Émile Picard

“ Sans doute, pour tirer parti du résultat de Poincaré, il faudra, outre la configuration des côtes, connaître partout la profondeur des mers, et les calculs, auxquels conduit la méthode, seront d’une effroyable complication. C’est souvent le triste destin des mathématiciens que, quand ils sont arrivés après de longs efforts à la solution rigoureuse d’un problème offert par la Mécanique ou la Physique, cette solution est si compliquée qu’elle est pratiquement inutilisable. ”

“ On pourrait dire pareillement de Henri Poincaré qu’il ne fut pas seulement un grand mathématicien, mais la Mathématique elle-même. Dans l’histoire des Sciences mathématiques, peu de mathématiciens ont eu, comme lui, la force de faire rendre à l’esprit mathématique tout ce qu’il était à chaque instant capable de donner. ”

“ Sans changer l’ensemble de ces notions, on ne peut, semble-t-il, remplacer le groupe euclidien par un autre, et les exemples cités de transport d’un homme dans un autre milieu (où cet homme commencerait par mourir) sont plus pittoresques que probants. On retombe ainsi, sous un autre point de vue, sur les idées de Gauss qui considérait comme un fait expérimental que la courbure de notre espace est nulle, et regardait, contrairement à Poincaré, que la géométrie euclidienne est plus vraie que les géométries non euclidiennes. ”

“ Il y a sans doute bien des hypothèses, ne disons pas des conventions, en Géométrie. C’en est une par exemple, oubliée quelquefois, que notre espace est simplement connexe. Peu importe quelle est la connexité de l’espace, quand on se borne à envisager une partie assez petite, celle-ci s’étendît-elle jusqu’aux lointaines nébuleuses, mais il pourrait en être autrement quand on considère l’espace dans son ensemble. ”

“ L’évolutionniste dont je parlais plus haut voit là de grandes difficultés, non pas seulement pour la raison banale que la dualité ainsi posée entre l’esprit et le milieu extérieur est contraire à sa doctrine, mais parce que, cherchant à retracer la genèse des origines de la Géométrie dans l’espèce humaine, il lui paraît impossible de séparer l’acquisition des notions géométriques et celles des notions physiques les plus simples, la Géométrie ayant dans des temps très anciens fait partie de la Physique. ”

“ Ce qui caractérise le génie mathématique de Poincaré, c’est sa puissance à embrasser d’emblée les questions dans toute leur généralité et à créer de toutes pièces l’instrument analytique permettant l’étude des problèmes posés. ”

“ Le Mémoire sur la dynamique de l’électron, écrit en 1905, restera dans l’histoire du principe de la relativité; le groupe des transformations de Lorentz, qui n’altèrent pas les équations d'un milieu électromagnétique, y apparaît comme la clef de voûte dans la discussion des conditions auxquelles doivent satisfaire les forces dans la nouvelle dynamique. La nécessité de l’introduction dans l’électron de forces supplémentaires, en dehors des forces de liaison est établie, ces forces supplémentaires pouvant être assimilées à une pression qui régnerait à l’extérieur de l’électron. ”

“ Les objections ne manquent pas cependant, et d’illustres physiciens, comme Lord Kelvin et Ritz, sans parler des vivants, ont émis des doutes très motivés. La Science assurément ne connaît point de dogmes, et il se peut que des expériences positives précises nous forcent un jour à modifier certaines idées devenues notions de sens commun; mais le moment en est-il déjà venu?
Poincaré voyait le danger de ces engouements, et, dans une conférence sur la dynamique nouvelle, il adjurait les professeurs de ne pas jeter le discrédit sur la vieille Mécanique qui a fait ses preuves. ”

“ Toute conception philosophique est de sa nature controversable; mais, quelque opinion qu’on puisse avoir sur certaines idées de Poincaré, l’admiration n’en est pas moins vive pour le noble penseur, le dialecticien subtil et l’écrivain au style personnel où rivalisent l’esprit géométrique et l’esprit de finesse. ”

“ Les mathématiciens, intéressés par un groupe de transformations qui transforment en elle-même la forme quadratique ( = vitesse de la lumière) se sont livrés à d’élégantes dissertations sur ce sujet et ont sans doute contribué à la popularité du principe de relativité. A d’autres époques, on eût peut-être, avant de rejeter les idées traditionnelles de l’humanité sur l’espace et le temps, passé au crible d’une critique extrêmement sévère les conceptions sur l’éther et la formation des équations de l’électromagnétisme; mais le désir du nouveau ne connaît pas de bornes aujourd’hui. ”

“ Plus complexe encore est le cas des équations d’ordre supérieur au premier; les Mémoires consacrés aux équations du second ordre sont pleins d’idées suggestives et mettent en évidence les éléments fondamentaux du problème. L’étude des points singuliers ne suffit plus; il est nécessaire d’introduire une notion nouvelle. Soit une courbe fermée quelconque et un domaine comprenant tous les points voisins de cette courbe; il faut étudier la forme générale des caractéristiques à l’intérieur de ce domaine, et les problèmes si délicats relatifs à la stabilité se présentent d’eux-mêmes. ”

“ C’est une des caractéristiques du génie de Henri Poincaré qu’il réunit un prodigieux esprit d’invention à un esprit critique extrêmement aiguisé. Sa critique semble même aller parfois jusqu’au scepticisme ”

“ Les recherches de Poincaré sur la figure des corps célestes témoignent d’une singulière force d’analyse. Il s’agissait d’étudier certaines figures d’équilibre d’une masse fluide homogène dont les éléments s’attirent mutuellement suivant la loi de Newton et qui tourne uniformément autour de cet axe. Il est connu depuis longtemps que, si la vitesse angulaire ne dépasse pas une certaine limite, la figure d’équilibre peut être ellipsoïdale ”

“ En admettant, d’autre part, que les idées de Lorentz et ses équations électromagnétiques sont inattaquables, on a été conduit à regarder comme nécessaire le changement de nos idées sur l’espace et sur le temps; espace et temps () n’ont plus leurs transformations séparées et entrent simultanément dans le groupe de Lorentz. La simultanéité de deux phénomènes devient une notion toute relative; un phénomène peut être antérieur à un autre [Pg 18] pour un premier observateur, tandis qu’il lui est postérieur pour un second. ”

“ Cet absolu va probablement disparaître, les équations de Lorentz ne représentant plus qu’une première approximation. Les plus grandes difficultés viennent de la gravitation, au point que certains théoriciens de la Physique croient ne pouvoir les lever qu’en attribuant de l’inertie et un poids à l’énergie, d’où en particulier la pesanteur de la lumière. Si Poincaré avait vécu, il eût sans doute été conduit à rapprocher des vues actuelles son essai de 1905 sur la gravitation. ”

“ Tous ceux qui ont le culte de la Science pure et désintéressée ont été douloureusement émus par sa mort prématurée, mais ce sont surtout les sciences mathématiques qui sont cruellement frappées par cette disparition. ”

“ Mais Poincaré va encore plus loin dans ses Mémoires célèbres des premiers Volumes des Acta mathematica. Les substitutions des groupes fuchsiens laissaient invariable une circonférence. N’y aurait-il pas des groupes linéaires discontinus plus généraux? La recherche de la génération de tels groupes, telle que la donne Poincaré (groupes kleinéens) , témoigne d’une audace extraordinaire; il la déduit de la division d’un demi-espace (espace situé du même côté d’un plan) en polyèdres limités par des surfaces sphériques orthogonales au plan limite. ”

“ Poincaré forme alors des séries entièrement nouvelles (fonctions thêtafuchsiennes) qui lui permettent d’arriver au but; la théorie des fonctions fuchsiennes était créée. Une magnifique moisson allait en sortir: l’intégration des équations différentielles linéaires algébriques à points singuliers réguliers, et l’expression des coordonnées des points d’une courbe algébrique quelconque par des fonctions uniformes (fuchsiennes) d’un paramètre. ”

“ Tous les esprits élevés trouveront, dans l’œuvre philosophique et littéraire de Poincaré, matière à longues réflexions, soit qu’ils se laissent convaincre par sa dialectique, soit qu’ils cherchent des arguments contraires. ”

“ Nul n’eut moins que lui la notion statique d’une science se reposant sur quelques conquêtes définitives, et c’est ce qui explique que plusieurs se soient crus autorisés à tirer de certains de ses écrits, où il poussait sa tendance critique presque jusqu’au paradoxe, des conclusions sur la vanité de la Science contre lesquelles il dut protester. ”

“ Ainsi, dans un gaz à la pression ordinaire, ou peut parler de pression et l’on peut appliquer les équations différentielles de la dynamique des fluides; il n’en est plus de même dans un gaz raréfié, où il n’est plus possible de parler de pression. Il faudra peut-être nous résigner à faire usage, suivant les limites entre lesquelles nous étudions une catégorie de phénomènes, de représentations analytiques différentes, si pénible que puisse être cette sorte de pluralisme pour ceux qui rêvent d’unité. ”

“ Les Mémoires précédents mettaient, à moins de trente ans, Poincaré hors de pair. Sa carrière scientifique ne faisait cependant que commencer. D’autres travaux d'Analyse pure vont, dans les années suivantes, asseoir définitivement sa renommée. Il généralise en 1884, dans un court article, le théorème d’uniformisation des fonctions algébriques d’une variable, en faisant voir que, si y est une fonction analytique quelconque de , on peut exprimera et par des fonctions analytiques d’une variable, uniformes dans tout leur domaine d’existence. ”

“ Cette étude des solutions périodiques est un chef-d’œuvre. Nous sommes loin avec elles des deux cas particuliers considérés par Lagrange, où les trois corps restent au sommet d’un triangle équilatéral et où les trois points restent en ligne droite. ”

“ C’est clans les mêmes conditions, c’est-à-dire en supposant dans les équations la présence d’un paramètre très petit , que se place Poincaré en étudiant certaines solutions particulières remarquables des équations de la Mécanique analytique, et en particulier du problème des trois corps. De solutions périodiques connues pour , on peut déduire par continuité l’existence de solutions de même nature pour très petit. Par cette voie est établie dans des cas très variés l’existence de solutions périodiques pour le problème des trois corps. ”