Mathématiques

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Il n’est personne, pour peu qu’il ait touché seulement le seuil des écoles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se présentent à lui, ceux qui se rattachent aux mathématiques, et ceux qui appartiennent aux autres sciences. En réfléchissant à cela, je découvris enfin qu’on ne devrait rapporter aux mathématiques que toutes les choses dans lesquelles on examine l’ordre ou la mesure, et qu’il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou dans tout autre objet qu’on cherche cette mesure. ”

“ Les Mathématiques pures se bornent à spéculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de notions primitives, d’axiomes, sans rien emprunter à l’expérience. Ses branches sont l’arithmétique, la géométrie et l’analyse (algèbre et calcul infinitésimal) . ”

“ Et pourtant cette rencontre du calcul et de l’expérience produit toujours, même chez les plus endormis, une attente et un ravissement. C’est par là qu’est sensible la puissance des mathématiques, même dans les choses les plus simples ; et c’est un moyen d’intéresser les passions au calcul. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ Lorsqu’on a voulu exprimer ces théorèmes et ceux qui concernent les nombres, quelques signes, dont la signification ne pouvait être équivoque, ont suffi pour représenter avec précision des idées d’une exactitude parfaite. Dès leur naissance, les sciences mathématiques ont offert à l’esprit humain l’entière réalisation de ce type du vrai, objet de ses plus chères affections. ”

“ L’étude des mathématiques nous accoutume à un enchaînement de déductions logiques dans lequel chaque anneau se rattache au précédent ; elle donne ainsi de la continuité à l’attention, de la cohérence aux idées ; elle apprend à l’intelligence à saisir les points fondamentaux d’un raisonnement, et à classer avec ordre les divers éléments de conviction, en leur accordant leur juste degré d’importance ; qualités que l’on rencontre trop rarement dans le monde. ”

“ Dans les élémens des mathématiques, on rencontre ces nombres qui sont d’un emploi continuel pour tous les usages, de la vie, et qu’on abandonne bientôt dès qu’on pénètre plus avant dans l’algèbre. Après avoir étudié les diverses branches des mathématiques, on retrouve de nouveau, aux limites, pour ainsi dire, de la science, les nombres entiers et les fractions, dont certaines propriétés, fort difficiles à découvrir, constituent une sorte d’arithmétique transcendante, qu’on appelle théorie des nombres. ”

“ Si nous ajoutons à cela, ce que nous avons déjà dit, qu'on doit entendre par science une collection de connaissances fondées sur des principes sûrs et certains, nous saurons que les mathématiques sont des sciences exactes, qui ne traitent, en général, que des grandeurs, ou la science, qui, en fournissant les moyens de mesurer les quantités, fait connaître les relations qui existent entre elles. ”

“ Entre la substance donnée et la substance résultant du changement qualitatif, il y a le rapport de la puissance à l’acte.
X. Mathématiques. — Les mathématiques considèrent les rapports de grandeur, la quantité et le continu, en faisant abstraction des autres qualités physiques. Elles traitent ainsi des choses qui sont immobiles sans exister à part, essences intermédiaires entre le monde et Dieu. Le mathématicien isole par abstraction, dans les choses sensibles, la forme de la matière. La mathématique est pure ou appliquée. La géométrie et l’arithmétique constituent la mathématique pure. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ Selon la manière de parler ordinaire, les principes mathématiques sont ceux qui consistent dans les mathématiques pures, comme nombres, arithmétique, géométrie. Mais les principes métaphysiques regardent des notions plus générales, comme la cause et l’effet. ”

“ Toute personne qui s’est occupée de mathématiques doit voir clairement la différence qui existe entre les mathématiques et les faits empiriques, entre l’évidence des propriétés d’un triangle et celle des lois générales de la structure des plantes. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Ses principes mathématiques, où règne une physique toute nouvelle et toute vraie, sont fondés sur la découverte du calcul qu’on appelle mal à propos de l’infini, dernier effort de la géométrie, et effort qu’il avait fait à vingt-quatre ans. ”

“ C’est par les sciences mathématiques qu’il convient de commencer la série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent pour point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre d’idées. ”

“ Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces quantités peuvent-elles être mesurées ? C’est là le problème qui rend nécessaire les mathématiques.
Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs immédiatement mesurables. C’est par là qu’elles sont une science. ”

“ Mais je remarquerai que ce que l’on appelle assez improprement les Mathématiques [7] [je ne parle ici que des mathématiques pures] , consiste dans la science des calculs arithmétiques et algébriques, et dans celles des propositions de géométrie, c’est-à-dire dans la connaissance des combinaisons que l’on peut faire des idées abstraites de quantité, et dans celles des conséquences que l’on peut tirer des propriétés abstraites de l’étendue. ”

“ En effet, les Mathématiques sont les fondements de toutes les connaissances naturelles exactes. Pour qu’elles remplissent complètement ce but élevé, puissent-elles être dans le nouveau siècle cultivées par des maîtres géniaux et par nombre de jeunes gens brûlant d’un noble zèle ! ”

“ Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration pour l’instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n’entendons pas lui mettre en parallèle sur tous les points, la méthode géométrique. ”

“ Mais les sciences mathématiques sont des sciences très exceptionnelles ; elles seules ont ce bonheur de traiter d’idées qui jaillissent de nos quotidiennes perceptions par un travail spontané d’abstraction et de généralisation, et qui, cependant, se montrent de suite nettes, pures et simples. ”

“ Les mathématiques concrètes qui étudient des grandeurs concrètes : la géométrie et la mécanique.
§ II. — Méthode des mathématiques.
Construction des notions mathématiques. — Puisque les mathématiques portent sur des quantités et des rapports entre quantités que l'esprit engendre et se donne à lui-même, l'opération primordiale des mathématiques consiste à construire ces quantités et ces rapports. Etudions simplement comment nous formons les idées des divers nombres
et des diverses figures, l'idée de 4, de 5, de triangle, etc. ”

“ FICTIF ET BORNÉ Lorsqu’on préconise les mathématiques, comme le modèle par excellence d’une méthode pour apprendre à raisonner, sait-on bien à quelles conditions la logique de la géométrie est si rigoureuse, pourquoi ses démonstrations sont si évidentes ? ”

“ Or, tout le monde sait encore que les grandeurs inappréciables ne font point l’objet des mathématiques, c’est-à-dire qu’elles ne donnent jamais lieu à des additions, à des soustractions, à des multiplications et à des divisions. Les mathématiques s’occupent exclusivement des grandeurs appréciables ou rigoureusement comparables entre elles. ”

“ L' étude des relations pures du nombre et de l' étendue domine les sciences et s' applique également à toutes , comme la logique . L' étude des mathématiques appliquées , dès la mécanique , a pour objet les plus générales des conceptions physiques , et dépend de la physique à ce titre . ”

“ Notre exposition de l'histoire des mathématiques et des autres sciences dans ce siècle, ne serait certainement pas complète, si nous ne faisions allusion aux applications des mathématiques aux nombreux problèmes concernant la chaleur, l'élasticité, la lumière, l'électricité, et tant d'autres sujets se rattachant à la physique. L'histoire de la physique mathématique est d'ailleurs si vaste que nous ne pourrions prétendre l'exposer, lors même qu'elle serait de nature à figurer dans une histoire des mathématiques. ”

“ « les sciences mathématiques sont des sciences d'expérience et d'observation, uniquement fondées sur l'induction des faits particuliers, de même que l'astronomie, la mécanique, l'optique et la chimie ». ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ Sans doute, toute branche des mathématiques traite de concepts qui sont des concepts abstraits au plus haut point ; c’est l’abstraction qui fournit les notions de nombre, de ligne, de surface, d’angle, de masse, de force, de pression ”

“ Si paradoxal que cela puisse paraître à ceux qui considèrent les mathématiques comme étant par elles-mêmes une source de découverte, on ne sortira jamais d’un développement mathématique autre chose que ce qui était implicitement inhérent aux données jetées dans la double mâchoire des équations. ”

“ Les théorèmes et les formules mathématiques sont rarement susceptibles d'une application complète à l'étude effective des phénomènes naturels, quand on veut dépasser la plus extrême simplicité dans les conditions réelles des problèmes. Mais le véritable esprit mathématique, si distinct de l'esprit algébrique, avec lequel on le confond trop souvent 20, est, au contraire, constamment applicable; et sa connaissance approfondie constitue, à mes yeux, le plus intéressant résultat que les physiciens puissent retirer d'une étude philosophique de la science mathématique. ”

“ G. Les matières destinées à former le pivot de l'éducation commencèrent aux Mathématiques, lesquelles, pour se fonder sur des généralisations élaborées en d'autres temps et acceptées aujourd'hui sans preuves, peuvent suivre la méthode déductive simple et donner lieu à des exercices appropriés apprenant à faire des syllogismes corrects: Arithmétique, Algèbre, Géométrie, Trigonométrie rectiligne et sphérique, Calcul infinitésimal, enfin, Mécanique rationnelle dans toutes ses applications. A cette série, succédait la Cosmographie et la Physique ”

“ Comment chaque jour peuvent-ils faire leurs comptes si complexes? L’arithmétique les rend faciles. Traversez le Pont-au-Change, demandez aux orfèvres le secret de leurs alliages et comment, nouveaux Archimèdes, par le poids ils calculent le titre. Les mathématiques leur enseignent à le faire. ”

“ Le moyen le plus sûr est d'appeler leur attention sur les notions scientifiques qu'ils ont chance de posséder mieux que les autres, c'est-à-dire sur les notions mathématiques. On peut leur montrer que les sciences physiques cherchent leurs explications dernières dans la mécanique, qui n'est elle-même qu'une extension de la géométrie. On peut les amener à comparer les notions géométriques et les notions arithmétiques et leur faire prendre conscience des idées de proportion, de grandeur et de nombre. ”

“ Les mathématiques ou l'art des mesures peuvent donner de ces choses de belles explications, car tout dans la nature est combiné avec nombre, mesure et poids ou force... On voit par là que tout, dans l'étendue de l'univers, se fait mathématiquement, mais d'une manière infaillible. ”

“ Les mathématiques, l’algèbre et l’analyse infinitésimale principalement suscitent à un haut degré la conception des signes et des symboles, instruments nécessaires qui augmentent la puissance et la portée de l’esprit humain, en résumant sous une forme condensée et en quelque sorte mécanique tout un ensemble de relations : ces auxiliaires sont surtout précieux en mathématiques, parce qu’ils y sont adéquats à leurs définitions ”

“ Les mathématiques sont susceptibles de rendre de grands services dans les recherches économiques. D’après ce que nous venons de voir, les mathématiques sont parfaitement applicables à l’étude des phénomènes économiques ; nous allons maintenant essayer de montrer que leur application est de nature à présenter de réels avantages. ”

“ Inventeurs des mathématiques , ils les ont portées fort loin , cherchant avec tant de soin la rigueur et la clarté qu' ils sont arrivés , dans les parties qu' ils ont étudiées , bien près de la perfection . L' arithmétique et la géométrie ont dès lors présenté aux hommes le modèle et l' idéal de la science . ”