Pierre Boutroux

“ Descartes estime peu la pure Mathématique, non seulement celle de ses prédécesseurs, mais aussi celle qu’il a cultivée lui-même. Ce point paraît bien acquis. Mais une distinction s’impose, pourtant, entre la méthode et l’objet de la science. Nulle part, croyons-nous, Descartes ne met en doute la puissance et la portée de la méthode des mathématiques. Son dédain ne vise que l’objet auquel cette méthode est appliquée, et il nous en a lui-même indiqué clairement les raisons.
L’objet des mathématiques est sans valeur parce qu’il n’est d’aucune utilité dans l’étude de la nature. ”

“ Pour comprendre comment est né le calcul des séries, remontons un instant au point de départ de l’algèbre.
L’algèbre, nous l’avons vu, est l’art de combiner des signes littéraux (représentant des grandeurs) au moyen d’opérations connues. En principe ces opérations peuvent être quelconques et arbitrairement définies : toutefois les premiers algébristes ne connaissaient d’autres opérations que celle de l’arithmétique, c’est-à-dire l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, l’élévation à une puissance entière et l’extraction d’une racine d’ordre entier. ”

“ De toutes les connaissances, on sait que l’analyse pure est la plus immatérielle, le plus éminemment logique, la seule qui n’emprunte rien aux manifestations des sens. Beaucoup en concluent qu’elle est, dans son ensemble, la plus méthodique et la mieux ordonnée. Mais c’est erreur... Tout cela étonnera fort les gens du monde, qui, en général, ont pris le mot Mathématique pour synonyme de régulier. Toutefois, là comme ailleurs, la science est l’œuvre de l’esprit humain, qui est plutôt destiné à étudier qu’à connaître, à chercher qu’à trouver la vérité. ”

“ Certes, c’est un problème de savoir comment une science fondée sur les faits peut s’accorder avec la Logique. Mais Duhem ne résout pas ce problème : il ne fait que reculer la difficulté en la renvoyant de la Physique aux Mathématiques. S’il se trouvait qu’au regard de la Logique l’Analyse mathématique fût sujette aux mêmes infirmités que la méthode expérimentale, l’argumentation de Duhem serait tout au moins incomplète.
L’erreur commise par Duhem consiste, croyons-nous, à postuler que l’on peut opposer les vérités mathématiques aux faits physiques comme on oppose la théorie à la pratique. ”

“ Car il est clair que si nous restons dans le domaine de l’Analyse pure, le succès ne peut plus se manifester comme en physique par une plus ou moins grande conformité de la théorie avec les données de l’expérience.
En fait, le mathématicien ne connaît aucun principe, aucun critère objectif qui lui permette de décider si une théorie vaut ou non la peine qu’il dépense pour la construire. Force lui est, pour diriger son activité, de s’en rapporter à son flair, de s’abandonner à son inspiration espérant qu’elle lui suggérera des aperçus nouveaux. ”

“ Inversement, quelque rompu qu’il soit au mécanisme de son art, le mathématicien ne voit pas toujours clairement quels sont les problèmes auxquels il doit appliquer cet art. De là vient qu’aujourd’hui ce n’est pas nécessairement le même homme qui est, en mathématiques, un inventeur original et un habile technicien ; les qualités qui font de l’un un novateur perspicace, apte à la découverte, et de l’autre un maître de la démonstration, ont cessé, semble-t-il, d’être les mêmes.
En d’autres termes, un dualisme se manifeste au sein des Mathématiques pures. ”

“ Et en effet, s’il était vrai que la science pure, celle qui n’est pas encore mêlée d’éléments étrangers, n’est qu’une forme, indépendante du contenu auquel on l’applique, il s’ensuivrait qu’il est parfaitement inutile de donner à l’enfant des connaissances positives ; amasser des faits est une tâche inintelligente dont la vie saura fort bien s’acquitter ; ce qui importe, ce qui constitue la véritable mission du maître, c’est de développer chez l’élève le sens de la méthode, c’est de faire l’éducation des facultés formelles qui préexistent dans son entendement. ”

“ Au surplus, il est probable qu’aucun mathématicien ne s’est jamais laissé inspirer, dans ses recherches techniques, par une idée semblable.
En résume, c’est Newton qui était dans le vrai — croyons-nous — lorsqu’il a vu dans l’algèbre (analyse) de l’infini telle qu’on la concevait à son époque (c’est-à-dire en tant que méthode de calcul) une suite de l’algèbre du fini. Euler, au xviiie siècle, a adopté le même point de vue. Et Lagrange, dans sa Théorie des fonctions analytiques, affirme d’une manière très nette que l’Analyse n’est qu’une généralisation de l’algèbre élémentaire. ”

“ Pour les Grecs, la science mathématique est avant tout une et harmonieuse. La dualité que nous y voyons aujourd’hui, l’opposition de la matière et de la forme sur laquelle repose notre idée de l’objectivité, ne pouvaient être admises par les anciens. Et le système d’Euclide, nous l’avons vu, tend précisément à faire ressortir l’accord qui règne entre les vérités poursuivies par le mathématicien et les moyens employés pour atteindre ces vérités. Ainsi, selon les Grecs, les notions mathématiques que nous étudions sont les images fidèles des idées qu’elles représentent. ”