Bernhard Riemann

“ Si l’on considère ces surfaces comme le lieu où peut se mouvoir un segment superficiel, de même que l’espace est le lieu où se meuvent les corps, le segment superficiel sera mobile sans extension sur toutes ces surfaces. Les surfaces à mesure de courbure positive pourront toujours recevoir une forme telle que les segments superficiels puissent, de plus, s’y mouvoir sans flexion, et cette forme sera celle d’une sphère ”

“ Lorsqu’on étend les constructions de l’espace à l’immensurablement grand, il faut faire la distinction entre l’illimité et l’infini ; le premier appartient aux rapports d’étendue, le second aux rapports métriques. Que l’espace soit une variété illimitée de trois dimensions, c’est là une hypothèse qui s’applique dans toutes nos conceptions du monde extérieur, qui nous sert à compléter à chaque instant le domaine de nos perceptions effectives et à construire les lieux possibles d’un objet cherché, et qui se trouve constamment vérifiée dans toutes ces applications. ”

“ Lorsque la partie réelle de est négative, l’intégrale, au lieu d’être prise dans le sens positif autour du domaine de grandeurs assigné, peut être prise dans le sens négatif autour du domaine de grandeurs qui contient toutes les grandeurs complexes restantes, car l’intégrale, pour des valeurs dont le module est infiniment grand est alors infiniment petite. ”

“ C’est sur l’exactitude avec laquelle nous suivons les phénomènes dans l’infiniment petit, que repose essentiellement notre connaissance de leurs rapports de causalité. Les progrès des derniers siècles dans la connaissance de la nature mécanique dépendent presque seulement de l’exactitude de la construction, qui est devenue possible, grâce à l’invention de l’analyse de l’infini, et aux principes simples découverts par Archimède, par Galilée et par Newton, et dont se sert la Physique moderne. ”

“ Au contraire, les occasions qui peuvent faire naître les concepts dont les modes de détermination forment une variété continue sont si rares dans la vie ordinaire, que les lieux des objets sensibles et les couleurs sont à peu près les seuls concepts simples dont les modes de détermination forment une variété de plusieurs dimensions. C’est seulement dans les hautes Mathématiques que les occasions pour la formation et le développement de ces concepts deviennent plus fréquentes. ”

“ La propriété de l’espace d’être illimité possède donc une plus grande certitude empirique qu’aucune autre donnée externe de l’expérience. Mais l’infinité de l’espace n’en est en aucune manière la conséquence ; au contraire, si l’on suppose les corps indépendants du lieu, et qu’ainsi l’on attribue à l’espace une mesure de courbure constante, l’espace serait nécessairement fini, dès que cette mesure de courbure aurait une valeur positive, si petite qu’elle fût. ”

“ En portant ces valeurs dans l’expression de on obtient
[7] , [8]
où, dans la série on donnera à pour valeurs toutes les racines positives (ou à parties réelles positives) de l’équation en les rangeant par ordre de grandeur. On peut alors, après une discussion plus approfondie de la fonction , démontrer aisément que lorsque les termes sont rangés, comme il est prescrit ci-dessus, dans la série
,
celle-ci converge vers la même limite que l’expression
lorsque la grandeur croît sans limites. ”

“ Des recherches partant de concepts généraux, comme l’étude que nous venons de faire, ne peuvent avoir d’autre utilité que d’empêcher que ce travail ne soit entravé par des vues trop étroites, et que le progrès dans la connaissance de la dépendance mutuelle des choses ne trouve un obstacle dans les préjugés traditionnels. ”

“ En prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, les directions initiales situées dans un élément superficiel, on obtiendrait une surface illimitée de mesure de courbure constante, c’est-à-dire une surface qui, dans une variété plane de trois dimensions, prendrait la forme d’une surface sphérique, et qui serait par conséquent finie.
§ III.
Les questions sur l’immensurablement grand sont des questions inutiles pour l’explication de la nature. ”

“ La raison en est que le concept général des grandeurs de dimensions multiples, comprenant comme cas particulier les grandeurs étendues, n’a jamais été l’objet d’aucune étude. En conséquence, je me suis posé d’abord le problème de construire, en partant du concept général de grandeur, le concept d’une grandeur de dimensions multiples. Il ressortira de là qu’une grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents rapports métriques, et que l’espace n’est par suite qu’un cas particulier d’une grandeur de trois dimensions. ”

“ Dans cette branche générale de la théorie des grandeurs étendues, où l’on ne suppose rien de plus que ce qui est déjà renfermé dans le concept de ces grandeurs, il nous suffira, pour notre objet actuel, de porter notre étude sur deux points, relatifs : le premier, à la génération du concept d’une variété de plusieurs dimensions ; le second, au moyen de ramener les déterminations de lieu dans une variété donnée à des déterminations de quantité, et c’est ce dernier point qui doit faire clairement ressortir le caractère essentiel d’une étude de dimensions. ”

“ Elles peuvent d’abord s’exprimer en demandant que la mesure de courbure en chaque point soit nulle suivant trois directions superficielles, et par suite les rapports métriques de l’espace sont déterminés, si la somme des angles d’un triangle est partout égale à deux droits.
Si l’on suppose, en second lieu, comme Euclide, une existence indépendante de la position, non seulement pour les lignes, mais encore pour les corps, il s’ensuit que la mesure de courbure est partout constante, et alors la somme des angles est déterminée dans tous les triangles, lorsqu’elle l’est dans un seul. ”

“ De là l’on déduit aisément le développement donné par Scheibner (Schlömilch’s Zeitschrift, t. V)
,
qui est valable pour toutes les valeurs de , et présente une discontinuité pour les valeurs réelles négatives (comparer la correspondance entre Gauss et Bessel) . ”

“ Une partie d’une variété, séparée du reste par une marque ou par une limite, s’appelle un quantum. La comparaison des quanta au point de vue de la quantité, s’effectue, pour les grandeurs discrètes, au moyen du dénombrement ; pour les grandeurs continues, au moyen de la mesure. La mesure consiste dans une superposition de grandeurs à comparer ; il faut donc, pour mesurer, avoir un moyen de transporter la grandeur qui sert d’étalon de mesure pour les autres. ”

“ Tout se passa avec la plus grande régularité ; mais pas une parole bienveillante ou superflue ne fut prononcée; il y avait trop à faire pour ne pas mettre le plus de brièveté possible dans toutes ces opérations.
Le nom de Riemann fut enfin prononcé. Le gouverneur mit la main dans la boîte et dit :
«Riemann, cultivateur de Wurtemberg, en Allemagne, avec trois enfants : dans le district des Diamants, sur le bord de la rivière de Gigitonhonha.» ”

“ L’accomplissement de ce programme, avancé depuis lors de bien des côtés différents et qui a été essentiellement attaqué avec un succès tout particulier par l’école des géomètres français dans les dernières années, ne tend à rien moins qu’à établir systématiquement, sur de nouvelles bases, les méthodes d’intégration de la Mécanique et de la Physique mathématique.
Dans cet ordre d’idées, Riemann lui-même n’a traité en détail qu’un seul problème. Ceci se rapporte au Mémoire Sur la propagation des ondes aériennes planes à ondulations d’amplitude finie (1860) . ”

“ Remarquez, d’ailleurs, que la Théorie du potentiel, indispensable aujourd’hui comme instrument d’un emploi universel dans l’étude des phénomènes de l’électricité et des autres branches de la Physique mathématique, était encore presque nouvelle à l’époque de Riemann. Green avait, il est vrai, publié son Ouvrage fondamental, en 1828, mais ce travail était resté longtemps dans l’oubli. Vient Gauss en 1839. La propagation de la théorie, le développement ultérieur des principaux théorèmes, en Allemagne du moins, est essentiellement l’œuvre des leçons de Dirichlet. ”

“ On sait, de plus, que la solution des questions ainsi posées par la physique a encore une très grosse importance au point de vue mathématique, comme si ces questions traduisaient l’essentiel d’un mode de raisonnement, d’une forme de pensée qui trouve son expression la plus claire dans le calcul des variations : elles se retrouvent dans la théorie des fonctions analytiques d’une variable imaginaire et « Riemann a pu fonder sur la possibilité du problème de Dirichlet sa magnifique théorie des fonctions abéliennes ». ”

“ Il est devenu nécessaire que la géométrie sur les courbes cherche à s’assimiler toutes les méthodes et conceptions de Riemann dans ce qu’elles ont de plus profond. Un premier pas déjà fait est la construction, sur la courbe même, d’une sorte de contre-partie, d’image de la surface de Riemann à deux dimensions, ce qui peut se faire de bien des manières. Le progrès qui reste à faire serait d’apprendre à traiter alors les recherches qui se présentent par les méthodes de la théorie des fonctions, au moyen de cette image de la surface de Riemann. ”

“ Riemann aborde la considération de l'espace ou d'une multiplicité à un nombre quelconque de dimensions, il en établit le caractère essentiel consistant en ce que la position d'un point dépend de ce même nombre de variables, et il étudie les mesures dont cet espace est susceptible. C'est tout un monde inconnu, intéressant à la fois le philosophe et le géomètre, que s'ouvre avec une extraordinaire puissance d'abstraction le merveilleux inventeur. ”

“ Riemann alimenta son feu, chose facile, car les menues branches ne manquaient pas en cet endroit qui paraissait n'avoir jamais été foulé par le pied de l'homme. Riemann s'assit à l'entrée de la hutte, et Phylax, le fidèle gardien de nos émigrants, qui les avait suivis dans leur voyage, se coucha aux pieds de son maître, et lui léchait les mains, en remuant la queue, comme s'il voulait dire : »
« Je veux veiller avec vous. » ”

“ Voilà qui montre bien que le postulat d’Euclide n’est qu’une sorte d’hypothèse. Mais il y a des géomètres qui n’ont pas admis ce postulat, Riemann par exemple qui le remplace par celui-ci : « Par un point on ne peut faire passer aucune ligne droite parallèle à une droite donnée, c’est-à-dire aucune ligne qui ne la rencontre jamais. » Et là-dessus il fonde une géométrie parfaitement cohérente, et dont les théorèmes s’enchaînent aussi rigoureusement que ceux (d’ailleurs fort différents) de la géométrie euclidienne. ”

“ Riemann ne tarda point à apercevoir une bande de soixante-dix à quatre-vingts individus de tout âge. Chacun portail un paquet, soit sur le dos, soit sous le bras. Les mères conduisaient par la main ceux de leurs enfants qui pouvaient à peine marcher, en priant les autres émigrants de ralentir le pas, afin qu'elles ne restassent point en arrière. ”

“ Cette fonction est finie pour toutes les valeurs finies de et peut être développée suivant les puissances de en une série qui converge très rapidement. Puisque, pour une valeur de dont la partie réelle est plus grande que 1, reste fini et que ce même fait a lieu pour les logarithmes des facteurs restants de , la fonction peut seulement s’évanouir lorsque la partie imaginaire de se trouve comprise entre et . Le nombre de racines de dont les parties réelles sont comprises entre 0 et est environ égal à ”

“ Toute la synthèse de la théorie de la relativité est fondée sur cette conception brillamment vérifiée, comme on sait, dans ses conséquences, que l’Univers réel n’est à peu près euclidien que dans les régions de l’espace éloignées des masses gravitantes, et que partout où il y a de la matière, celle-ci modifie le caractère géométrique de l’espace, et apparente celui-ci à la géométrie de Riemann. ”

“ L’Analysis Situs est une science très importante pour le géomètre ; elle donne lieu à une série de théorèmes, aussi bien enchaînés que ceux d’Euclide ; et c’est sur cet ensemble de propositions que Riemann a construit une des théories les plus remarquables et les plus abstraites de l’analyse pure. Je citerai deux de ces théorèmes pour en faire comprendre la nature : deux courbes fermées planes se coupent en un nombre pair de points ”

“ L’étude des fonctions algébriques revient essentiellement à celle des courbes algébriques, dont les propriétés font le sujet d’étude des géomètres, qu’ils se comptent parmi les adeptes de la Géométrie analytique, où les formules jouent le rôle principal, ou bien de la Géométrie synthétique, au sens de Steiner et de von Staudt, où l’on étudie la manière dont sont engendrées les courbes, à l’aide de séries de points ou de faisceaux de rayons. Le point de vue essentiellement nouveau qu’a introduit Riemann dans cette théorie est celui de la transformation générale univoque. ”

“ Pour établir cette proposition, qu’un physicien pourrait être tenté de vérifier par l’expérience, Riemann s’était contenté d’un raisonnement que Gauss avait employé autrefois, que Dirichlet avait admis ; c’est pour cela que Riemann donne à son postulat le nom de principe de Dirichlet. Mais l’exactitude de sa démonstration, qui devait être complétée plus tard par M. Hilbert, fut contestée par plusieurs géomètres, au nombre desquels il faut compter Weierstrass. ”

“ Je signale ce 'début de M. Halphen parce qu'il fait ressortir le mérite qui se retrouve dans tous ses travaux de ne rien laisser d'incomplet et d'inachevé, et de donner, au prix d'efforts persévérants, la solution définitive de toutes les questions qu'il aborde.
On sait les rapports intimes que l'Analyse de notre époque a établis depuis Riemann entre la théorie générale des courbes algé-
briques et celle des transcendantes représentées par les intégrales des fonctions algébriques. ”