Henri Lebesgue

“ Dirichlet a rencontré incidemment la fonction
dont tous les points sont des points de discontinuité, puisqu'elle est nulle pour x irrationnel, égale à I pour x rationnel. Les considérations de Cauchy et de Dirichlet ne s'appliquent donc pas à toutes les fonctions au sens de Cauchy. Riemann (1) a montré, sur un exemple, comment l'emploi des séries permettait de construire des fonctions dont les points de discontinuité forment un ensemble partout dense, fonctions auxquelles les définitions précédentes ne peuvent donc s'appliquer. ”

“ On connaissait bien des fonctions, celle de Cauchy, par exemple, + \J x2, qui, en certains points, n'avaient pas de dérivée; mais ces points étaient exceptionnels, ils ne formaient jamais un ensemble partout dense; dans l'exemple de Riemann, au contraire, il y a des points sans dérivée dans tout intervalle. Le principe de condensation des singularités nous donnera autant d'exemples que nous le voudrons de fonctions analogues à celles de Riemann ; si les ap sont tous les nombres rationnels, f P2 est une de ces fonctions.
L'intégration fournit des fonctions qui n'ont pas toujours une dérivée. ”

“ Au point de vue qui nous occupe, les points singuliers de f (x) sont ceux qui ne sont intérieurs à. aucun intervalle dans lequel f (x) est continue; ce sont donc les points de e et ceux de e', ces points forment un ensemble que nous désignerons par E. Tout point limite de points de E, par sa définition même, est aussi point de E; E contient donc tous ses points limites. C'est un des ensembles que M. Jordan appelle parfaits et M. Borel relativement parfaits; nous appellerons un tel ensemble un ensemble fermé. ”

“ Le cas dans lequel nous savons résoudre le problème C' est celui où le nombre dérivé donné est intégrable. Ce nombre dérivé a alors des points de continuité; en ces points il y a une dérivée égale au nombre dérivé donné, et l'on connaît partout la dérivée de la fonction inconnue, sauf aux points de discontinuité, c'est-à-dire sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. Il suffirait de se servir des valeurs connues de la dérivée pour avoir la fonction. ”

“ Nous avons trouvé une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction intégrable soit une dérivée ; elle ne se présente pas sous la forme que l'on donne habituellement à de telles conditions. Le plus souvent on énonce, comme condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un fait A, l'existence d'une propriété B qui accompagne toujours le fait A et est toujours accompagnée par lui ”

“ Une fonction nulle partout, sauf pour x = 0, n'est pas une fonction dérivée, puisque sa fonction primitive, si elle existait, devrait être continue, constante pour x positif, et pour x négatif, donc toujours constante et cependant sa dérivée ne serait pas nulle pour x = o. Ceci montre que les notions d'intégrale indéfinie et de fonction primitive sont différentes. ”

“ Les limites d'indétermination de la limite de 4* 00 pour X = o sont les deux intégrales par excès et par défaut. Ceci fait prévoir que ces deux intégrales nous feront souvent connaître des limites inférieure et supérieure d'un nombre quand on saura que ce nombre est donné par une intégrale J f dx toutes les fois que f est intégrable.
Pour mieux étudier l'indétermination de la limite de S, il faudrait déterminer l'ensemble A de toutes les valeurs limites de S (2) .
(1) Si l'on remplace X (x) par une fonction non intégrable quelconque, les signes d'inégalité sont indispensables. ”

“ Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s'il s'agit d'un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s'il s'agit d'un ensemble dans le plan; pour un tel ensemble, en effet, l'étendue intérieure est nulle, l'étendue extérieure ne l'est pas. ”

“ J'ai réuni dans cet Ouvrage les Leçons que j'ai faites au Collège de France, pendant l'année scolaire 1902-1903, comme chargé du cours fondé par la famille Peccot.
Les vingt Leçons que comprend ce Cours ont été consacrées à l'étude du développement de la notion d'intégrale.
Un historique complet n'aurait pu tenir en vingt Leçons; aussi, laissant de côté bien des résultats importants, je me suis tout d'abord limité à l'intégration des fonctions réelles d'une seule variable réelle ; le lecteur pourra rechercher si les résultats indiqués se prêtent facilement à des généralisations. ”

“ De sorte qu'un groupe intégrable est un ensemble d'étendue extérieure nulle ou, si l'on veut, un ensemble mesurable J et d'étendue nulle.
La méthode précédente ne pourrait être appliquée aux ensembles formés des points d'un espace à plusieurs dimensions que si nous avions étudié au préalable les intégrales multiples par défaut et par excès. Une telle étude ne présente pas de difficultés, mais il est plus simple d'employer la méthode de M. Jordan qui est, en somme, la démonstration de l'existence de ces intégrales dans le cas particulier de la fonction ij/. ”

“ Dans un intervalle intérieur à un intervalle contigu à El, E n'a pas de points limites, donc est fini et par suite il est dénombrable dans tout intervalle contigu à El. E est dénombrable.
A la classe des ensembles non dénombrables appartiennent les ensembles parfaits :
VI. Tout ensemble parfait a la puissance du continu. — Cela est évident si l'ensemble contient un intervalle ; soit E un ensemble parfait non dense dont les points extrêmes sont A et B (1) . ”

“ Les nombres dérivés peuvent remplacer dans certaines études les dérivées ordinaires. Dans l'étude de la variation d'une fonction par exemple : si les nombres dérivés sont tous quatre positifs, la fonction est croissante; si les deux nombres dérivés postérieurs sont positifs, la fonction est croissante à droite; si les deux dérivés postérieurs sont positifs et les deux antérieurs négatifs, la fonction admet un minimum pour x = x0 ”

“ Dans la courbe y = f (x) inscrivons la ligne polygonaley = cp (x) dont les sommets ont pour abscisses x0, x,, ., xn, f (x) et (f (x) diffèrent de moins de s. C'est dire que cp (x) tend uniformément vers f (x) : quand s tend vers zéro; il nous suffira donc de démontrer que φ (x) est une fonction dérivée pour que nous puissions affirmer qu'il en est de même de f (x) . ”

“ Les raisonnements employés montrent que le problème d'intégration est possible et d'une seule manière, si on le pose pour les fonctions sommables.
On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est facile au contraire de citer des fonctions non bornées non sommables. ”

“ De cette inégalité il résulte en particulier que : si l'un des nombres dérivés d'une fonction f (x) est intégrable, auquel cas les trois autres le sont aussi et ont même intégrale, son intégrale indéfinie est de la forme f (x) -+- const.; et cet énoncé, plus particulier encore : lorsqu'une dérivée est intégrable, il y a identité entre ses fonctions primitives et ses intégrales indéfinies. ”

“ A chacun de ces points correspond un nombre fini ou transfini, indice du premier dérivé ne contenant pas ce point. Il y a une infinité dénombrable de ces nombres, soit a le plus grand d'entre eux, s'il y en a un plus grand que tous les autres et, s'il n'en est pas ainsi, soit a le plus petit de ceux qui les surpassent.
Le dérivé Ea est identique à ED, donc : VII. Tout ensemble a l'un de ses dérivés parfait.
VIII. Tout ensemble fermé est la somme d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait (1 ) . ”

“ Aj, où Ay est le nombre analogue à A et relatif à Δ'j. Mais, puisque l'on sait que Aj est au plus égal à Ai, on en déduit cci A i -i- n Àj!.
Tous les αj, à partir d'un certain indice, sont inférieurs à Ai + ε (ε > o) ; donc leur plus grande limite est au plus Ai + e et, puisque i et e sont quelconques, la plus grande limite de αj est au plus égale à la plus petite des Ai. Rien n'empêche d'échanger dans le raisonnement Ai et aj; donc, toutes les limites des Ai et des αj sont égales, Ai tend vers une limite déterminée. Cette limite eu est l'oscillation moyenne de la fonction dans (a, b) . ”

“ Les nombres L, l, cd sont appelas le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et l'oscillation de la fonction en A. A est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que west nul ou positif, c'est-à-dire suivant que L et l sont égaux ou inégaux. ”

“ M. Cantor considère d'autres nombres transfinis que ceux dont il est question ici, mais ces nombres ne sont pas utiles dans l'étude des ensembles dérivés.
Lorsqu'un dérivé contient une infinité de points et n'est pas parfait, il y a lieu de considérer son dérivé qui est, par définition, le premier dérivé qui vienne après lui. Une seconde définition est nécessaire; soient E∝, liP,
des dérivés en nombre fini ou dénombrable, s'ils contiennent tous des points et. s'ils sont différents deux à deux il existe des points qui leur sont communs à tous ”

“ Pour la démonstration de ces propriétés, on pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j'ai publié dans les Annales de l'École Normale (novembre 1903 ) .
(3) Il est facile de voir que VI + (X2 sin y n'est pas une dérivée exacte. On pourra pour le voir, soit développer ce radical en série de Laurent, soit utiliser les résultats qui seront obtenus plus loin. Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité VI + F' (x) 2, ou F est la fonction à dérivée non intégrablede M. Volterra, n'est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel. ”

“ Par une méthode toute différente, Weierstrass a construit une fonction n'ayant jamais de dérivée (2) ; il est évident que l'intégration ne peut pas donner de telles fonctions : Les points en lesquels une intégrale indéfinie n'admet pas de dérivée forment un ensemble de mesure nulle, puisque ces points appartiennent
(1) Voir p. 15. L'intégrale indéfinie s'obtient en intégrant terme à terme. ”