Félix Klein

“ On devra toujours regarder comme un des plus beaux titres de gloire de Jacobi, d’avoir réussi, par une espèce de divination, à poser pour ces intégrales un problème d’inversion qui, de même que l’inversion directe dans le cas de l’intégrale elliptique, conduit à des fonctions uniformes. La résolution explicite et complète de ce problème de l’inversion est la question centrale dont la solution a été enfin atteinte en même temps, mais par des moyens différents, et par Weierstrass et par Riemann. ”

“ Il est devenu nécessaire que la géométrie sur les courbes cherche à s’assimiler toutes les méthodes et conceptions de Riemann dans ce qu’elles ont de plus profond. Un premier pas déjà fait est la construction, sur la courbe même, d’une sorte de contre-partie, d’image de la surface de Riemann à deux dimensions, ce qui peut se faire de bien des manières. Le progrès qui reste à faire serait d’apprendre à traiter alors les recherches qui se présentent par les méthodes de la théorie des fonctions, au moyen de cette image de la surface de Riemann. ”

“ Il ne traite malheureusement que quelques problèmes qui peuvent se résumer ainsi : une fonction peut-elle être discontinue en chaque point, et, pour des fonctions d’une nature si générale, y a-t-il des circonstances où l’on puisse encore parler d’une intégration ? Mais Riemann traite ce problème d’une façon tellement supérieure que les recherches des autres savants sur les principes mêmes de l’Analyse en ont reçu une impulsion extraordinaire. ”

“ L’étude des fonctions algébriques revient essentiellement à celle des courbes algébriques, dont les propriétés font le sujet d’étude des géomètres, qu’ils se comptent parmi les adeptes de la Géométrie analytique, où les formules jouent le rôle principal, ou bien de la Géométrie synthétique, au sens de Steiner et de von Staudt, où l’on étudie la manière dont sont engendrées les courbes, à l’aide de séries de points ou de faisceaux de rayons. Le point de vue essentiellement nouveau qu’a introduit Riemann dans cette théorie est celui de la transformation générale univoque. ”

“ Vous avez pu reconnaître que, dans les Sciences mathématiques, il n’y a pas un instant d’arrêt, et que l’activité y est aussi incessante que dans les Sciences naturelles. Et ceci est une loi générale. ”

“ Alors, en vertu des équations différentielles susdites, chaque partie de fonction, aussi bien que , se présente comme un potentiel dans l’espace relatif aux deux variables et et l’on peut indiquer, d’une manière abrégée, les développements de Riemann en disant qu’il fait l’application, à ces parties de fonction, des théorèmes fondamentaux de la théorie du potentiel. Son point de départ prend ainsi racine dans le domaine de la Physique mathématique. Vous voyez donc, Messieurs, que, même dans le domaine des Mathématiques, l’individualité joue un grand rôle. ”

“ Dès le début de leurs études, ceux qui cultivent notre Science apprennent chaque jour davantage à connaître les relations compliquées et délicates dont l’Analyse moderne a révélé la possibilité. Ceci est certainement une bonne chose, mais qui a pour conséquence possible et digne de réflexion que les jeunes mathématiciens n’aient trop de tendance à craindre de formuler des théorèmes déterminés et manquent de cette fraîcheur dans les idées sans laquelle, même en la Science, on ne peut contribuer au progrès. ”

“ Tendant au même but, les méthodes de ces deux géomètres sont aussi différentes que possible. Ils semblent être contraires l’un à l’autre ; mais, en regardant les choses à un point de vue plus élevé, on reconnaît que, tout naturellement, ils se complètent.
Weierstrass définit les fonctions d’une variable complexe analytiquement, à l’aide d’une formule qui leur est commune, celle des séries infinies de puissances. Il évite, autant que possible, les moyens auxiliaires empruntés à la Géométrie, et se complaît davantage dans la rigueur absolument inattaquable des méthodes de raisonnement. ”

“ Remarquez, d’ailleurs, que la Théorie du potentiel, indispensable aujourd’hui comme instrument d’un emploi universel dans l’étude des phénomènes de l’électricité et des autres branches de la Physique mathématique, était encore presque nouvelle à l’époque de Riemann. Green avait, il est vrai, publié son Ouvrage fondamental, en 1828, mais ce travail était resté longtemps dans l’oubli. Vient Gauss en 1839. La propagation de la théorie, le développement ultérieur des principaux théorèmes, en Allemagne du moins, est essentiellement l’œuvre des leçons de Dirichlet. ”

“ Je crois ensuite qu’au moyen d’un tel développement de l’intuition exercée, la possibilité d’appliquer notre Science aux circonstances du monde extérieur ne changera jamais profondément, pourvu qu’on soit toujours bien résolu à considérer ces applications, en général, comme une sorte d’interpolation représentant les relations avec une exactitude qui suffit au but pratique envisagé, mais ne jouissant que d’une exactitude limitée. ”

“ Les Mathématiques pures progressent à mesure que les problèmes connus sont approfondis en détail d’après des méthodes nouvelles. À mesure que nous comprenons mieux les anciens problèmes, les nouveaux se présentent d’eux-mêmes.
En partant de ce principe, nous devons jeter un coup d’œil sur la matière élaborée dans la théorie des fonctions que trouvait à sa disposition Riemann dans les débuts de sa carrière. On avait découvert que, parmi les fonctions analytiques d’une variable, c’est-à-dire les fonctions de , trois grandes catégories sont particulièrement dignes d’attention. ”

“ La tradition nous apprend que plus tard Riemann lui-même indiquait à ses élèves le point suivant qui s’y trouve comme étant le résultat le plus merveilleux de la critique moderne : l’existence de fonctions continues qui ne sont, en aucun point, susceptibles de différentiation. ”

“ Je crois d’abord que les imperfections, que l’on reproche du côté mathématique à l’intuition géométrique, ne sont que temporaires, et que l’on peut développer l’intuition de telle sorte qu’à son aide on arrive à saisir les considérations abstraites des analystes, au moins dans leur tendance. ”

“ Mais qu’arrive-t-il relativement aux autres types ? À ce point de vue, ce Mémoire de Riemann est une première contribution très importante. Riemann y fait voir les modifications bien remarquables qui doivent être apportées au problème de contour bien connu de la théorie du potentiel et à sa solution par l’entremise de la fonction de Green, afin que le développement subséquent reste légitime dans le cas des équations différentielles du type hyperbolique. ”

“ Aux regards de ceux qui sont étrangers à cette science, l’avancement en paraît peut-être tenir de l’arbitraire, car pour celui qui n’est pas ici sur son terrain, il manque un point de comparaison bien déterminé sur lequel puisse se concentrer l’attention. ”

“ L’accomplissement de ce programme, avancé depuis lors de bien des côtés différents et qui a été essentiellement attaqué avec un succès tout particulier par l’école des géomètres français dans les dernières années, ne tend à rien moins qu’à établir systématiquement, sur de nouvelles bases, les méthodes d’intégration de la Mécanique et de la Physique mathématique.
Dans cet ordre d’idées, Riemann lui-même n’a traité en détail qu’un seul problème. Ceci se rapporte au Mémoire Sur la propagation des ondes aériennes planes à ondulations d’amplitude finie (1860) . ”

“ Unis par des relations personnelles avec vous, nous voulons apprendre, à votre école, comment la pensée scientifique se développe dans les autres domaines et où doit être pris le point d’attache auquel on peut relier le travail du mathématicien. ”

“ Ils se séparent ainsi de la Science rigoureuse et tendent à développer, pour leur usage personnel, une espèce de mathématique particulière qui, comme un rejeton, sort de terre et grandit en enlevant la force au vieil arbre. ”

“ Nous avons ainsi un nouveau moyen à notre disposition pour la définition des fonctions de . Riemann développe, à ce point de vue, son merveilleux théorème : qu’il existe toujours une fonction par l’entremise de laquelle un domaine quelconque, simplement connexe, du plan , est représentable sur un domaine quelconque, simplement connexe, donné du plan . ”