent, cette indétermination de F (X) à laquelle il faut tout de suite penser dès qu'on arrive à des conclusions qui semblent contradictoires. ”

“ L'additivité complète entraîne, à elle seule, bien des propriétés. Remarquons d'abord qu'une fonction additive d'ensemble qui est non bornée a des points en lesquels elle n'est pas bornée ; il faut entendre par là qu'il existe un point x tel que, si petit que soit un intervalle I contenant x à son intérieur et si grand que soit un un nombre N, il est possible de trouver un ensemble E formé de points de 1 et pour lequel la fonction ^ (E) considérée surpasse N en valeur absolue. ”

“ C'est ce que nous allons faire : Si le nombre fini Adf (x) est donné pour toute valeur de la variable, sauf pour les points d'un ensemble E, la fonction continue f (x) est déterminée à une constante additive prés dans tout intervalle ne contenant pas de points de E à son intérieur ; donc il en est aussi de même dans tout intervalle si E est réductible, comme on le voit en reprenant les raisonnements employés au Chapitre I à l'occasion des recherches de Cauchy et Dirichlet. ”

“ A toute intégration définie nous avons attaché une intégration indéfinie fournissant une fonction de points, une fonction d'intervalles, une fonction d'ensemble mesurable; de sorte que la notion d'intégrale de Stieltjès conduit à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction de point, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d'intervalle, à une intégrale indéfinie de Stieltjès fonction d'ensemble. ”

“ L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu'il s'agisse d'une véritable somme, c'est-à-dire de la somme d'un nombre fini de termes et non pas d'une série.
Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.
Soit f (x) une fonction comprise entre l et L dans (a, b) . ”

“ Une dérivée ne peut pas être discontinue en tout point, et o (x) est discontinue en tout point.
Cette propriété des fonctions dérivées résulte d'un théorème dû à M. R. Baire. f (x) est la limite, pour h = o, de la fonction '' [/ (a?) , x, x-i~/t] continue en x quand h est constant; c'est donc une fonction de première classe, c'est-à-dire une fonction limite de fonctions continues. Or M. Baire a démontré que si l'on considère une fonction de classe un sur un ensemble parfait quelconque, il existe des points où elle est continue sur cet ensemble parfait ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ Les points de discontinuité et de continuité se définissent comme précédemment ; bref, les définitions antérieures s'appliquent. Seulement on ne considère plus que des ensembles réduits à un intervalle fermé ou ouvert, positif ou nul, et, par suite, une propriété qui fait appel à des ensembles qu'on ne saurait réduire à des intervalles n'a pas de transformée ; celle-ci par exemple : toute fonctions V (E) à variation bornée atteint sa limite supérieure.
Passons maintenant d'une fonction d'intervalle complètement additive à une fonction de x. ”

“ Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction intégrable soit une dérivée; elle ne se présente pas sous la forme que l'on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un fait A, l'existence d'une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui ”

“ Une fonction continue F (x) sera dite résoluble si, quel que soit l'ensemble fermé de mesure nulle E, il existe un intervalle (l, m) contenant des points de E et tel que l'accroissement de F (x) sur la partie de E située dans (l, m) soit défini et égal à zéro.
Voici maintenant l'énoncé de M. Denjoy : Pour qu'une fonction soit une totale indéfinie, il faut et il suffit qu'elle soit résoluble. ”

“ Elles auraient été fort utiles même si elles n'avaient eu pour effet que de fixer notre attention sur l'intégration et la dérivation assez pour que nous ayons reconnu ceci : l'intégration est toujours une opération analogue à celle qu'il faut faire pour calculer la quantité de chaleur nécessaire pour élever un corps de 1°, en fonction des masses de ses parties et de leurs chaleurs spécifiques ; la dérivation est l'opération inverse. Ces opérations relient deux grandeurs attachées à ces corps et une fonction attachée aux points de ces corps. ”

“ Seulement, comme nous avons considéré aussi l'intégrale de f (x) étendue à un ensemble mesurable E, nous devons considérer l'intégrale indéfinie de f (x) comme la fonction d'ensemble
il est sous-entendu que l'argument E de cette fonction doit être mesurable et formé à l'aide de points de l'intervalle ou ensemble Pour les points duquel f (x) est connue. Pour fixer les idées, nous supposerons toujours, sauf avis contraire, que f (x) est définie dans un intervalle que nous appellerons (a, b) ; ce qui n'entraîne en réalité aucune restriction (p. 127) . ”

“ Mais l'ensemble exceptionnel E2 fourni par la seconde opérabon de totalisation qui donne F (x) à partir de 9 (x) est le premier ensemble exceptionnel qu'on rencontrerait dans la recherche, par totalisation, de la fonction G (x) construite à partir de E1, tandis l'ensemble H2 relatif à F (x) est pour G (x) l'analogue de l'ensemble de H1, c'est-à-dire qu'il est l'ensemble des points de non absolue continuité de G (x) . Il est donc clair que E2 et H2 sont identiques ; il en est de même de E3 et H3, de E4 et H4, etc. ”

“ Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s'il s'agit d'un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s'il s'agit d'un ensemble dans le plan; pour un tel ensemble, en effet, l'étendue intérieure est nulle, l'étendue extérieure ne l'est pas. ”

“ Sous l'une ou l'autre forme, on voit qu'il y a là la possibilité de déterminer F dans des intervalles contenant des points de E ; ceci suffit pour qu'on soit certain de pouvoir obtenir F dans tout (a, b) par récurrence transfinie; F est, par suite, déterminée à une constante additive près.
La nouvelle catégorie de fonctions x (x) est très vaste, pourtant nous ne savons pas toujours trouver la fonction F (x) continue admettant par rapport à une fonction continue ”

“ J'avais utilisé ce fait pour l'étude de l'intégrale de Stieltjès ; c'est M. de la Vallée Poussin qui, dans sa conférence du congrès de Strasbourg, en a indiqué l'utilisation actuelle. Antérieurement, M. de la Vallée Poussin avait montré comment on pouvait obtenir la fonction d'ensemble attachée à une fonction F (x) non absolument continue grâce à un procédé qui généralise exactement celui qui nous a conduit à la mesure des ensembles. Voir son livre déjà cité et, plus loin, le Chapitre XI.
Mais on ne peut pas affirmer que l'accroissement soit défini pour tous les ensembles Ex mesurables. ”

“ Ce qui nous arrive ici se présente toujours quand on éclaircit une notion d'abord obscure. Quand on a su que raisonner sur les nombres imaginaires, c'était raisonner sur des couples de nombres réels, l'emploi des imaginaires était devenu à la fois sans obscurité et sans nécessité. Du moins du point de vue logique ; mais pratiquement, on avait les plus gros avantages à faire usage des imaginaires dont l'emploi était devenu à la fois légitime et avantageux.
( 2) Il ne va s'agir que des raisonnements applicables à un nombre transfini quelconque ”