Fonction elliptique

“ Partout, en effet, l'énergie peut être substituée à l'élasticité totale et le travail statique à l'élasticité effective. Appliqués à l'expression des variations de l'énergie, en fonction des variations de la charge soutenue et du raccourcissement musculaire, ces schémas sont tout aussi fidèlement démonstratifs que quand on y cherche la représentation des variations correspondantes de la force élastique du muscle. ”

“ Lorsque l'ellipse présentera un vide intérieur de forme elliptique, il y aura toujours possibilité de trouver sa surface et son moment d'inertie par rapport à un axe quelconque, en calculant la différence des surfaces et des moments d'inertie de deux ellipses pleines. ”

“ On attacha au plancher de la chambre un pendule avec une grosse boule du bois appellé lignum vitæ au bout, & l’on trouva que si l’effort par la tangente étoit d’abord plus fort que l’effort vers le centre, il résultoit un mouvement elliptique, dont le plus grand diametre étoit parallele à l’effort direct du corps à la premiere impulsion. Mais que si cet effort étoit plus foible que l’effort vers le centre, il en résultoit un mouvement elliptique, dont le plus petit diametre étoit parallele à l’effort du corps dans le premier point de l’impulsion. ”

“ Ainsi l’on peut déterminer l’ellipticité de la Terre, soit par les mesures des degrés, soit par les observations du pendule. L’ensemble de ces observations donne 0,0054 pour l’accroissement de la pesanteur de l’équateur aux pôles ; en retranchant cette quantité de , on a pour l’aplatissement de la Terre. Si l’hypothèse d’une figure elliptique est dans la nature, cet aplatissement doit satisfaire aux mesures des degrés ”

“ Une courbe elliptique ayant autant de centre qu'elle renferme de points, il est aisé de comprendre l'impossibilité de les tracer avec le compas. C'est pour cette raison qu'on fera bien, quand on aura une courbe elliptique à tracer, d'employer une des méthodes ci-après : Tracé par points de l'ellipse bornée, fige 74.
Faites un parallélogramme rectangle dont les côtés A,B égalent la longueur du grand axe, et les côtés AA,BB celle du petit axe. Divisez les côtés A,B en autant de parties égales que vous voudrez ; divisez de même les côtés AA, BB en un même nombre de parties que les côtés A,B ”

“ J'ai surtout en vue, en ce moment, les conditions particulières de l'organe qui nous a servi à déterminer, avec une suffisante précision, les lois de la création de l'élasticité musculaire. La même précision ne peut être retrouvée dans l'étude des lois du mouvement énergétique qui accompagne cette création d'élasticité. C'est, en effet, dans la mesure de l'échauffement du muscle biceps, qu'il nous faut chercher les renseignements né cessaires pour déterminer les rapports existant entre les variations de l'élasticité et celles de l'énergie originelle correspondante. ”

“ Si l’ellipse est en équilibre sur son petit axe, il est clair qu’en l’écartant un peu de cette situation, par un petit mouvement sur elle-même, elle tend à y revenir en faisant des oscillations, que les frottements et la résistance de l’air auront bientôt anéanties. ”

“ Une courbe ovale, qui diffère peu d’un cercle, différera encore moins d’une ellipse choisie convenablement ; mais, pour regarder le mouvement elliptique comme une loi de la nature, il fallait partir de l’idée que la nature suit de préférence des lois simples, comme celles qui nous guident dans nos spéculations abstraites ; il fallait trouver dans la contemplation des rapports mathématiques des motifs de préférer, comme plus simple, l’hypothèse du mouvement elliptique à celle des mouvements circulaires combinés. ”

“ Nécessaire à une autre destination, la forme elliptique a d'autres avantages : elle allégie la machine dans toutes ses parties antérieures et lui permet de fonctionner avec beaucoup plus d'agilité; mais, pour suffire à toute l'activité imposée aux actes respiratoires, elle a besoin de racheter par la hauteur et par la profondeur ce qu'elle perd en cessant d'être cylindrique.La poitrine haute, qui ne serait pas profonde, ne serait qu'une poitrine étroite et serrée, aux poumons insuffisants. ”

“ Une ellipse est une figure courbe régulière plus longue que large et allant en se rétrécissant du milieu vers les deux extrémités; l'ellipse peut être plus ou moins étroite et plus ou moins allongée. Un grand nombre de feuilles et de folioles sont de forme elliptique. Élongation, Elongatio, allongement; se ditlles phénomènes physiologiques en vertu desquels les tiges et les racines s'accroissent en longueur. — Qui est plus long et plus étroit que dans d'autres cas analogues.—L'élongation accidentelle des organes axiles et des organes appendiculaires constitue une classe d'anomalies. ”

“ En résumé, quand la tension de la vapeur ou d'une lanière élastique soutient un poids en l'air, après l'avoir soulevé à une certaine hauteur, il n'y a plus ni travail ni consommation d'énergie. Si c'est l'élasticité musculaire qui soulève le poids et le maintient ensuite immobile, il y a continuation de consommation d'énergie, parce que l'élasticité musculaire est créée par la mise en jeu de la contractilité, autrement dit par le travail physiologique du muscle. ”

“ Mais il peut se faire que et soient choisis de telle sorte que puisse s’annuler. Dans ce cas c’est la seconde période de notre intégrale elliptique qui est réelle. En égalant cette seconde période à une constante donnée on obtiendra une équation (15 bis) analogue à (15) . Si l’on résout par rapport à il viendra
ou
qui déterminera puisque est connue et périodique.
C’est là le cas de la libration. ”

“ Influence de la'charge équilibrée par les muscles en état de contraction volontaire, sur les manifestations de leur élasticité. —
Quand un muscle soutient une charge à une hauteur déterminée, il est mis par la volonté et en fonction de la charge dans un état nouveau qui modifie de la manière la plus intéressante les manifestations de son élasticité.
Examinons d'abord les faits. Soit un muscle en équilibre sur une charge p ; on fait l'épreuve de son élasticité par les effets d'une charge additionnelle P et
on obtient un allongement l, fonction de cette charge additionnelle. ”

“ Mais la démonstration expérimentale de l'influence du degré de raccourcissement sur l'élasticité musculaire se trouve dans l'aptitude du muscle contracté à équilibrer des poids additionnels plus ou moins lourds, suivant qu'il est plus ou moins raccourci par la contraction et qu'il peut ainsi s'allonger plus ou moins sous la traction de ces surcharges. L'élasticité virtuelle contenue dans le muscle devient ainsi apparente en se transformant en élasticité effective. ”

“ Rôle de l'élasticité. — Quoi qu'il en soit, en prenant le mot élasticité dans le sens vulgaire, il est certain que l'élasticité qui est dans le muscle sert à économiser une certaine partie du travail à accomplir. Il a été démontré par M. MAREY qu'une force de courte durée appliquée à mouvoir une masse a plus d'effet utile lorsqu'elle agit sur cette masse par l'intermédiaire d'un corps élastique. Ainsi, si les muscles n'étaient pas élastiques, ils travailleraient beaucoup plus et produiraient moins de travail. ”

“ L'élasticité est cette propriété que possède le muscle de changer de forme par l'action d'une force extérieure ou sous l'influence d'une excitation, puis de revenir à sa forme primitive, dès que la force ou l'excitation ont cessé d'agir. ”

“ Mais, s'il faut admettre que le mouvement est inséparable de la matière, quelle que soit sa nature ; si l'immobilité que nous supposons aux molécules de la substance simplement organisée n'est qu'un repos relatif, on peut représenter les différences entre ces deux états en les comparant à deux corps dont l'un aurait comme loi de son mouvement une certaine courbe, l'ellipse par exemple, l'autre une hyperbole. ”

“ Ainsi, dans ces deux cas de contraction dynamique,
comme dans le cas de contraction statique, l'élasticité musculaire est chargée de faire équilibre à une charge ou de la soutenir, soit à la montée, quand le muscle se raccourcit, soit à la descente, quand il s'allonge. A côté du travail de soutien fixe de l'élasticité statique, se place le travail de soutien à la montée ou à la descente de l'élasticité dynamique. ”

“ Donc l'énergie qui crée cette élasticité et qui est consacrée au soutien de la charge est aussi de même valeur. Mais cette énergie égale ne fait pas un travail extérieur égal, parce que l'élasticité effective, source et équivalent du travail statique, affecte un rapport bien différent avec l'élasticité totale, ou l'énergie correspondante, suivant l'état de raccourcissement du muscle. ”

“ Nous devons faire ressortir particulièrement ces faits, parce que les phénomènes d'élasticité jouent un rôle important dans l'action musculaire. Lorsqu'un muscle se raccourcit, il peut soulever un poids; ce même poids allonge le muscle, et cette action contraire des deux forces — la tendance au raccourcissement et l'allongement élastique — produit, comme nous le verrons bientôt, un résultat final qui rend compte du travail accompli. ”

“ Il existe une manière de tracer l'ellipse par un mouvement continu, que les artistes emploient quelquefois. AOB, COD, lig. 16, étant les deux axes , si l'on tire une droite MNP=OA , sur laquelle on prenne PN=OC , le point M restant toujours sur le petit axe, prolongé s'il le faut , et le point N sur le grand axe, en faisant avancer ou reculer cette ligne droite , dans toutes les positions possibles , son extrémité P tracera l'ellipse ABCD.
On a construit des instruments d'après ce principe , pour tracer l'ellipse par un mouvement continu : ce sont de véritables compas elliptiques. ”

“ Il règne dans les ouvrages de physiologie, au sujet des termes employés dans la mesure de l'élasticité musculaire, une déplorable confusion. Les termes qui désignent un même fait sont souvent multipliés plus qu'il n'est besoin. Le mot élasticité, qui indique une propriété physique générale commune à tous les corps sans exception, est fréquemment employé pour celui de force élastique qui, lui, s'applique particulièrement au corps dont on parle, pris sous une longueur et une section bien définies, tendu par un poids connu et dans des circonstances données. ”

“ Les muscles sont élastiques, c'est-à-dire que à l'état de repos, lorsqu'on vient à les distendre, ils tendent à reprendre leur position première. L'élasticité dans les muscles est faible, c'est-à-dire que l'allongement est facile et le retour en position peu énergique; elle est également parfaite, c'est-àdire que le retour à l'état primitif se fait très bien.
L'élasticité est-elle une propriété purement physique du muscle? Non, car on a observé que sur les muscles tenus trop
longtemps au repos, qui ont souffert au point de vue de leur nutrition, l'élasticité est moins parfaite. ”

“ Les travaux de ce dernier sont relatifs aux fonctions abéliennes, aux fonctions elliptiques modulaires, et aux fonctions hyperelliptiques. Nous devons citer encore H.-A. Schwarz, de Berlin ; H. Weber, de Strasbourg; M. Nöther, d'Erlangen; W. Stahl, d'Aix-la-Chapelle; F.-G. Frobenius, de Berlin et J. - W.-L. Glaisher, de Cambridge, qui a développé, en particulier la théorie de la fonction zêta.
Les ouvrages les plus répandus de nos jours sur les fonctions elliptiques sont peut-être ceux de J. Tannery et J. Molk, 4 volumes, Paris 1893-1901 ; de P.-E. Appell et E. Lacour, Paris, 1896 ”

“ Il est donc absolument certain que l'énergie qu'absorbe l'élasticité musculaire, dans les conditions statiques où nous l'envisageons, est incessamment et intégralement restituée sous la forme de chaleur Sensible. Ainsi réchauffement des muscles peut servir de mesure à l'énergie qui crée leur élasticité, c'est-à-dire leur état de contraction statique. ”

“ Pour éviter tout malentendu, nous dirons qu'un muscle est faiblement élastique, quand il suffit d'une faible charge pour l'allonger; et fortement élastique, quand, au contraire, il faut une charge plus forte pour produire un allongement égal.
D'un autre côté, l'élasticité peut être parfaite ou imparfaite ; un muscle parfaitement élastique est celui qui revient facilement et complètement à la forme dont il a été écarté ; le muscle imparfaitement élastique n'y revient que d'une façon incomplète. ”

“ Que l'on considère le muscle déjà mis en état constant de tension élastique, par une contraction permanente, ou qu'on le prenne quand il passe de l'état de relâchement à cet état de tension, c'est toujours la création de l'élasticité qui apparaît comme l'acte effectif et essentiel, dans lequel se trouve contenue, pour ainsi dire, toute la physiologie du muscle. ”

“ Et, en effet, l'élasticité effective, mise en évidence et mesurée par la charge extérieure, n'est qu'une fraction de l'élasticité totale. Une partie de la valeur de l'élasticité réelle ne peut être décélée extérieurement par l'équilibre établi entre cette charge et la puissance contractile effective du muscle.
C'est à la démonstration de cette élasticité cachée,
latente, que nous devons nous attacher, en faisant intervenir le raisonnement et l'expérience. ”

“ Enfin, si nous portons l'excitation non plus sur le muscle même, mais sur son nerf, le raccourcissement secondaire se produit encore, avec cette différence que des excitation très faibles amènent l'effet qui n'était obtenu tout à l'heure qu'avec un courant plus intense. ”

“ Comme ce n'est pas seulement dans le plan a, mais aussi dans l'espace, que la mesure elliptique s'exprime par l'expression c.i log (ABMN) (les points M et N étant alors définis, comme nous l'avons indiqué plus haut, p. 80) , les mathématiciens conviennent aussi de dire que l'espace elliptique est courbe et que sa courbure est égale à 1 /4c2.
En réalité, la métrique elliptique de notre univers n'est pas aussi simple que nous l'avons exposé jusqu'ici. D'après la théorie de la relativité, la mesure serait, il est vrai, donnée par l'expression c.i log (ABMN) , mais la constante c. ”