Analyse mathématique

“ Les perfectionnemens généraux introduits depuis un siècle dans le système total de l'analyse mathématique ont eu pour caractère principal d'utiliser à un degré immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions directes, au lieu de tendre à les augmenter. Ce résultat a été obtenu à un tel point, que le plus souvent ce calcul n'a de rôle effectif dans la solution complète des diverses questions que par ses parties les plus simples, celles qui se rapportent aux équations des deux premiers degrés, à une seule ou à plusieurs variables. ”

“ Nous savons que l'application de l'analyse mathématique, par sa nature, ne peut jamais commencer aucune science quelconque, puisqu'elle ne saurait avoir lieu que lorsque la science a déjà été assez cultivée pour établir, relativement aux phénomènes considérés, quelques équations qui puissent servir de point de départ aux travaux analytiques. ”

“ C’est que l’univers est une sorte de mathématique réelle, enveloppée d’apparences. Partout où il y a rapport et proportion, il y a place pour le calcul, et « la proportion n’est pas seulement trouvée dans les nombres et mesures, mais aussi dans les sons, poids, temps et lieux et dans toute puissance, quelle qu’elle soit. » La science doit procéder à la façon de la géométrie, analyse et synthèse, résolution de l’objet en ses derniers élémens, combinaison progressive et continue de ces élémens selon des rapports nécessaires qui s’impliquent. ”

“ Il faut ajouter que, dans notre vision actuelle du monde, l’analyse mathématique reste un instrument indispensable aux progrès des théories physiques, offrant aux physiciens des moules pour leurs vues théoriques ; en échange, les physiciens rendent aux mathématiciens un service d’un haut prix, en les guidant dans l’infinie variété des formes que conçoit notre esprit et les empêchant à certaines heures d’errer à l’aventure. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ Je préfère le mot mathématique, quoique actuellement hors d’usage au singulier, à ceux d’arithmétique, de géométrie, d’analyse, parce que ceux-ci indiquent une partie des mathématiques, ou une des méthodes qu’elles emploient, et qu’il s’agit ici de l’application de l’algèbre ou de la géométrie, comme de celle de l’arithmétique ; qu’il s’agit d’applications dans lesquelles toutes les méthodes peuvent être employées. ”

“ Dans l'étude philosophique de la mathématique concrète, je m'attacherai à faire exactement apprécier cette seconde propriété caractéristique de l'analyse transcendante, non moins admirable que la première, et en vertu de laquelle le système entier d'une science immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu se trouver condensé en un petit nombre de formules analytiques, d'où l'esprit humain peut déduire, par des règles certaines et invariables, la solution de tous les problèmes particuliers. ”

“ Cette nature propre de l'analyse mathématique permet de s'expliquer aisément pourquoi, lorsqu'elle est convenablement employée, elle nous offre un si puissant moyen, non-seulement pour donner plus de précision à nos connaissances réelles, ce qui est évident de soi-même, mais surtout pour établir une coordination infiniment plus parfaite dans l'étude des phénomènes qui comportent cette application. ”

“ En les concevant ainsi, il est aisé de reconnaître, en thèse générale, que l'esprit de l'analyse mathématique consistant à considérer les grandeurs sous le seul point de vue de leurs relations, et indépendamment de toute idée de valeur déterminée, il en résulte nécessairement pour les analystes l'obligation constante d'admettre indifféremment toutes les sortes d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons algébriques. ”

“ La philosophie mathématique sera l'objet direct d'un ouvrage spécial en deux volumes, dont le premier se 890 rapportera naturellement à la mathématique abstraite, ou analyse proprement dite, et le second à la mathématique concrète, spontanément décomposée en géométrie et mécanique, suivant les principes ici établis. Quand j'ai composé, il y a douze ans, le tome premier du Traité actuel, j'avais encore une opinion beaucoup trop favorable de la portée philosophique propre aux géomètres de notre siècle ”

“ L'effet général de cette analyse, quelle que soit la méthode employée, est donc de faire rentrer beaucoup plus promptement chaque question mathématique dans le domaine du calcul, et de diminuer ainsi considérablement la difficulté capitale que présente ordinairement le passage du concret à l'abstrait. Quoiqu'on fasse, on ne peut espérer que le calcul s'empare jamais de chaque question de philosophie naturelle, géométrique, ou mécanique, ou thermologique, etc., immédiatement à sa naissance, ce qui serait évidemment contradictoire. ”

“ Toute science mathématique est fondée sur une idée simple, unique : l’arithmétique sur l’idée du nombre, la géométrie sur celle de l’étendue, la mécanique sur la notion de la force, le calcul infinitésimal sur celle de la variation. ”

“ Le nombre, suivant Newton, est un rapport : et la première chose qui distingue les mathématiques, est de s’abstenir de spéculations sur la substance et la cause. Les mathématiques sont des calculs de séries : c’est des propriétés de la série qu’elles tirent leur certitude ; elles ne sont, enfin, ainsi que nous allons le démontrer, qu’un des membres de la grande famille métaphysique. Or, toute science, née ou à naître, n’étant plus qu’un calcul de séries, on peut déjà prévoir que, dans chaque sphère de connaissances, la certitude est égale et homologue à la certitude mathématique. ”

“ Non que les mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d’ailleurs, la possibilité d’une mesure exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe d’une théorie scientifique faite ; mais nous regardons moins volontiers du côté de la géométrie pure. ”

“ Entre la substance donnée et la substance résultant du changement qualitatif, il y a le rapport de la puissance à l’acte.
X. Mathématiques. — Les mathématiques considèrent les rapports de grandeur, la quantité et le continu, en faisant abstraction des autres qualités physiques. Elles traitent ainsi des choses qui sont immobiles sans exister à part, essences intermédiaires entre le monde et Dieu. Le mathématicien isole par abstraction, dans les choses sensibles, la forme de la matière. La mathématique est pure ou appliquée. La géométrie et l’arithmétique constituent la mathématique pure. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Les Mathématiques pures se bornent à spéculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de notions primitives, d’axiomes, sans rien emprunter à l’expérience. Ses branches sont l’arithmétique, la géométrie et l’analyse (algèbre et calcul infinitésimal) . ”

“ Les théorèmes et les formules mathématiques sont rarement susceptibles d'une application complète à l'étude effective des phénomènes naturels, quand on veut dépasser la plus extrême simplicité dans les conditions réelles des problèmes. Mais le véritable esprit mathématique, si distinct de l'esprit algébrique, avec lequel on le confond trop souvent 20, est, au contraire, constamment applicable; et sa connaissance approfondie constitue, à mes yeux, le plus intéressant résultat que les physiciens puissent retirer d'une étude philosophique de la science mathématique. ”

“ Ainsi, quand on se borne à définir les mathématiques comme ayant pour objet la mesure des grandeurs, on en donne une idée fort imparfaite, car il est même impossible de voir par là comment il y a lieu, sous ce rapport, à une science quelconque, et surtout à une science aussi vaste et aussi profonde qu'est réputée l'être avec raison la science mathématique. ”

“ Ces analogies demandées aux mathématiques peuvent faire entendre ce que sont les Idées, leur nature et leur existence. Les Idées sont dans les choses comme y sont les surfaces, les lignes, les points, les unités ; et c’est la raison aussi qui les en tire. Néanmoins, il y a une grande différence entre les Idées et les entités de l’arithmétique ou de la géométrie. dans le monde mathématique, tout est non seulement immobile, mais impassible ; tout ce que les mathématiques exigent, c’est l’acquiescement de l’intelligence aux vérités qu’elles lui découvrent. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Usant de sa liberté, le mathématicien a naturellement commencé par étudier les théories faciles, c’est-à-dire celles auxquelles le langage de l’algèbre s’adaptait exactement. Mais, puisque ces théories ne nous suffisent pas, comment nous y prendrons-nous et dans quel sens nous dirigerons-nous pour les dépasser ?
On dira peut-être que le mathématicien sera guidé dans sa marche par la préoccupation d’aboutir à des résultats intéressants et féconds. En mathématique comme en physique, c’est le succès qui justifiera la recherche et qui la déterminera à la façon d’une cause finale. ”

“ Pour analyser complètement un fait mathématique, il faudrait l’étudier d’une infinité de points de vue différents, multiplier sans limite le nombre des combinaisons algébrico-logiques dont on se sert. ”

“ C'est donc la science mathématique qui doit constituer le véritable point de départ de toute éducation scientifique rationnelle, soit générale, soit spéciale, ce qui explique l'usage universel qui s'est établi depuis longtemps à ce sujet, d'une manière empirique, quoi qu'il n'ait eu primitivement d'autre cause que la plus grande ancienneté relative de la science mathématique. ”

“ C'est en effet, l'un des grands avantages de la méthode mathématique, que d'obliger à définir de façon précise, de façon concrète, dirions-nous, ce sur quoi l'on raisonne : les êtres mathématiques se voient sur le tableau noir et c'est là la suprême sauvegarde de la méthode. ”

“ Notre exposition de l'histoire des mathématiques et des autres sciences dans ce siècle, ne serait certainement pas complète, si nous ne faisions allusion aux applications des mathématiques aux nombreux problèmes concernant la chaleur, l'élasticité, la lumière, l'électricité, et tant d'autres sujets se rattachant à la physique. L'histoire de la physique mathématique est d'ailleurs si vaste que nous ne pourrions prétendre l'exposer, lors même qu'elle serait de nature à figurer dans une histoire des mathématiques. ”

“ Entendue selon sa vraie nature, comme un système de jugements synthétiques à priori, la mathématique est justifiée, du moment où les objets ne peuvent nous affecter qu’en se soumettant aux lois de l’espace et du temps. Sans doute nous ne pouvons dire que les choses possèdent, en elles-mêmes, des manières d’être que nous ne nous expliquons que comme formes de notre facultés de sentir. Mais nous savons que tout objet de notre sensibilité sera conforme à la mathématique, ce qui suffit à assurer l’objectivité de cette science. ”

“ Mais alors l’existence du fait mathématique est liée à l’existence de la science mathématique même ; le fait résulte du progrès de la science, avant d’y concourir : « La mathématique ne se passe pas de l’expérience, telle est la thèse empiriste. Nous y adhérons, mais à la condition d’ajouter qu’il s’agit d’une certaine expérience qui, inversement, n’existerait pas sans la mathématique [24] . » ”

“ Le XIXC siècle a vu surgir, en mathémathiques pures, de nombreuses branches nouvelles. Notamment la théorie des nombres ou arithmétique supérieure ; la théorie des formes et des groupes ; la théorie des fonctions de périodicité multiple ou trigonométrie supérieure; enfin la théorie générale des fonctions, embrassant les vastes régions de l'analyse supérieure. Les développements de la géométrie analytique et synthétique ont également engendré de nouveaux sujets d'études. ”

“ Si paradoxal que cela puisse paraître à ceux qui considèrent les mathématiques comme étant par elles-mêmes une source de découverte, on ne sortira jamais d’un développement mathématique autre chose que ce qui était implicitement inhérent aux données jetées dans la double mâchoire des équations. ”

“ Le calcul mathématique leur sert à interpréter les données de l’expérience, et au besoin à les compléter : mais ils ne se demandent pas quelle est la nature, quels sont les titres de cette interprétation. ”

“ En présentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut dire que la mathématique concrète a un caractère philosophique essentiellement expérimental, physique, phénoménal; tandis que celui de la mathématique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'emploie l'esprit humain pour découvrir les lois mathématiques des phénomènes. ”

“ La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la contemplation familière peut seule disposer l’esprit à rendre les autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature. ”