Anonyme

“ J'ai intégré les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques par le moyen de transcendantes nouvelles, tout à fait analogues aux fonctions elliptiques et que j'ai appelées fuchsiennes. Quant aux intégrales des équations non linéaires, j'en ai donné divers développements en séries; l'un d'entre eux permet le calcul numérique de l'intégrale pour toutes les valeurs réelles de la variable. J'ai déterminé enfin, dans un très grand nombre de cas, la forme des courbes définies par les équations différentielles. ”

“ Le premier problème à résoudre est la réduction de ces formes et l'étude des conditions de leur équivalence. La solution a été trouvée par M. Hermite; bien que le savant géomètre n'ait parlé que des formes binaires et des formes quadratiques, sa méthode s'applique, sans qu'on ait rien à y changer, à une forme tout à fait quelconque. C'est ainsi que M. Jordan, étendant à un cas très général un théorème de M. Hermite, a démontré que, toutes les fois que le discriminant n'est pas nul, toutes les formes qui ont mêmes invariants algébriques se répartissent en un nombre fini de classes. ”

“ On reconnait d'abord que les diverses figures d'équilibre d'une masse fluide forment des séries linéaires; dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable. Telles sont la série des ellipsoïdes de révolution et celle des ellipsoïdes de Jacobi. Mais il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries différentes. C'est alors une figure d'équilibre de bifurcation. A chaque figure est attachée une suite infinie de coefficients, que j'appelle coefficients de stabilité, parce que la condition de la stabilité, c'est qu'ils soient tous positifs. ”

“ Cette croyance est erronée; j'ai montré (30,92) qu'une pareille fonction devient aussi grande que l'on veut si la convergence n'est pas uniforme. Mais il y a deux manières de croître au delà de toute limite : une fonction peut "tendre vers l'infini". Il arrive alors qu'elle finit par dépasser une quantité quelconque, si grande qu'elle soit, pour rester ensuite constamment supérieure à cette quantité. Une fonction peut encore subir une infinité d'oscillations successives, de façon que l'amplitude des oscillations croisse indéfiniment. ”

“ J'ai cherché ensuite à appliquer la méthode générale aux formes cubiques ternaires que j'avais déjà étudiées au point de vue algébrique dans un Mémoire précédent. Je suis arrivé à trouver les limites supérieures des coefficients d'une réduite dont les invariants sont donnés, pourvu que le discriminant ne soit pas nul. Le nombre des classes est alors limité et, dans chaque classe, il n'y a qu'une réduite.
Lorsque la forme égalée à zéro représente une courbe de quatrième classe, le discriminant est nul et le nombre des classes est infini, mais chacune d'elles ne contient qu'une réduite. ”

“ La théorie des fonctions non uniformes est loin d'être aussi avancée que celle des fonctions uniformes. Quoiqu'on connaisse assez bien la manière d'être de ces fonctions dans le voisinage d'un point donné, quoique l'introduction des surfaces de Riemann ait jeté beaucoup de lumière sur les parties encore obscures de leur théorie, il y a encore bien des progrès à faire avant de connaître leurs principales propriétés. ”

“ Il arrive souvent que les développements en séries, à termes rationnels par exemple, sont convergents à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de ce domaine et ne divergent que sur le contour même du domaine. Les deux parties du plan où la série converge sont alors complètement séparées par une ligne le long de laquelle le développement cesse d'être valable. Doit-on cependant considérer les deux fonctions représentées par le développement l'intérieur et à l'extérieur du domaine comme le prolongement analytique l'une de l'autre? Plusieurs géomètres étaient autrefois tentés de le croire. ”

“ Il est infiniment peu probable que ces solutions si particulières se rencontrent dans la nature; mais il est aisé de voir que l'on peut s'en servir pour étudier les autres intégrales du même problème. En considérant les trajectoires des trois corps dans une solution périodique comme une orbite intermédiaire et en rapportant leurs positions véritables aux positions qu'ils occuperaient sur cette orbite intermédiaire, on est amené à une méthode nouvelle d'approximations successives qui nous révèle diverses propriétés des intégrales générales du problème des trois corps. ”

“ La théorie qui a le plus contribué à faciliter l'étude des fonctions d'une variable est certainement celle des intégrales prises entre des limites imaginaires. Elle conduit, comme on le sait, à envisager les périodes de ces intégrales et à distinguer les périodes polaires (correspondant aux résidus) des périodes cycliques. ”

“ Je rattacherai à ces recherches, relatives aux fonctions d'une variable, les travaux que j'ai consacrés à l'étude des séries de polynômes (32, 82) . Et en effet, il y a un fait qui joue un rôle très important dans la théorie des fonctions : c'est que les régions où une fonction quelconque peut être représentée par une série de puissances sont limitées par des cercles. On peut donc supposer qu'on pourra tirer un profit analogue de la connaissance des régions où conviennent des développements d'autre forme. ”

“ Nous connaissons la somme cherchée des valeurs de x toutes les fois que nous nous trouvons dans un cas de réduction. Or cette somme doit être une fonction continue des périodes ; nous la connaîtrons donc dans tous les cas possibles. C'est ainsi que, si l'on connaît une fonction continue de x pour toutes les valeurs commensurables de la variable, on la connaîtra également pour toutes les valeurs incommensurables.
On peut encore se placer à un autre point de vue pour étudier les zéros des fonctions Thêta. Considérons une fonction Thêta de deux variables Thêta (x,y) . ”

“ Bien que le problème de l'intégration des équations linéaires soit résolu dans le cas général par l'emploi de nos transcendantes nouvelles, ce résultat laisse subsister tout entier l'intérêt qui s'attache aux cas particuliers où l'intégration peut se faire au moyen de fonctions plus simples, telles que les fonctions algébriques, elliptiques et abéliennes. D'ailleurs les procédés d'intégration par les fonctions algébriques et elliptiques rentrent facilement dans la méthode générale qui comprend ainsi comme cas particuliers les procédés déjà connus. ”

“ La nappe S est sillonnée d'une infinité de courbes fermées, qui sont des cycles sans contact ou des cycles limites; il y a toutefois une différence essentielle sur laquelle je désirerais appeler l'attention. Supposons, par exemple, que la nappe S soit un tore et qu'un cercle méridien de ce tore soit un cycle sans contact; contrairement à ce que nous avons remarqué dans le cas des équations du premier degré, rien ne s'oppose à ce qu'une courbe définie par notre équation différentielle vienne couper ce cercle méridien en plusieurs points et même en une infinité de points. ”

“ Et, si l'on considère un nombre plus grand de corps, qu'est-ce que la question de l'invariabilité des éléments des planètes, sinon une véritable question de géométrie qualitative, puisque faire voir que le grand axe n'a pas de variations séculaires, c'est montrer qu'il oscille constamment entre certaines limites?
Tel est le vaste champ de découvertes qui s'ouvre devant les géomètres. ”

“ Les foyers, où passe une courbe C et une seule, pendant que les autres courbes se rapprochent asymptotiquement du point singulier à la façon des spirales; 4) Les cols foyers, par lesquels passe une courbe C et une seule, pendant qu'une infinité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, se rapprochent asymptotiquement du point singulier. J'ai étudié également le cas où les trois surfaces (5) ont une courbe commune qui devient alors une ligne singulière. ”

“ Ainsi, si en suivant une série de figures d'équilibre on voit s'annuler un des coefficients de stabilité, on saura qu'il existe une autre série de formes d'équilibre à laquelle appartient la figure de bifurcation.
Un autre résultat, c'est que les deux séries linéaires dont cette figure fait partie échangent leur stabilité. Si, en suivant l'une des séries, on ne rencontre que des équilibres stables jusqu'à la figure de bifurcation, on n'y trouvera plus ensuite que des figures instables. ”

“ Ces fonctions zêta-fuchsiennes sont évidemment susceptibles d'être mises sous la forme du quotient de deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de z. Ces deux séries sont convergentes à l'intérieur du cercle fondamental. Si la fonction f (z) n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental (ce que nous supposons) , la variable z ne peut jamais sortir de ce cercle, en sorte que nos deux séries sont toujours convergentes. D'ailleurs, les coefficients de ces séries se calculent aisément par récurrence. ”

“ Lorsque, les coefficients étant doublement périodiques, les intégrales n'offrent d'autre singularité que des pôles. M. Appell a généralisé le troisième cas en montrant que, lorsque le groupe de l'équation linéaire se réduit à un faisceau, la dérivée logarithmique de certaines intégrales est algébrique et que l'intégration peut s'effectuer par les fonctions abéliennes. ”

“ En résumé, quand même on arriverait à représenter les coordonnées des astres par des séries trigonométriques convergentes, on n'aurait pas démontré la stabilité du système solaire.
J'ai lieu de croire que, si ce problème de la stabilité peut jamais être résolu, ce sera par des considérations analogues à celles que j'ai développées dans le paragraphe V de cette Notice; mais la solution me parait encore très éloignée. Pour que la stabilité soit complète, il y a deux conditions à remplir : il faut d'abord que les distances mutuelles des astres restent inférieures à certaines limites ”

“ Si l'on forme le déterminant des coefficients d'une substitution linéaire à n variables, qu'on ajoute + S à chacun des termes de la diagonale principale, et qu'on égale à 0 le déterminant ainsi obtenu, on a une certaine équation en S de degré n.
Un groupe continu contient toujours une infinité de faisceaux ”

“ L'unique condition de réduction, c'est que les coefficients extrêmes doivent être de signe contraire. Avec cette définition, la réduction continuelle d'une forme indéfinie est susceptible d'une interprétation géométrique très simple. Je représente une forme par un certain triangle T qui n'est autre, d'ailleurs, que le triangle fondamental de notre réseau de parallélogrammes. Si la forme est réduite, des deux droites y = +-x* (sqrt ( D) ) , l'une traverse le triangle T, l'autre lui reste extérieure. ”

“ La théorie de la transformation se généralise immédiatement, avec cette différence toutefois que le groupe des fonctions fuchsiennes étant beaucoup plus compliqué que celui des fonctions elliptiques, les cas à considérer sont beaucoup plus nombreux et variés. Ce qui en fait surtout l'intérêt, c'est qu'on peut s'en servir pour jeter quelque lumière sur la question de la réduction des intégrales abéliennes (58) . ”

“ Il est donc nécessaire d'étudier les fonctions définies par des équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples, ainsi qu'on a fait pour les fonctions algébriques, qu'on avait cherché à ramener à des radicaux et qu'on étudie maintenant directement, ainsi qu'on a fait pour les intégrales de différentielles algébriques, qu'on s'est efforcé longtemps d'exprimer en termes finis. ”

“ La seconde exige, pour être résolue, l'emploi de considérations étrangères à l'Algèbre. On peut l'éviter tant que l'on se borne aux groupes de la deuxième et de la troisième famille; il est nécessaire de l'aborder au contraire si l'on veut étudier les groupes de la première famille.
Je l'avais résolue, dans le cas des groupes fuchsiens, par l'emploi de la pseudo-géométrie de Lobatchevski; j'avais reconnu en effet que certaines quantités (analogues à ce que Lobatchevski aurait appelé longueur ou surface) étaient des invariants par rapport aux substitutions d'un groupe fuchsien quelconque. ”

“ On peut se proposer d'exprimer les intégrales à l'aide de développements toujours valables et non plus limités à un domaine particulier. On est conduit ainsi à introduire dans la Science de nouvelles transcendantes; mais cette introduction est nécessaire, car les fonctions anciennement connues ne permettent d'intégrer qu'un très petit nombre d'équations différentielles. ”

“ Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles de ces deux courbes et ont une expression analogue. Mais la théorie serait incomplète si l'on se bornait a ces trois sortes de périodes. Il peut arriver que la fonction sous le signe intégral devienne infinie en divers points du contour d'intégration sans que l'intégrale elle-même cesse d'être finie. Cette circonstance ne pouvait pas se produire dans le cas des intégrales simples, lorsque la fonction à intégrer était rationnelle; il n'en est plus de même ici. ”

“ Il suit de là que si, à l'origine des temps, notre point mobile est à l'intérieur du premier des cercles (2) . il ne pourra jamais sortir du second et que, s'il est à l'intérieur du second, il ne pourra jamais sortir du troisième.
Il y a un cas particulier qui mérite de fixer l'attention, bien qu'il ne se présente que très exceptionnellement: c'est celui où toutes les courbes définies par l'équation (1) sont des courbes fermées qui s'enveloppent mutuellement à la façon des courbes de niveau d'un plan topographique. ”

“ On trouve toutes les représentations d'un nombre donné quand on connaît tous les idéaux dont la norme est le nombre donné, mais tous ces idéaux ne donnent pas naissance à une représentation du nombre. ”